1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Такой способ, помимо его простоты, дает возможность подчеркнуть качественную сторону расчетов «). 1. МЕТОД КБАЗИЧАСТИЦ И ФУНКЦИИ ГРИНА Амплитуды перехода. Для количественного проведения метода квазичастиц достаточно получить уравнение для небольшого числа частиц, участвующих в изучаемом явлении, тогда как уравнение Шредингера описывает поведение всей системы и приводит к неразрешимым трудностям. Для такого неполного описания системы удобно перейти от тг-функций к амплитудам перехода (функции Грина). В отличие от»т'-функции системы, которая зависит от координат всех частиц, амплитуда перехода есть функция только координат частиц начального и конечного состояний.
Рассмотрим сначала пример одной частицы. Вместо уравнения Шредингера д»Р(Г Г) й Чг ( 1) () «) Более формальное изложение этих вопросов читатель может найти в кингах: А.А. Абрикосов,Л.П. Горькое, И. Е. Д з я л о т и н с к и й, Методы квантовой теории поля в статистической физике, Физматгиз, 1962; А. Б. М и г д а л, Теория конечных ферми-систем и свойства атомных ядер, «Наука», 1965; А. Б. М п г д а л, Метод квазнчастиц в теории ядра, «Наука», 1907, Н МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ И ФУНКЦИИ ГРИНА 213 можно пользоваться уравнением для функции Грина С(г, ~; э", ~') ~ — — НС == ~б (г — г') б (» — Г), дС д~ (5.т) Действительно, как можно видеть нз (5.2), Ч" (г, ~ + т) удовлетворяет уравнению Шредингера и, кроме того, е,слн С(г, ~+О; г', ~) = = б (т — з"), переходит при т-+О в Чг(т', ~).
Формула (5.2) содержит и| С только для т ) О. Положим С = О прн т ( О. Тогда нз (5.1) получаем С (э', 8+О; и', М) = б (г — э"), что и требуется для (5.2). В отсутствие внешнего поля из Рис. 44. соображений симметрии, т. е. из однородности н нзотропии пространства и однородности времени, следует, что С(г, ю; т', Ю') =С(~т — э" ~, С' — ~). Пусть система собственных функций определяется соотношениями Н~рь(г) = еАурА(г), Н = — + Р(г). Рз Примерный внд потенциальной ямы У' для нуклона, движущегося в ядре, дан на рис. 44, где Л вЂ” радиус ядра, г, — ширина чднффузной областиь, т.
е, той области, на которой р переходит от постоянного значения внутри к значению вне ядра. Функция Грина имеет смысл амплитуды перехода частицы из точки г' в момент Г в точку з в момент ~. Квадрат модуля амплитуды дает вероятность перехода. В атом легко убедиться, выразив с помощью функции Грина Ч"-функцию в момент времени ~ + т через Ч'-функцию в момент Ч" (и, 1 + т) = ~ С (г, ~ + т; г', г) Ч" (т", ~) Нг'.
(5.2) 214 гл. ь. мнтоды эадлчи многих твл Представим Ч'-функцию частицы в виде Ч' (и, ~) = = Х Сл (Г) <Рл(и), тогда соотношение (5.2) примет вид л Сл(~+ г) =,Я~ блл (т)Сл (~), л блл = $с)эгс(эг'6(г, т", т)~рл(г)<рл (г'). Так как ~рл — собственная функция, то переходы в другие состояния не происходят и Сл (~ + т) = е 'л'Сл (~), т. е. 6лл (т) = бл(т) блл = е "л'блл0 (т) (5.3) (1, т'>О, '" О(')=1О, <О.
Этот же результат можно без труда получить и непосредственно из уравнения для 6. Переходя к фурье-представлению по т, получим 6л(е) = +„, б = + О. (5.4) Здесь 6л (е) определено соотношением бл(е) = —,. ) 6л(т) е"'Ит. 1 г Поэтому в обращенном преобрааованин имеем 6л(т) = (е-"'6л(е) — ' 2я Знак б выбран так, чтобы 6„(т) = О при т ( О. В правильности знака б легко убедиться, переходя обратно в т-представление ~м~ ~ ие Сл() =$ — „+а 2 и сдвигая контур интегрирования в верхнюю полуплоскость (е) аналогично тому, как это было сделано на стр.
77. В смешанном представлении (г, е) получаем 6(г, т", е) = =-,Я~ блл (е) <Рл (г') <Рл (г,') =,Я~,с . (5.5) 'Рл Ф 'Рл (' ) лл л ел+ Ь МЕТОД КВАЗИЧАСТИЦ И ФУНКЦИИ УРИНА 215 В сумму по Х входит суммирование по свяаанным состояниям и интегрирование по сплошному спектру. Функция С (м, г', е) имеет полюсапризначениях е, равных энергиям еь связанных состояний. Функция Грина просто связана с Ю-матрицей аздачи рассеяния на потенциале Р (г), введенной на стр.
181. Если в начальный момент à — с- — ао Ч'-функция в им- -ЬЕ пульсном представлении имела вид Ср = е р, а р) -свр Г в момент с' — с- + оо принимает вид,р,Ср с, то р' матричный элемент Ю-матрицы Ярр = С~~~. С другой стороны, из (5.2) получаем СРРР = 6(1о', р, С', с)ешвч шР~=Ярр" 1 —,Г с Танин образом, получаем (ема т О, Схл (т) = (1 — пл) блл ~ ~0, т(0. (5.7) Из выражений, связывающих Ю-матрицу с амплитудой рассеяния (стр. 182), следует с' Р' Р'а(1о' Р г' 1) = — 2ЯВ(Š— Е )А(1о, Р'), 1 — с, ггде А (1з, у') — амплитуда рассеяния в энергетической нормировке, связанная с обычной амплитудой ~ (1т', р) соотношением !(Аз' у) = — ~„А(1з' у) (5.6) Одночастнчные функции Грина в системе невзанмодействующих частиц (функпди Грина квазичастиц).
Найдем функцию Грина частицы САА (т), т. е. амплитуду перехода из состояния с одной частицей Х в состояние с одной частицей А,' в системе невзаимодействующих частиц. Для этого нужно только в (5.3) учесть принцип Паули — должны быть исключены переходы в занятые состояния. (Мы для простоты рассматриваем здесь только случай ферми- частиц.) Поэтому в функцию Грина должен быть включен множитель 1 — и, где ( 1, ел ( ер ПА=1 — число частиц в состоянии А. ( О, е„ ) ер 216 ГЛ. Ь. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Найдем теперь выра>кение для амплитуды перехода дырки.
Так как число дырочных мест на уровне Х пропорционально и „то аналогично случаю частицы по- лучаем 1е "~', т О, 6ьх (т) = ллблл ~ ~ О, т(0. (5.8) Здесь еь — энергия дырки, или, точнее, разность энергий системы после и до появления дырки. Во многих случаях удобно ввести функцию Грина частицы 6> (т), определенную как для т ) О, так и для т ( О, и объединяющую выражения (5.7) и (5.8): 6>(т), т) О, 6л(т) = — 6>,( — т), т (О. (5.9) В фурье-представлении по т формулы (5.7), (5.8) и (5.9) принимают вид 1 — зь 6>(е) е — е + й зь 6ь(е) =— е — е> +й (5.10) "л 6>(е) = 6>(е) — 6>( — е) = + ~ е — еь+й з+е — й~ Из (5ЛО) вытекает за>нное свойство функций Грина 6+ и 6- — каждая из них имеет полюс при значении е, равном энергии частицы и дырки соответственно.
Из сказанного во введении следует, что такой же вид имеет и функция Грина квазичастицы (квазидырки) в системе взаимодействую>цих частиц — нужно только заменить энергию частицы (дырки) на энергию квази- частицы (квазидырки). На стр.
232 мы поясним исходные формулы (5.7) и (5.8) для ферми-систем и получим аналогичные выражения для бозе-частиц. !. мвтод квазичьстнц и етннции гвинь 217 Для основного состояния, когда 1 при еь(ею пл = 0 при зь) ер, последняя из формул (5.10) может быть записана в виде: 6ь (е) = . (5.10') е — зь+ гб з!аа(е — зг) Функции Грина в системе взаимодействующих частиц. Мы нашли функцию Грина свободной частицы и функцию Грина одной частицы в системе невзаимодействующих ферми-частиц, находящейся в основном состоянии.
Мои!но б!зло бы легко найти и функцию Грина, описывающую поведение двух или болыпего количества частиц или дырок в системе невзаимодействующих частиц. Однако нашей задачей является учет взаимодействия между частицами. Основная идея метода функций Грина состоит в том, что для изучения системы многих частиц нет нужды вводить функции Грина с очень большим числом частиц. Соотношение (5.1) легко обобщается на случай многих частиц (для этого достаточно под !' попинать всю совокупность координат всех частиц).
Однако нахождение такой функ- ции Грина С(г„..., гл, ц г„..., гл, Г) стольженевозможно в системе многих тел, как и нахождение Ч"-функции. В тех случаях, когда в рассматриваемой аадаче аффективно участвует неболыпое число частиц, незачем рассматривать все частицы системы. Почти все экспериментально изучаемые процессы, происходящие в системе многих тел, как мы увидим, описываются одночастичной и двухчастичной функциями Грина. Функцию Грина одной частицы в системе взаимодействующих частиц определим выражением 6+ (н, г; э", ~') = (ФоЧ (и ° ~ ) '~'+(т, ~) Фз) (5.11) !)!' где Фз — точная собственная функция основного состояния; Ч" (н, !) — оператор вторичного квантования в гейзенберговском представлении, т. е.
Ч! (и !) еце8Ч! (>.) е-!н! где Н вЂ” гамильтонов оператор системы с учетом взаимо- 218 ГЛ. Ь. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ действия, а оператор Ч'(г) может быть выражен через операторы уничтожения частицы в, 'каком-либо состоянии <рь (т'): Ч" (г) =,Я~ ал<рх (г). л Ниже мы убедимся, что выражение (5.11) имеет простой смысл и действительно дает амплитуду перехода частицы из состояния (т', ~') в состояние (м, ~). Квадрат модуля этой величины дает соответствующую вероятность.
Аналогичная формула может быть написана для функции Грина дырки С (г1 о г о ) = (©о ~ .(г~ ~) Ч (г1 Г)фо). (5 12) 1>о Уничтожение частицы эквивалентно рождению дырки. Оба выражения определены только для ~ ) ~'. Их можно формально объединить в одну функцию Грина, описывающую при т > О частицу, а при т( О дырку, так же, как это было сделано для системы свободных частиц (стр. 216): 6+(о',1; '~', 1), 1)1', Знак «плюс» соответствует бозе-, а знак «мннусэо — ферми- частицам.
Выражения (5,11) и (5 12) в случае невзаимодействутощих частиц, кэк нетрудно видеть, переходят в соответствующие формулы предыдущего раздела. 1'екомендуем читателю проделать это вычисление. Соотношения (5 11) и (5.12) можно записать в виде 6 (л, х') = (Т'у (х) Ч"' (л')), где через (...) обозначено усреднение по основному состоянию, х = (и, г), оператор Т (оператор упорядочения во времени) означает, что величины, стоящие справа от Т, располагаются в порядке убывания времени в аргументах. Для ферми-систем при Г)~ (когда Ч~ и Ч'+ ме. няются местами) ставится знак о — о. Аналогичным образом определяются я двухчастичные функции Гркпа: вместо Ч' (1)Ч~+ (2) входят произведения !. метОд ИВАзи'1Астиц и Функции ГРинА 219 Ч' (1) Ч' (2) Ч"' (3) Ч'+ (4). Ниже мы увидим, как вычисляются функции Грина частиц и как они связаны с функциями Грина квазичастиц.
Аналитические свойства одночастичной функции Грина. Ограничимся для простоты случаем бесконечной однородной системы. Тогда, в силу однородности и изотропии системы и однородности времени, имеем С (к, «; г', «') = «а () г — о" ~, « — «'). (5.14) Перейдем к фурье-представлению по 1, = о — ол. Иа (5.11) и (5.12) получаем для 6(р, «) = ~о«ог,б(м„т)е-1Р" выражение (а е 1н и„)оое' при т)0, Фа ) а 1На -1Еаа (5.15) 1На -аЕаа Записывая операторы, входящие в С (р, т), в энергетическом представлении, имеем: ,Я~((а„')„(оехр( — 1(Е,— Ьо) г) при т >О, +Х!(ае)ао(оехр(«(Еа —.Ео)т) при т(0.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
