1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Выделим в блок 2у все графики, которые не содержат частей, соединенных линиями квазичастицы и квазидырки. В блок ~~ войдут следующие графики: Зачеркнуты те графики, которые по определению не входят в блок ~~. Эти графики при малых передаваемых импульсах, как будет показано, существенно зависят от состояний рассеивающихся частиц и поатому они выделены из блока Я'. Все графики, за исключением зачеркнутых, соответствуют при малых передаваемых импульсах 6-образному вкладу в блок Действительно, испольауя 6-образность кустотного взаимодействия гг =-. ~, можно изобразить первые гра- фики г в виде о'к оо Рг Рг Рг Рг Р~ Р: й Первые 3 графика зависят от передаваемого импульса д (с72 = (е и гсг)), только в меРУ нелокал ьностн пУстот- 2 с ного взаимодействия и для )с «= —, со ~= — могут быть васо ' го менены своим значением при д =- О.
240 ГЛ. 5. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХдтвл Для того чтобы убедиться в независимости от д более сложных графиков у, оценим диаграмму д" М являдощуюся усложнением 4-го графика ~'. Прямоугольник соответствует локальному блоку, который обозначим Г. Выражение для ~~'4) запишется в виде д'")-!ГГ1П„',4Ю Цд —,— д + .+ .) Так как де, д, соответствУютДыРкам, то йе, )44 по опРейвлению меньше, чем рю Рассмотрим область интегрирования ед =ь ее и )дд,а )) ~~Ьрр, тогда в знаменателях, соответствующих дыркам, можно пренебречь е ()44,4) по сравнению с в„е и произвести интегрирование по йе, )44.
Получаем Иеад()(еч+ве — ве — вд-в) П 4(в,. ле) Г(е ',) (вд — е (Ад)) (ве — е (Ад)) вевд интегрирование по Йе исключается мноядителем б (й — /сд — )44 + )де + й ). Нетрудно видеть, что наибольший вклад в интеграл по до, вносит область вд в, ве ве е ()4д). Окончательно имеем )У(" -)Г( 'д ~'" -и )Г)еУ., где через Ь обозначен верхний предел интегрирования по дед. Таким обРазом, полУчилось РасхоДЯЩеесЯ выРажение, аначение которого определяется нелокальностью блока Г. Поскольку существенная область интегрирования по импульсам порядка д, рассматриваемый график не 3» гзлФичвский метод 241 зависит от д, если —, — ~с1. и Ф Ь 'в(Ь) В зависимости от характера графиков, входящих в Г, характерный импульс сможет быть порядка гн с или нг с.
Вообще все графики, содержащие более двух линий, слабо зависят от передаваемого импульса, поскольку при интегрировании по 4-импульсам внутренних линий существенны большие импульсы и знергии (р) рн, и ~ ~ел)в), С помощью блока ~~ все графики, входящие в Г, можно классифицировать следующим образом: 1) графики, не содержащие двух линий ло каналу квазичастица — квазидырка (блок ~~); 2) по каналу квазичастица — квазндырка сначала идет блок у, аатем две линии (квазичастица и квавидырка) и сумма всех графиков, переводящих квази- частицу и квазидырку в новое состояние (т. е. Г). Графически уравнение для Г изобразится так: х'= Г = + Г или в символической форме Г = У + габт. (5.46) Запишем это выражение в ()», е)-представлении, опуская пока значки Х. Поскольку блок ч 6-образел по разности входных времен, то и выражение Г тоже б-образно по втой разности.
Так как Г симметрична относительно входных и выходных точек (в чем можно сразу же убедиться, собирая графики в обратном порядке), то Г зависит только от разности входного и выходного времен и, следовательно, в (Х, з)-представлении зависит только от суммарной энергии ш квааичастицы и квазидырки, которая сохраняется во всех разрезах зтого канала. Опуская общий множитель б (е,+ет — е,— еа) и сопоставляя ») Более нодрооко вта аргументация развивается в цитированных выше книгах (стр. 212). 242 Гл. ь мвтоды ЗАдАчи мнОГих твл графикам 4Р и Г величины ( — 1У), ( — 1Г), получим Г (ю) =.- Ч вЂ” 7 ~ С (е) 6 (4э — е) —, Г (1о) = — Я + 9"АГ. йи Восстанавливая значки ), и используя вырая1ение А, най- денное на стр. 235, получим (Х1)4(Г()3)4) .(Х1) ! 2 1ХЗХ4)+ +,'К ()„)„~ Ч<),7,) " "' ().Ъ~Г1)„),,).
<5.47) лл. Правильность коэффициентов этого уравнения мы проверим ниже на простом примере. Поскольку блок К в координатном представлении б-образен и определяется областью радиуса га вблизи изучаемой точки, мы будем величину Я называть амплитудой локального взаимодойствия или просто локальным взаимодействием. В случае, когда существенна парная корреляция или когда вблизи поверхности Ферми есть уровни, конкурирующие с одночастичными состояниями, выражение для Сл усложняется и уравнение для Г не имеет простого вида (5.47) .'локальное взаимодействие квазнчастиц. Как уже говорилосгь эффективное локальное взаимодействие между квазичастицами будет характеризоваться несколькими числами.
Покан<ем это на примере локального взаимодействуя в ядре. Рассмотрим сначала однородное ядерное вещество, а затем внесем поправки, вызванные конечностью размеров ядра. В импульсном представлении амплитуда локального взаимодействия зависит от двух импульсов 7з„т44 и от передаваемого импульса Ч: Р1 Рх .У РРЧ Рх Ч Так как блок у слабо зависит от импульсов (заметно изменяется при бр рг, бе ег), то при малом передаваемом импульсе можно положить Ч = 0 (с точностью 141РГ, юlег) Кроме того, для изучения амплитуды Г вблизи поверхности Ферми достаточно знать я' при 2. гулюичиский мктод 243 (р,( =(у,( = ре и е, = е, = ег.
Поэтому // зависит только от угла между входными импульсами уэ, и рю Взаимодействие между квазичастицами зависит, кроме того, от спиноз квазичастнц и от изотопнческого спина. Предполагая изотопичоскую инвариантностго по- лучим Я' = С(/+ ~'т,те+ (д+ у'тгт,) нгпх), (5.48) где 1, ~', //, д' — функции от угла между рд и 2э,; т, о— изотопические и спиновые матрицы. Нормировочный множитель С выберем равным Ф С= Ие/Век ~е'рв х = — ', ',,у =,~, 'Я',Р,(х). Рг (5.49) (Числа /о ~~', д~, ю' должны быть найдены из сравнения теории с опытом.) Заметим, что это разложение не имеет ничего общего с обычным разложением амплитуды рассеяния по парциальным волнам, где разложение ведется по функциям Р, от угла отклонения, тогда как в Я угол отклонения положен равным нулю (я = О).
Как показывает сравнение с опытом, в ядрах главную роль играют нулевые гармоники разложения (5.49), т. е. локальное взаимодействие квазнчастиц мало зависит от пх скоростей. В уравнение для эффективного поля в бесконечной системе входит ~~ при передаваемом импульсе д, равном 4-вектору внешнего поля. Поэтому в достаточно однород- Тогда /, /', д, д' — безразмерные величины порядка $.
Мы не включили в (5.48) слагаемые вида (у,е,) (р,ох), которые возникают как релятивистская поправка и обращаются в нуль при малых скоростях частиц. Впрочем, в случае ядра скорости у границы Ферми не очень малы по сравнению со скоростью света, в/с '/а, и эти слагаемые могут оказаться существенными. Так называемые тензорные силы пропорциональны /г' и поэтому не включены в (5.48).
Разложим л в ряд по полиномам Лежандра, зависящим от косинуса угла между 2т, и 2тх: 244 гл, 5 мктоды зАдАчи многих твл ных полях можно в ~~ полагать д = О (с точностью л/РР, ю/зг). В конечной системе даже в однородном внешнем поле Ув эффективное поле г' не однородно, а заметно изменяется на расстояниях порядка В. Поэтому нужно иметь выражение для Г~ при й 1/В; при этом можно полагать ю = О, если ю < ел.
Поскольку в конечной системе А 1 $ Х '/* РР РР А достаточно учитывать в В только слагаемые, не зависящие от /г и линейные по й, и пренебрегать членами — Аз. 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ФУНКЦИЙ ГРИНА Уравнение Дайсона. Обоснование модели оболочек. Как известно, так называемая модель ядерных оболочек исходит из предположения, что в ядре имеются энергетические уровни, такие же, как и в системе невзаимодействующих частиц, помещенных в потенциальную яму.
До появления метода функций Грина хорошие результаты, получаемые во многих случаях с помощью атой модели, были совершенно необъяснимы. Такая же трудность существовала в теории металлов, где модель свободных электронов хорошо описывала многие явления, несмотря на сильное взаимодействие между электронами. С помощью метода функций Грина удается объяснить существование одночастичных возбуждений в ферми-системе с сильяым вааимодействием.
Будем обозначать точную функцию Грина жирной линией /'//,// =— / Я а функцию Грина свободной частицы — тонкой линией Полная амплитуда перехода равна сумма всех возможных э. вншвнив задач мвтодом Фтнкции ггннл З4Ь амплитуд, поэтому 6 выражается через сумму графиков () ч у г 1 г~ г~ г~ г, б Первый из графиков суммы соответствует амплитуде перехода при условии, что рассматриваемая частица не взаимодействовала с частицами среды, т. е. 6,. Второй график изображает упругое рассеяние рассматриваемой частицы на частицах среды.
Третий график описывает свободное движение до точки 3, затем происходитнеупругоестолкновениз, в результате которого рассматриваемая частица рождает пару в точке б. Далее пара исчезает в точке б, и от точки 6 до точки 2 происходит свободное движение. Аналогично выясняется смысл всех остальных графиков. Будем классифицировать все графики следующим образом. Прежде всего отделим единственный график, соответствующий свободному движению. Все остальные графнки имеют такой вид: до некоторой точки частица движется свободно, затем происходит столкновение, в результате которого образуется и уничтожается несколько частиц и дырок, затем опять свободное движение и акты столкновений повторяются. Поэтому все эти графики имеют следующую структуру: сначала свободное движение, затем сумма графиков, не содержащих частей, соединенных одной ливией, и затем полная амплитуда перехода частицы из промежуточного состояния в конечное.
Графически выражение для 6 (1, 2) будет следующим: где череа Х обозначена сумма графиков, или, как мы будем говорить, блок, не содержащий частей, соединенных одной линией. Аналитически уравнение (5.50) имеет внд 6 (1 2) = 6э (1~2) + ) 6ю (1,3) Е (3,4) 6 (4 2)~Кэрта (5 51) Уравнение (5,51) нааывается уравнением Дайсона. Рл. а метОды 3АдАчи многих тел Введение блока 2 имеет то преимущество, что он б-образен в координатном представлении н поэтому характеризуется малым числом констант. Действительно, блок Х содержит графики, состоящие из трех и более линий, которые, как можно убедиться (см. стр, 239), б-образны по разностям координат и времени с шириной разброса бг — 1/ре, б/ 1/е .
В отсутствие внешних полей, когда гамильтониан системы не зависит явно от времени, все величины, входящие в (5.51), зависят только от разности соответствующих времен. Поэтому удобно перейти к представлению Фурье по времени. Получим 6(ЄЄе) = 6о(РН Рз е)+ +~6з(мг Рз е)В(Рз~ Рм е)6(мм '|'з е)((згзпзгм (5.52) Уравнение для 6 в координатном представлении имеет вид (см.
уравнение (5.1) на стр. 213) (е — рз/2т) 6,(т, Р', е) = б (Р— Р'), где р — оператор импульса, действующий на координату Р. Умножая (5.52) слева на е — рз/2т, получим (е — — ) 6 (Р, Р', е) — ~ А (и, Рм е) 6(Р„Р', е) гРГ, = = б (Р— Р'.), Мы для простоты опускаем спиновые индексы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
