1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Млгдал 258 ГЛ. Ь. МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ В результате выражение для С, приобретает вид ч- ас з' з сз( Ез(р) = сере+ ( —,) 2т' з) а )з 1 —— дзз дез (5.65) Предоставляем читателю убедиться, что из положительах ности вычета С следует 1 — — ) О. ае з) Звуковой характер спектра неидеального бозе-газа быи обнаружен в работе Боголюбова (1947). Метод, использованный в втой работе (метод канонических преобразований), оказал большое влияние на применение квантовой теории в задаче многих тел, Таким образом, полюса С, при р -ь О отвечают звуковым возбуждениям «). Мы сохранили в знаменателе (5.65) слагаемое ( —, ) которое на первый взгляд незаконно, поскольку члены ре и еа отбрасывались.
Однако это слагаемое дает правильный переход к случаю больших р. (При достаточно з) а)з больших р следует ааменить те на пг, положить — ~ь — = О~ и Е (р) переходит в энергию свободной частицы.) В системе со слабым взаимодействием сохранение этого слагаемого законно, и выражение (5.65) делается правильным при всех импульсах. Определим знак в числителе Сз. Рассмотрим систему дх д) а)з со слабым взаимодействием.
Тогда —, — ((1. Вытеде ' де' кающая из (5Л8) положительность вычета в полюсе означает, что следует взять нижний знак «+з, что соответствует знаку е — » в (5.64). Но после того, как определен знак, из положительности вычета следует, что при любом взаимодействии ) — —.' >О. а)Л)з дез 3. Решение 3АдАч методом Функций ГРинА 259 Из выражения для скорости звука находим также — — ) О.
Хо д(Х~ е ое' дре Окончательно имеем е ее — Ь'о(р)+ об ' (5.66) Мы выбрали знак мнимой добавки так, чтобы функция Грина частицы С,+ (К (р),е) = С, (Е (р), е) сов>о ответствовала затухающему, а не нарастающему решению. Запишем С, в виде е ( 1 2Е(р) ( е — Я(р)+рд с+К(р) — рд ) и найдем С, (р, г) при ( ~ О. При интегрировании по е остается тол~ко второе слагаемое С другой стороны, для бозе-системы мы имели (стр. 219) С(Р, ) = — О) = <ао(р) а ()о)> = п(те). Поэтому для распределения частиц по импульсам получаем: (5.67) Таким образом, и (те) имеет полюс при р -о.
О. При больших р, е функция С, (см. (5.63)) переходит в функцию Грина свободных частиц, т. е. Е (р) о ре переходит в ее = — — )е. Таким образом, зависимость Е (р) начинается с линейного участка и при больших р должна переходить в квадратичную. Как ведет себя Е (р) 260 гл. ь, мвтоды задачи многих твй в промежуточной области? Расчет теплоемкости жидкого гелия, соответствующей звуковым колебаниям, дал результат меньший, чем наблюдаемая теплоемкость.
Отсюда следует, что помимо звуковых возбуждений, имеются еще и другие возбуждения с малыми энергиями (Мигдал, 1940 г.). Ландау сделал (Д предположение, что кривая Е (р) имеет минимум (рис. 48). Возбуждения с импульсом р, блиэким к рс, и дают добавочный вклад в теплоемкость. Это предположение блестяще подтвердилось на опыте. 0 ~Рп Рс г Спектр справа отри в точке р, исчезает (т.
е. исчезает норис. 48. люс в функции Грина). Причина этого состоит в распаде возбуждения с импульсом р на возбуждения с меньшими импульсами (Питаевскнй, 1959). Жидкости со спектром Е (р) = ср, так же как и жидкости со спектром Е (р) .= у Ьз + (р — р1 )' ии, полученным в предыдущем разделе, обладают свойством сверхтекучести, т. е.
протекают через узкие трубки без трения. Перейдем в систему координат, движущуюся вместе с жидкостью. Сверхтекучесть означает, что стенки трубки нли вообще любое тело, движущееся в жидкости, не тормозится. При низких температурах единственный механизм тормоясення — зто передача энергии элементарным возбуждениям. Пусть тело уменьшило свой импульс на величину р, энергия тела изменяется при этом на величину рн, где и — скорость тела. Условие сверхтекучести (критерий Ландау) означает ри С Е (р), (5.68) поскольку ри — наибольшее изменение анергии тела при заданной передаче импульса. При больших скоростях и этот критерий нарушается.
Критическая скорость и„, прн которой сверхтекучесть прекращается, определяется условием аи = (Е (р)/Р)шы. Спектр возбуждений ферми-системы без парной корреляции не удовлетворяет критерию (5.68) даже при 4. система Во Внешнем поле 261 скоростях г-». О. Энергия возбуждения в такой системе Е (х»„2»«) = е (р,) — з (р,); р, ) рю р» ) рю При малых импульсах воабуждения Е = икр, и следовательно, критерий сверхтекучести нарушается при сколь угодно малых и. В случае же спектра с парной корреляцией критерий сверхтекучести нарушается, только начиная с некоторой скорости в. Поэтому электроны сверхпроводника при достаточно слабом токе двигаются сквоаь решетку атомов без торможения (сверхпроводимость). В случае спектра Е (р) = ср критическая скорость равна гн — с Явление сверхтекучести жидкого гелия было экспериментально обнаружено Капицей (1937 г.).
Как показал Ландау, все возникающие при конечных температурах эффекты объясняются своеобразной гидродинамикой двух проникающих друг в друга жидкостей — «сверхтекучей» и «нормальной». Теория жидкого гелия — одна из самых блестящих работ Ландау. 4. СИСТЕМА ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ Многие свойства систем (статические моменты, вероятности переходов, энергии первых уровней и др.) легко определяются, если известно изменение матрицы плотности квазичастиц во внешнем поле и ее изменение при добавлении частиц к системе.
Матрица плотности, как мы видели, просто связана с функцией Грина (стр. 223). Для ее нахождения поступают следующим образом. Сначала определяется изменение функции Грина в эффективном поле, возникающем в системе под влиянием внешнего поля. Эффективное поле складывается нз внешнего поля и поляризационного поля, возникающего от перераспределения частиц. Это перераспределение выражается через изменение функции Грина в эффективном поле. В результате возникает замкнутая система уравнений для определения эффективного поля. Определим изменение функции Грина квазичастицы во внешнем поле. Ограничимся для простоты первым приближением теории возмущений по полю. Взаимодействие между частицами будем учитывать точно.
Запишем не- 2Е2 гл. к мктоды задачи многих ткл сколько графиков, входящих в функцию Грина квази- частицы в поле 6' 1 $ ! 1 = — т — ~~~~~'~ = э" + э Ю . (5.69) Здесь кружок описывает непосредственное взаимодействие квазичастицы с внешним полем Гз еэ — «заряд» квазичастицы. Как мы увидим, для некоторых типов полей ез ~ 1.
Для невзаимодействующих частиц мы имели ~ „; п~ П Таким обрааом, заштрихованный треугольник в формуле (5.69) заменяет точку на атом графике и представляет собой эффективное поле г', действующее на квази- частицу, Получим уравнение для полн $'. Среди графиков,входящих в р, есть один график, не содержащий взаимодействия между квазичастицами (езР'). Все остальные графики имеют следующую структуру.
Если двигаться со стороны основания к вершине треугольника, то все графики начинаются со взаимодействия, затем идут две линии свободного движения и затем совокупность графиков, изображающая эффективное поле. Введем блок Я, не содержащий частей, соединенных двумя линиями.
Тогда эффективное поле определяется уравнением р, уэ+ убСгг (5.70) е система ВО внешнем пОле или графически 'г"ыы = е,р~л,л, — ~~'~(Л1Ле) Я )ЛЛ ) Аи, г'ь ь (5 74) где Аьь = ~6ь(е)бл (е — св) —. Ые 2Д (5.72) Как мы видели (стр. 235) "л рь Але =— ем.-еь +е1 (5.72') Изменение распределения частиц в поле. Полученные нами результаты имеют чрезвычайно простой физический смысл, который мы выясним на примере большой системы.
В этом случае удобно использовать импульсное представление, что соответствУет ~е =- е'Р . ТогДа А Аь моя<- но записать в виде р (р) — и (р — Е) лл' - — р.р-ь е (р — Е) — е (р) .~ м лл -= Ар,р-ь = При /е(( р разность е(р) — е (р — Й) = — Й = 7еп, а Ие — (о дп( р) п (7т — 7е) — п(р) = — — Лт. Изменение матрицы ле плотности согласно (5.28) (стр.
223) выражается через изме- пение функции Грине в поле, т. е. вснмзолическом виде бр =' (бб)')-.--е = АР. (5.73) Первое слагаемое в )г описывает непосредственное воздействие внешнего поля на квазичастицу. Второе слагаемое дает дополнительное поле, возникающее из-за поляризации среды, т. е. вызванное воздействием перераспределившихся нуклонов ядра. В Л-представлении получаем (см. стр. 242) гл. ь мктоды з»д»чи многих ткл Обозначая бр = 1» (ю), где 7'» (у) есть 7с-компонента Фурье функции распределения 1 (г, 7з), получим (а — 7сп)7»(у) — — "~~ е7с$'» = О, (5.74) или в координатном представлении + ир~(э', р) — — 7Г = О, (5.74') где )е (э, р) = и (р). Таким образом, соотношение бр = А $' эквивалентно обычному уравнению для изменения функции распределения во внешнем поле. При й, сравнимом с р, мы получили бы так называемое квантовое уравнение для функции распределения.
Выражение (5.72') приводит к этому более общему уравнению в Х-представлении. Уравнение (5.74) не только позволяет найти реакцию системы на внешнее поле, но и определить частоты собственных колебаний системы с квантовыми числами, соответствующими симметрии поля, Так, например, в случае векторного поля в системе возбуждаются колебания векторного типа, а для внешнего поля, соответствующего возмущению вида Н' = ро„» а» а„Я (Я~ — магнитное воле), — спинорного типа. Собственные частоты будут определяться как полюса У (ы) (см. ниже). Спиновая поляризуемость и магнитный момент квази- частицы. Для статического поля уравнение (5.70) может быть просто записано в координатном представлении 'г' (и) = е,р»(г) — ),"~ (и — э") — ~ У(г')А".
(5.75) Ыз, Прн выводе етого выражения мы использовали отношение »» — »», Ы»» Ы»» = — = — —, а также полноту функций <рр,. зл ех »,е Ыел Ызг ' Учитывая б-образность у, запишем Я' = ~~,б (э — э"). Предположим, кроме того, что взаимодействие не зависит от скоростей и спиновых переменных частиц. Тогда (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
