1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Действительно, так как масса частиц при больших импульсах не входит в задачу, то единственная безразмерная комбинация в п-м порядке будет (М')". Следовательно, степени расходимости растут с увеличением и, и, как мы увидим, неограниченно возрастает число констант, которые нужно переопределять или заново вводить для устранения расходимостей. Мы покажем, что зто овначает потерю локальности вааимодействия. Таким об азом, певенормируемость является критерием изич~скм д~шуатимаго локальпаго Взаимодействия.. з М Р Р Ру ую у Й можности так с ор — чтобы-взаимодействие прн ББпулыад много меньших, чем граница обрезанйяимппульсо Ь определялось импульсами виртуальных частиц также много меныпими, чем Х. Или, в коордйнатном пространстве, аа одействия на расстояниях г )) га определялись взаимодействиями виртуальных частиц также при г))г,.
Неудивительно, что такое требование выполняется не во всех теориях. Для иллюстрации рассмотрим пример аналогичной ситуации в классической физике. Допустим, мы аадаемся целью построить теорию, описывающую макроскопические движения жидкости или газа. Возникает вопрос, будут ли этн движения оставаться макроскопическими или будут рассыпаться на движения все более мелкого масштаба, пока не дойдут до атомных размеров? В тех случаях, когда применима гидродинамика, мы имеем пример такой «перенормируемой» теории — роль малых масштабов сводится к появлению в теории макроскопических констант вязкости и средней плотности. З?3 ГЛ. «.
КАЯЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ Однако нельзя построить теорию, описывающую макроскопические движения, например, в ферми-газе. Движения не остаются макроскопическими, а распадаются на движения атомных масштабов. При изучении свойств теории поля на малых расстояниях (или при больших импульсах) возникает еще один ажный вопрос: является ли переяормируемая теория логически замкнутой, справедливы ли ее результаты прн ноль угодно малых расстояниях? В теориях перенормируемого типа взаимодействие между двумя частицами экранируется полем виртуальных частиц (о возможном исключении из этого правила см. стр. 334).
В результате эффективное взаимодействие убывает с расстоянием. Если предположить, что аатравочное взаимодействие достаточно мало, то можно рассчитать взаимодействие на любых расстояниях, пользуясь теорией возмущений. При этом оказывается, что взаимодействие на больших расстояниях полностью экраннруется виртуальными частицами подобно экранировке сторонних зарядов электронами металла. Таким образом, частицы не доля«ны взаимодействовать на больших расстояниях. Этот парадокс, подробно исследованный И. Я. Померанчуком, получил наавание «нуля заряда». В действительности это обстоятельство не является аргументом против логической замкнутости теории.
В случае квантовой электродинамики, если уменьшать ~ расстояние между двумя зарядами, мы, несмотря на ма: лость наблюдаемого заряда, обязательно приходим в ' область, где заряд оказывается порядка еднпнцы и теория возмущений, на которой основан парадокс, перестает быть справедливой. Будет ли продолжаться рост заряда при меньших расстояниях? Если будет, то мы придем к бесконечному затравочному ааряду, что означает фпзнческую бессмысленность понятня затрэвочного заряда. Как мы увидим, этот Вопрос до сях пор остается .открытым.
Расстояния, на которых ааряд е«(г) делается порядка 1, чрезвычайно малы, и вполне вероятно, что влияние слабых илн гравитационных взаимодействий так изменит теорию, что рост заряда прекратится прежде, чем мы дойдем до области е'(г) 1. В этом случае вопрос о «нуле заряда» в электродинамике утратит физический иптерес гл. е.
кхчвстввнныв мвтоды в квантовая творил поля 219 н сохранит только теоретическое значение для выяснения структуры полевых теорий на малых расстояниях. Дальнейшее изложение построено следующим образом. По существу рассматривается только одна из проблем квантовой теории поля — вопросы, связанные со структурой полевых теорий иа малых расстояниях. Этот круг вопросов дает болыиве возможности для использования качественных методов. Конкретные задачи квантовой теорип поля (вычисление радиационных поправок) связаны с громоздкими расчетами и, кроме того, превосходно изложены в других местах*). В первых разделах строится необходимый для нашей цели аппарат. Находятся уравнения н функции Грина, описывающие свободные частицы со спином О, '/х и 1.
Уравнения и функции Грина для свободных частиц получаются как релятивистски инвариантная запись двух уравнений Шредингера и соответствующих функций Грина для частицы и античастицы. Общие свойства полевых теорий на малых расстояниях изучаются сначала на модели 4-бозонного взаимодействия. На простейших графиках двухчастичной амплитуды перехода поясняется природа расходимостей и идея перенормировок. Находится условие перенормируемости теории.
Затем производится вычисление амплитуды рассеяния до 3-го порядка по константе взаимодействия. Анализ первых членов разложения приводит к идее о возможности получения точного выражения для амплитуды иа требования независимости амплитуды от радиуса обрезания, т. е. из требования перенормируемости.
Полученное выражение обладает свойством «нуля аарядае. При достаточно малом ватравочном варяде ааряд на больших расстояниях стремится к нулю. Далее рассматривается реалистическая теория — квантовая электродинамика. Сравнением с классической электродинамикой выясняется физический смысл поправок к функции Грина фотона.
Определяется во втором порядке по ее поправка к закону Кулона, вызываемая поляризационными зарядами. После этих подготовительных задач е) А.И. Ахиезер, В.Б. Берестециий, Квантовая електродииамииа, «Неукаи, 1969. Н. Н. Б о г о и ю б о е, Д. В. 1В и р и е е, Введение е теорию кееитоиаииых колеи, еНауие», 1973. 280 ГЛ. З. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ с помощью простых физических соображений без разложения по е' находится исправленный закон Кулона, из которого выводится формула для взаимодействия частиц на произвольно малых расстояниях (формула Голл-Манна — Лоу).
Обсуждаются возможные границы применимости квантовой электродинамики *). 1. КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИИ При получении уравнений и функций Грина, описывающих частицы, определяющую роль играют условия симметрии, т. е. требование инвариантности относительно общих преобразований Лоренца, включающих повороты в пространстве — времени и отражения (требования четности и обратимости).
Еще одно существенное условие, которое накладывается на уравнения,— зто требование простоты. Так, например, отбираются уравнения с производными наинизшего порядка или, в случае внешнего поля, с наименьшим возможным числом параметров, определяющих взаимодействие частицы с полем. Требование простоты, или лучше сказать, красоты уравнений, не являясь абсолютным, сыграло важнейшую роль в отыскании законов природы. Лоренц-инваривитность. Уравнения, описывающие движение частиц в пустом пространстве, должны быть лоренц-ковариантны, т. е.
не должны менять своего вида ;ри переходе в движущуюся систему координат по формулам Лоренца «+от, «+е« '~ ' ' У':" Достаточно рассматривать бесконечно малые преобразования Лоренца, что мы и будем делать в дальнейшем, 1'=1+а«т, и'=т +тзг, Р— О. «) Изложение других вопросов теории поля, близкое к принятому в атой глазе, содержится з книге: В.
Р. Р е у и ш а и «ТЬеогу о1 Рппйагаеп«а1 ргосеззез«(Ъ7. А. Веп)аш)п, 1пс. 1901) и з лекциях В. Н. Г р и б о з а «Каантоаая злектродинамика« 94атерналы 9 Зимней школы ЛИЯ«р, часть 1, Ленннград, 1974 г.). Удивительно ясное изложение конкретных расчетов различных процессов содержится и книге Л. Б. О к у н я «Слабое иааимодейстзие элементарных частиц», «Внзматгиз, 1963. КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИИ 281 Преобразования Лоренца оставляют инвариантным интервал (х, — хо)о = (1, — 1о)о — (Р, — т,)' между двумя точками в пространстве — времени (х, — х )' = (хг — х,')' = шт.
Все величины классической теории представляют собой либо скаляры, либо 4-векторы и 4-тензоры, т. е. величины, преобраэующиеся как проиаведение компонент 4-вектора еэ — — (1, Р). ПРимеРами слУжат: 4-вектоР знеРгии — импульса р„= (В, р), 4-вектор тока Х„= (р, у), тензорнапряженности электромагнитного поля г'„., = В„А, — д 4„, связанный с 4-вектором потенциала А„= (~р, А), и т. д. Все 4-векторы преобразуются по закону Ао = Ао+ ФА, А' = А+ ВАо Скалярное проиаведение любых 4-векторов инвариантно (АВ) = АоВо — АВ = (А В ) = шу.
Можно сохранить обычные правила умножения векторов, введя метрический тензор 1 ΠΠΠΠΠ— 1 О Тогда АВ = я„4„А„. Вместо этого суммирование по греческим индексам будет пониматься в инвариантном смысле АВ= АРВР— = АоВо — А~Во В некоторых случаях мы будем переходить к евклидовой метрике, вводя Ао = 1Ао. Такие векторы будем отмечать тильдой: ЯВ = Я„Я„= — АВ.
В квантовой механике наблюдаемым величинам соответствуют операторы У, характеризующиеся набором матричных элементов г'11 = (Ч'о ~'ЧА,). Матричные элементы должны преобразовываться так же, как и соответствующие классические величи;зы, т, е, ззз гл. з. клчкстввнныв мвтады в квхнтовон твогии поля как компоненты векторов или тензоров. Однако для Т-функций при этом возможен более сложный вазон преобразования, поскольку они входят билинейно в матричные элементы. Аналогичная ситуация уже встречалась в нерелятивистской квантовой механике". при анализе инвариантности относительно 3-мерных вращений наряду с тензорами вводились также спиноры.
Тензоры преобравуются как произведения 3-мерных координат, а спиноры — по более сложному закону, так что билинейные комбинации спиноров преобразуются как векторы и тензоры. Например, для частицы со спином '/«ее волновая функция ~р = (~') преобразуется как Л«/ р = р+' —,0р при повороте системы координат на малый угол 0 вокруг оси и. (Здесь и — матрицы Паули.) Билинейные комбинации ~р+ф и ~р+пф преобразуются, соответственно, как скаляр и 3-мерный псевдовектор — отсюда н был найден закон преобразования спинора. Попьпаемся найти закон лоренц-преобразования спинора. Поскольку матрицы Паули образуют полный набор, то этот закон должен бы быть аналогичным (6.1): ( ~ ~ ~ + с ~ « ~ Р (6.2) Соотношения (6.1) соответствуют преобразованию координат зг — — з, + Отм т, = т, — Оло (6.3) (Для определенности рассмотрен поворот вокруг оси г по часовой стрелке.) Для того чтобы преобразование Лоренца т« = х«+ г1, Ф' = 1+ гтз при введевпи евклидовой метрики И =- л« объединялось с формулой для поворота координат, необходимо ваять 10 = -«- а (знак «+з пли « — ь зависит от выбора правой илн левой системы пространственных координат).
Поэтому для получения (6.2) следует в (6.1) заменить 10 на ~ а, Таким образом с, = * 1. 1, констРунРОВАннг Релятквнстскнх 1'РАвненнй 2аз Имеется два возможных типа спиноров с преобразованием ои ог фг+ 2 ф+' Р Р 2 Оба эти спинорных поля не имеют определенной четности, поскольку величина агг изменяет знак прн отражении.
ПРи отРажении грг пеРехоянт в ф и наоб>оРот. Этн полЯ описывают 2 двухкомпонентные частицы (например, нейтрино н аптинейтрино). Из таких полей можно составить две линейные комбинации с определенной четностыо ф=ф~+ф Х=ф~ Поле ф нлгеет четность, противоположную Х. Закон пре- образования для этих величин получается из (6.4): (6.5) ф =ф+ Х Х =Х+ — ф. Эти преобразования сохраняют свой вид при отражении. Итак, требования лоренц-инвариантности и Р-четности приводят к тому, что частица со свином Чг должна описываться 4-компонентным спинором Ч" = ) 1.
Ниже мы увидим, что этот факт связан с существованием античастиц: четыре компоненты релятивистского спинора соответствуют двум проекциям спина частицы и двум— античастицы. Пока что, не конкретизируя физического смысла спиноров ф и Х, мы можем составить из них билинейные комбинации, преобразующиеся как скаляры, векторы и тензоры при лоренц-преобразованиях. Ограничимся важными для дальнейтего случаями скаляра и вектора. Скаляр имеет вид Действительно, прн лоренц-преобразовании каждый иэ членов фгф, Х'Х приобретает одну и ту же добавку 1/г (Хгаиф + ф+ппХ), котоРан сокРаЩаетсЯ в Я. Если составить вместо разности сумму Е84 гл. з. кАчественные метОды в квАНТОЕОЙ теогии поля то добавки не сократятся, а удвоятся: то= то+чту ° Здесь Р1 = Х~О1тР + Ч+П~Х. (6.6) Таким образом, $', преобразуется как четвертая компонента 4-вектора У„= ()"„Р).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
