1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Так как заряд еп определяется локальным взаимодействием частиц, его величина в ядре мало отличается от соответствующей величины в неограниченном ядерном веществе той же плотности. Предположим, что спин-орбитальное взаимодейтвие в ядерном веществе мало, тогда оператор полного спина системы коммутирует с гамильтонианом. Кроме того, в достаточно большой системе спин- орбитальная поправка к гамильтониану квазичастиц играет малую роль и может быть опущена. Тогда функции являются собственными функциями оператора б,. Таким образом, возмущение диагонально и, следовательно, епрр+ е„р = 1.
(5.92) Запишем это условие в виде (5.92') Величина $, яе вычисляется и должна находиться из опыта. Покажем, что эта же величина входит в перенормировку аксиальной константы р-распада в ядре. Для разрешенных гамов-теллер о вских переходов взаимодействие с электрон-нейтринным полем дает в гамильтовиане нуклонов возмущение, пропорциональное (г„+ 1тр) б, (псевдо- векторное взаимодействие). Найдем эффективный заряд для такого внешнего поля. Рассмотрим сначала поле т,б,: 1+т, т.— 1 бп+ 2 с~ =с» — б~.
2 Слагаемое е,р' в уравнении для г в этом случае равно е, (т,б,) т,б, = еп [бР) б, — ер (б,") б, = пр пп бп = ~ (1 — 2р ) бл = (1 — ьп)бптг. 272 Гл. 5. мвтоды ЗАдАчи мнОГих тел В квадратной скобке указан вид поля К', для которого заряд равен ее [] ~]. Итак, е, [т,о,] = (т — 2$,). (5.93) В силу изотопической инвариантности такой же заряд будет и для поля (с„+ и„) О,. Таким образом, множитель еч = (4 — 2$,) дает перенормировку псевдовекторной константы р-распада в ядерном веществе.
Для поля (т„+ Ит), которое соответствует фермиевским переходам (векторное взаимодействие), получаем (рассматривая сначала поле т,) еч = '], т. е. Неперенормируемость векторного взаимодействия. ГЛАВА 6 КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОИ ТЕОРИИ НОЛЯ Квантовая теория поля описывает взаимодействие элементарных частиц„движущихся в вакууме. Прн этом число участвующих частиц не всегда сохраняется — частицы могут рождаться и исчезать в процессе взаимодействия. Даже в тех случаях, когда число частиц в начале и конце процесса совпадает, образование виртуальных частиц в промежуточных состояниях, согласно общим принципам квантовой механики, окалывает влияние на ход процесса. Поэтому вакуум следует рассматривать не как пустое Реп,.В~В и п»хлаыийю~ ййй ь»х э трон или нуклон движ еся в вак ме ок женй «~ ар я * *д жо~тхыьвж~аля.
Ъ|ббМ МЪЪЪЙ % 4 Графики, описывающие вэаимодействие элементарных частиц, по виду не отличаются от графиков задачи многих тел. Однако по существу имеются очень важные отличия. Прежде всего, поскольку явления происходят в вакууме, они не должны зависеть от выбора лоренцовой системы координат, что, как мы увидим, накладывает сильнейшие ограничения на характер взаимодействия и на функции Грина частиц. Кроме того, в квантовой теории поля мы имеем дело только с «квазичастицами». «Затравочные» или «голые» частицы так же, как эатравочное взаимодействие, в атом случае ненаблюдаемы.
Действительно, в этом случае, в отличие от задачи многих тел, нет возможности вынуть частицы и исследовать их свойства вне «среды». Между тем при построении квантовой теории поля приходйтся начинать с введения эатравочных частйц и затра~~ййй а~ т~»эи —. — «%3ихя~э ~«Р мулировки теории является появление расходящихся ин- тегралов во всех выражениях, свяэыв зат ав н в~ Фуад Г 6 ве . ти расходимости являются, как мы увидим, 274 ГЛ 6 КАЧГСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ следствием одного из основных предположений квантовой т — я азаимодеиствия. Локальность означает"; что частицы взаимодейртвуют только когда совпадают' йх" '4-мерные' координаты. Любое вааимодействее на расстоянии' рассматривается как вторичный эффект, возникающий в реаультате обмена одной или несколькими виртуальными частицамп, лспущенными и поглощенными в локальных актах.
Поскольку затравочные величины ненаблюдаемы, то расходимости выражений, содержащих эти величины, не являются аргументом против предположения о локальности взаимодействия, которое с большой точностью подтверждается на примере квантовой электродинамики (см. ниже). Один иа способов выйти из этого затруднения состо в следующем. Можно так сформулировать теорию, чтоб она с самого начала содержала только наблюдаемые в личины. При атом расходящиеся интегралы не появляют в расчетах, несмотря на локальность взаимодействия. Э программу в принципе можно было бы провести с помощь дисперсионных соотношений.
Поясним идею этого мего на простом примере, который к тому же поможет проследить причину расходимостей при локальном взаимодействиии. Рассмотрим амплитуду рассеяния двух нерелятивистских частиц с локальным (6-образным) взаимодействием. Пусть взаимодействие соответствует отталкиванию, тогда отсутствуют связанные состояния. При 6-образном взаимодействии амплитуда рассеяния не аависит от углов (О-рассеяние). Уравнение для амплитуды рассеяния в системе центра инерции можно записать в виде (стр. 23т, т = 1) у(А> 2~~) ) 4я ( 1 (Ф Н1) Ф (кп Р ) ~~ Рз .Р' уг ) д а + .б р~~)з Здесь Х вЂ” борновская амплитуда, не аависящая в нашем случае от р н у' и играющая роль«затравочного» вааимодействия.
Предположим, что Х достаточно мала, и попытаемся получить ~ в виде ряда по степеням Х. Во втором порядке по ). получаем интеграл, линейно расходящийся на ГЛ. 6 КАЧЕСТВЕННЫЕ ИРТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТГОРИН ПОЛЯ 275 верхнем пределе, у)п 7 ~м) 7 т ( ~)'Р~ ) Рй — УР + й (Зк)' а'являются естественным сл стви рая п иводит к интег и ованию о бесконечному импульс- ному пространству. Если бы взаимодействие было нелокальным, то 7),нельзя было бы выносить из-под интеграла и интегрирование по импульсам было бы обрезано величиной 1/г„ где г, — радиус взаимодействия.
Пепробуем получить ряд не по степеням Х, а по степеням амплитуды, соответствующей какой-либо определенной энергии, скажем, энергии, равной нулю. Выразим амплитуду через ее мнимую часть (стр. 184, у = р') ~(р) = — „~ 1 Г Ьа ) (Р1)ЛР)~ Как легко видеть из оптической теоремы (см. ниже формулу (Ь)), для сходимости ряда по степеням 7' (О) необходимо улучшить сходимость подинтегрального выражения. Для атого вычтем из левой и правой частей 7'(О). Полу- чаем ) (р) — 7'(О) + — ~ (а) 'А'ак как мнимая часть 7' (р) согласно оптической теореме 1ш7'(Р) = Р) 7'(Р) (з (Ь) квадратично зависит от 7', то формула (а) вместе с (Ь) дает возмояспость получать итерацви по степеням 7'(О).
Эта расходимость той я)е природы, что я расходимости в квантовой теории поля. Переход к релятивистским формулам, как мы увидим, только изменяет характер расходимости, и для бозе-частиц вместо линейной зависимости от верхнего предела получается логарифмическая, а для ферми-частиц — квадратичная. Математическая причина расходимости состоит в том, что ийтегральное уравнег)де для ЖЮ У~ — " Р" 1 "~Р " л У*" разложения в ряд по степеням, аким обрааом', расходймости тео йи поля не соде жат ничего таинственного 276 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ Полагая в правой части (Ь) 7' = 7' (О), получим 7' (Р) = ~ (О) + ~Р [7' (О)]' +... Для рассмотренного нами случая можно, как мы видели (стр, 184), получить и замкнутое выражение.
Согласно (а) имеем ~(Р) = ~ — Р7(О) ((о) Для получения ряда по степеням ~ (О) нам пришлось переписать уравнение для амплитуды в форме (а), т. е. выделить слагаемое 7' (О). При переходе к релятивистской задаче в случае ферми-систем иа-за более сильной расходимости нам пришлось бы для сходимости ряда по степеням 7' (О) выделить, кроме слагаемого 7'(О), еще слагаемое ~ — ) р'. В следующих приз аГ' ( ЛР' о ближениях степень расходимости увеличиваегся и количество вычитательных констант возрастает.
есмот я на привлекательность дисперсионного подхода, он и актически применим только в простеЩйс ю~в~~* ° ° . — * — .*- А 7 г ю~~жю Г ЧРиииуеО~ состояниях и возникают мннпгаелатичиыв .нп7литуды, Р дщ Аб.2 * * ~~июс~ д Удобнее польаоваться следующим приемом. Расходящиеся интегралы обрезаются на некотором болыпом импульсе Ь (или на малом расстоянии г„если расчет ведется в координатном представлении).
Тогда, предполагая взаимодействие Х достаточно слабым, можно получить ряд теории возмущений по степеням Х. Оказывается, что расходящиеся части интегралов (зависящие от Ь) могут быть в каждом порядке теории возмущений выделены так, что после переопределения константы взаимодействия и констант, входящих в функции Грина, оставшиеся выражения ) уже нечувствительны к месту обрезания. В этом состоит ) идея перенормировок, с которыми мы сталкивались в задаче многих тел,— при переходе от частиц к квази- частицам приходилось переопределять массу и константы вааимодействия. Переход от затравочной константы Х к амплитуде ~ (О) в рассмотренной вылив задаче представляет собой пример перенормировки взаимодействия.
Гл. Б кАчвстВБнныв мктОды В кВАнтОВОЙ ткогии пОля 377 Для того чтобы теория имела физический смысл, необходимо, чтобы устранение расходимостей за счет переопределения констант можно было сделать во всех порядках теории возмущений. Оказывается, что это возможно не во всех теориях поля, т. е. что не все теории поля обладают свойством перенормируемости. Критерий перенормируемости определяется размерными соображениями.
Для перенормируемости необходимо, чтобы константа взаимодействия была безразмерна или содержала длину в отрицательной степени. В случае константы, имеющей размерность, скажем, квадрата длины, степень расходимости интегралов будет расти с увеличением порядка теории воамущений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
