1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Нетрудно убедиться, что величины У, преобразуются как пространственные компоненты 4-вектора У„. Действительно, подставляя (6.5) в (6.6), получим 1 т 1 Р» = Р~+ З ззХ (с1сз+ сзс1) Х+ З зз'Р (соз+ Озсю)тр. Используя правила антикоммутации О;а„+ О„О1 = 26яо мы приходим к правильному закону преобразования Рт + гт~ тт Найденные билинейные комбинации обычно записыва- 1 тР ~ ют с помощью биспинораЧ" = ( ~ и матриц Дирака (х/ т.'= (,,).
т =- (,,) ~ = Ч"'тоЧ" — = Ч" Ч", Уз = Ч"т.тэЧ' — = Ч"'ЬЧ". Матрицы Дирака удовлетворяют соотношениям антикоммугации уэут + утуэ = 2бэт. Уравнения Максвелла. В качестве иллюстрации использования свойств симметрии покажем, как теоретик нашего времени восстановил бы уравнения Максвелла в пустоте, если бы они не были известны. Нам надо получить соотношения между электрическим полем в (т, «) и магнитным полем Ж (и, 1). Эти соотношения должны быть линейными вплоть до очень больших полей Ж, Яз' е„ ФОы в/см, которые определяются поляризацией вакуума (см.
оценку на стр. $2). Прежде всего нам нужно найти характер симметрии полей в и Ю, что выясняется из простейпшх экспериментов, например, иа экспериментов по отклонению пучка электронов в магнитном и электрическом полях. При этом на электрон действует с констРуиРОВАние Рклятивистских уРАВиеигсй 235 сила У =- ее + — тс Х Х, откуда следует, что величина Ж является псевдовектором (нли аксиальным вектором). Это означает, что в отличие от векторных величин Ж не изменяется прн операции зеркального отражения. Кроме того, так как Ж соэдается током, т.
е. величиной, пропорциональной скорости заряженных частиц, то магнитное поле изменяет знак при операции обращения времени. Между тем электрическое поле а' является вектором н, поскольку оно может быть создано неподвижными эарядами, инвариантно относительно обращения времени. Тогда уравнения наиниэшего порядка, связывающие е и дг, будут — = агоВдс, —,= Ьгос Ж. дй дМ дс ' дс Действительно, гос дс — единственная величина, не изменяющая энак при отражении и меняющая знак при аамене ~ на — 8. Слагаемое вида Р х Ж противоречило бы трансляционной симметрии пространства.
Аналогично исключаются и все другие возможности. Мы не включили в уравнение производные более высокого порядка. Их включение привело бы к введению дополнительных констант и нарушило бы красоту теории. Кроме того, введение более высоких производных по координатам заставило бы также ввести и более высокие пронэводные по времени, иначе нарушилась бы симметрия координат и времени, диктуемая релятивистской ннварнантностью. Тогда эначение полей е и Ю в момент времени ~ определялось бы ие только их значением в начальный момент, но и эначением их производных по времени. Обе введенные выше константы имеют размерность скорости, причем одну иэ ннх можно выбрать проиавольно. Это определит относительные единицы измерения е н Ю. Положим Ь = с (с — скорость света).
Тогда, исключая Ю иэ уравнений, находим (гог гоГ е = — Ы + д с(су е = = — Ай) д''е — = — асссе. ды Для того чтобы скорость распространения волн была равна с, необходимо а = — с, после чего наши уравнения превращаются в уравнения Максвелла.
Иэ требования 23Е ГЛ. 6. КАЧГСТВГННЫГ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ релятивистской нвариантности мы могли бы найти аакон преобразования е и Ж, компенсирующий лоренцево преобрааование координат так, чтобы вид уравнений не изменялся. Удобнее это сделать, введя 4-вектор А„: Еа= А; — д,Аа, Х = го1А, (с— = 1), да дн откуда очевиден 4-векторный характер А„. Ч'аким образом, е и Я преобразуются как компоненты четырехмерного тензора Е„, =-- д„А, — д,А„. д~, Уравнение Клейна — Гордона — Фока.
Получим лоренц-инвариантное уравнение, описывающее частицу со спином, равным нулю. Число компонент волновой функции со свином ( в системе покоя определяется числом проекций 1 на фиксированную ось, т. е. равно 2у + 1. В нашем случае функция должна быть однокомпонентной. Как мы увидим, изучая функции Грина в поле (см. следующий раадел), невозможно построить релятивистски инвариантную теорию только для частиц: в теорию с необходимостью'должны входить античастицы с той же массой, которые„вместе с частицами описываются единым уравнением.
Получим это уравнение. Волновые функции частицы и античастицы в (р, 1)- представлении подчиняются уравнениям 1 ',( ) =- Е(р) Ч',(р), 1 = Е(р) Ч' (р) (б.7) где Е (р) =, ф' ра + та. Введем функции а-т,4-%',.ч" =т,— а' тогда из (6.7) получаем 1 да —— Е(Р) Ч"„а щ — — Е(Р) Ч". дч" . дч'а Исключая Ч"О имеем (ра+ та) у В координатном представлении получаем уравнение !. КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИЙ 2З7 Клейна — Гордона — Фока (Г") -с- вс') Ч' = О., (6.8) Из определения Ч" (у, с) видно, что слагаемые Ч" (м, с) с отрицательными частотами соответствуют частицам, а слагаемые с положительными частотами описывают античастицы.
Уравнение (6.8) релятивистски инвариантно, что сразу видно в р-представлении: (рб — Ф вЂ” лс') Чб = О. Умнонсая (6.8) на Ч"* и вычитая уравнение для Ч"*, умноженное на Ч", получаем уравнение неразрывности — +бс .У=-О, др дс б с, бб у в Р Плотность р дается выражением /б, дЧ' дЧ'* 'б р(,с) Г Ч' дс )' в (тэ, с)-представлении р(Х) = 2Е(я)(Ч"-(~ ) Ч" (я) — Ч'. (у ) Ч",(р)). Таким образом, величина р имеет смысл рааности плотностей частиц и античастиц, а уравнение неразрывности выражает сохранение разности чисел частиц и античастиц.
В отсутствие поля, разумеется, сохраняется каждое из этих чисел. Для заряженных частиц уравнение неразрывности, очевидно, должно соответствовать сохранению заряде и, следовательно, заряд античастиц отличается только знаком от заряда частиц. Итак, уравнение (6.8) представляет гобой релятивистски инвариантную форму записи двух уравневгй Шредингера (6,7), удобную для дальнейшего введения поля.
Уравнение Дирака. Наша задача — получить релятивистски инвариантное уравнение, описывающее частицу со спином с,сс. Как уже говорилось при полученпи уравнения Клейна — Гордона — Фока, это невозможно сделать с помощью поля одной частицы. Необходимо составить единое уравнение, описывающее частицу н античастицу, 233 ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ 'у — р'=- р'. д (6.10) р*, ъ ур, р ю р (р.ур), справа на у и используя свойства у„, получаем уравне- ние для Ч" дч' — 1 — 7э = тРР. (6.11) дхэ Умножая (6.10) слева Ва Ч', а (6.11) справа на Ч" и вычитая одно из другого, получаем уравнение неразрывности — Ч 7РЧ = — О. де, Ниже мы увидим, что Ч'у„Ч" имеет смысл (6.12) 4-тока. Для определенности будем говорить об электроне и пози- троне. Рассмотрим сначала уравнение в системе покоя. Тогда для электрона н познгрона получаются два независимых уравнения дЧ'+ .
дЧ' — = тЧР 1 = = тЧР . д~ +' д$ Каждая из этих функций двухкомпонентна в соответствии с двумя вовможными проекциями спина. ОбозначимЧ" = ~~, ЧР = у и введем 4-компонентную функцию ЧР = Д~ . Уравнение для ЧР приобретает вид 7о дЧР (6.9) Теперь надо написать лоренц-инвариантное уравнение, д содержащее компоненты оператора импульса рэ = — 1— дх и переходящее при р, Ч" = 0 в (6.9).
Мы уже знаем, что величина Ч"7„Ч" — это 4-вектор, а Ч'Ч" — скаляр. Отсюда следует, что величина Азу„ЧРпреобразуется так же, как Ч", если А „— 4-вектор, (Умножение этой величины слева на 'Р дает скаляр, так же как умножение Ч" на Ч'.) Рр данном случае в нашем распоряжении есть только 4-вектор ~д д ) 1рэ = ~ — — 1 Поэтому мы приходим к уравнению д~ у дз, у' Дирак а 1. КОНСТРУИРОВАНИИ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНННИИ 2$9 В импульсном представлении рЧ" = у„р„Ч" = тЧ'. Применяя ато уравнение двая(ды, получаем р2ЧР р2Чг т»Чг откуда р» = (о» вЂ” р» = т».
Это уравнение имеет два решения( (о = ~ )г р» + т». Положительные частоты соответствуют частицам, а от. рицательные — античастицам. Зто, конечно, не означает, что энергия Е античастиц отрицательна — просто вЧг входит комплексно сопряженная волновая функция античастицы, так что вместо множителя е-(Л( появляется мно житель о(к(, т.
е. отрицательная частота. Комплексное сопряжение нам понадобилось для того, чтобы получить в (6.9) матрицу у», что позволило написать козариантное уравнение. Уравнение Дирака устанавливает связь между первыми и вторыми компонентами Чг. Имеем из (6.13) (Е (Р) — т) (Р = ИРХ, (Е (Р) + т) Х = аР(Р. (6.14) Запишем Ч' (х) для плоской волны в виде Ч'р" (а, х) = и(ка(Р". (6 15) Здесь значок и определяет анак энергии и знак проекции спина, т. е.
определяет»название» функции, тогда как значок а — спинорная переменная, определяющая номер кочпопенты. Из (6.14) находим и(, нормированнуз' так, что йи = 1 ВР Х(о и(-Р =1Г! !+ 1 (и(+ т ~ (616) г 2гл Х (о где ~р(е — спннор, соответствуилций двум проекциям спвпа ((р(>, (р(Р>) = 6„. В системе покоя Фг(" (х) для 10». В Мдгдлл 29О гл. В. кхчнстввнныв мктоды в кеьнтовой твогии поля >' >Го> ) Е 0>>) ) О переходит в Ч"~+>' = ~ (е ~, а для Е(т>) ( О в Чл — ь — о „ Из (6.16) следует, что функция и~-~' (тэ, а) описывает позитрон с импульсом — т>. Наиболее существенное следствие уравнения Дирака— это предсказание античастиц с той же массой, что и частица, но с противоположной четностью.
До тех пор, пока нет внешних полей или взаимодействия, частицы и античастицы распространяются независимо, и уравнение Дирака представляет собой просто компактную запись уравнения Шредингера в условия лоренц-ковариантяости. Преимущества уравнения Дерака будут видны ниже, когда будет введено взаимодействие. Функция Грина бесспнновых частиц. Функция Грина свободной частицы в 0т, т)-представлена» имеет еид (стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
