1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Нам нужно найти 4-тепэорное выражение ()и, <и ою матричные элементы которого в системе покоя дают Рхх) 3. РАСХОДИМОСТИ И ПИРННОРМИРУКМОСТЬ 297 Поскольку введенная нами величина Р„„представляет собой функцию Грива уравнения Даламбера ~ Р„„= — ф„,б(х — х'), то с помощьк~ Р„„определяется классическое поле АР, ет вызываемое током 7Р ( )АР* = 7Р*. откуда А«т (х) = ) ~ Р„. (х — х') 7~' (х') с(зх'. (6.34) В частности, для поля неподвижного заряда е имеем (о = = еб (т'), Ас«* = ы) Роз (т', 7 — «') Й'. Отсюда, используя выражения функции Грина бесспиновых частиц с т = О, получаем — 7')Р(т,~)Ытт-тРсс(сз=О, т)= — —, Аз" = —. (6.35) з — 4я„.
2. РАСХОДИМОСТИ И ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ Используя функции Грина, найденные в предыдущем рааделе, и введя вваимодействие меясду частицами, можно приступить к выяснению природы расходимостей в теории поля и к устранению втих расходимостей за счет переопределения констант, входящих в теорию. Эти вопросы будут сначала выяснены на цростей1пей модели квантовой теории полн — на модели 4-бозокного взаимодействия. Локальное вааимодействие между частицами. В этом разделе будут рассмотрены вовможные типы взаимодействия между частицами в будет выбрана простейшая модель, которая ниже будет использована для исследования свойств квантовой теории поля на малых расстояниях.
Квантовая теория поля исходит из предположения о локальном взаимодействии частиц. Это оаначает, что частицы вваимодействуют только, когда их пространственные и временныв координаты совкадают«). Наблюдающееся на опыте взаимодействие яа расстоянии рассматривается как вторичный процесс, возникающий и результате испускания и поглощения виртуальных частиц взаимодей- «) Мы пс рзссызтриззоы здесь попыток построения пслокзльиых теорий, которые пока пв Лали реальных результатоп. 993 гл.
6. к«чнствкннык метод!1 в квлнтовои ткогни поля ствующими частицами, причем акты испускания и поглощения локальны. Если вэаимодействие таково, что э локальном акте рождается одна частица, то процесс рассеяния частил описывается графиком рис. 50, а. «7 Частица 1 от л, до у, двигалась свободно. В точке у, была испущена какая-либо частица, которая в точке у, поглотилась частицей 2. В случае электродинамики испускаемая частица — квант. Кулоновское вааимодействие, таким обраэом, есть результат обмена виртуальным квантом.
В случае ядерного вааимодействня двух нуклопов такой виртуальной частицей является я-меэон или какая-либо другая частица, сильно вээимодействуэ>щая г куклонамв (такие частицы, по предложекин> Л, Б. Окуня, объединяя>тся наэванием «адронэ). Взаимодействие на расстоянии осуществляется в более сложными процессами — например, изображенным на рнс. 50, б. В случае электродинамики такой процесс приведет ли>яь в малой добавке к кулоновскому вэаимодействию, поскольку вэаимодействие электронов с электромагнитным полем характериауется малым беэраамерным параметром а = = е«>ос = 11137.
В случае сильных взаимодействий соответствующий беэраамерный параметр не мал и графики тяпа 50, 6 должны учитываться наряду с более сложнымэ графиками, в которых участвует большое число виртуальных частиц. Когда в локальном акте испускаются 2 частицы, вэак. модействие ка расстоянии описывается графиком рпс.
51. Такой случай осуществляется в слабых взаимодействиях. На ркс. 51 вэображен процесс слабого вэаимодействия двух куклонов. Зто взаимодействие осуществляется аа счет обмена двумя частицами: электроном и антинейтрино. Таким обрааом, требование локальности состоит в том, что между актами взаимодействия частицы двигаются з. вхсходимостн и пввкновмивгимость свободно, а размер (четырехмерный) эбласти взаимодействия предполагается равным нулю. Такое простое и красивое предположение приводит к серьезным трудностям: интегралы по пространству, описывающие некоторые процессы, оказываются расходящимися за счет интегрированин по областнмалых расстояний между и актами взаимодействия, илп, если вычисление ведется в импульсном представлении, эа счет больших импульсов виртуальных частиц.
Это означает, что р п используемые нами методы описания иванРис. товых систем неприменимы на малых расстояниях. Непротиворечивое описание систем в малых областях пространства — времени, воаможно, потребует фундаментального пересмотра наших понятий. Однако, оставляя в стороне эту нерешенную вадачу, лложно попытаться построить теорию, пригодную з тех случаях, когда изучаются процессы, протекающие в четырехмерных областях много больших, чем четырехмерный интервал гс, определяющий границу применимости теории.
Подобнылл образом построены все макроскопические теории. Например, построение электродинамики в среде для полей, медленно ивменяющихся во времени и пространстве по сравнению с атомными масштабами, не требуе~ звания атомной механики, а требует только введения диэлектрической и магнитной восприимчивостей. Для проведения такой программы требуется прежде всего ясно понять п я о н ха акте расходимостей, возникающих в теории. Этот ф н аменталькыи вопрос не обявктнлътло нз чать на реально существующих частицах и ззаимоденствнях.
Пелесообразно рассмотреть его сначала йа простблппей модели теории поля для одного типа частиц. Самое простое локальное взаимодействие соответствует рис. 52. Однако такая теория, как легко видеть, неустойчива по отношению к рождению бесконечного числа частиц. Действительно, для взаимодействия такого типа плотность энергии имеет вид тралу~ + рр'.
При любом знаке д энергия неограниченно понижается при у~у -+ — оо, В результате возяикалот расходимости, пе имеюяше отношения к тем, которые вам следует изучить. Простейшая разумная теория соответствует скаляр- 2СС ГЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ вым частицам с локальным взаимодействием, изображенным на рис.
53. Для того чтобы такая теория была устойчивой, необходимо, чтобы константа, характеризующая — с Ряс. 52 Рис. 53 взаимодействие, соответствовала отталкиванию частиц. Слагаемое в эне гни поля, соответствующее рис. 53, имеет вид Х . ля устойчивости. требуется Х ~ О„что и соЗаметим, что в теории Описывающей два типа частиц (фермионы и боэоны), вааимодействне, изображенное- на рис. 54, не приводит к неустойчивости (волннстая линия соответствует боэону). Такое ваанмодействне соответствует члену ввкергии вида дЧ~г Фр.
Так как фермнор . 54. ~у р~~' 11 у у накапливаться в большом количестве, то простое рассуждение, приведенное выше, в этом случае неприменимо. Взаимодействие такого типа испольэуется в теории сильного вэаимодействия элементарных частиц. Это же вамечапне относится и к электродипамнке (см. стр.
318). Графики Фейнмана в скалярной теории. Выясним, как должна вычисляться двухчастичная функция Грина в модели 4-боаонного ввакмодействня, т. е. найдем аналитическое соответствие простейшим графикам, входящим в эту амплитуду перехода. Тем самым будут найдены правила расшифровки любых диаграмм, состоящих иэ этих простейших элементов. Амплитуда простейшего процесса имеет внд (рнс. 53) А (х„х, ха, х6) = =) Руб (х, — у) 6 (х — у) ( — 6'г'„)6 (у — х,) 6 (у — х6). Оператор вваимодействия р„не должен явно зависеть от точки р — это нарушало бы однородность пространства и привело бы к несохранению энергии и иьшульса, поскольку г. васходнмости н пвгвногмигхкмость 801 зти ааконы сохранения являются прямым следствием однородности времени в пространства. Вообще говоря, можно включить в рв зависимость от градиентов: д Рз — — 'г' ( — ), где д/ду действует на какую-либо из ~ а! )' четырех функций распространения.
Мы рассмотрим простейший вариант теории поля, не содержащий градиентов, т. е. положим р = 'А. Теория имеет смысл только прн Х з О. Диаграмма рис. 53 соответствует наинизшему приближению теории возмущений по Х, которое справедливо при Х з. х. Кроме анаграммы рис. 53, согласно принципу суперпоаицни, е азщлитуду перехода вносят вклад всевозможные диаграммы, соответствующие различным промежуточным состояниям. Во втором порядке по Х возможны трн следующих графика (рис. 55).
Эти трв диаграммы отличаются перестановками наружных точек хо хз, х„хм так что сумма Рис. 55. диаграмм симметрична по хн лз, х„вю как зто и должно быть для скалярных частиц, подчиняклпихся статистике Бозе. По 4-координатам внутренних точек уг = (т,р,), уз = = (тз, рз) нужно проинтегрировать по всему пространству — времени, При атом различные области интегрирщ вания по временам т„т, отвечают различным промежуточпым состояниям. Например, в диаграмме а область 1нгз ( ( т~ ( т, < гз, г, отвечает процессу перерассеяния частиц 1 в 2, а область го гз( г, с т, ( гз, ~з отвечает рождению из вакуума в момент тз четырех частип, две иа которых аннигилируют в момент т, с исходными частицами 1, 3, а две другие приходят в точки 3, в.
302 ГЛ. 6. КАЧВСТВВННЫК МКТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТКОРИН ПОЛЯ Существование аинигиляционных процессов диктуется лоренц-инвариантностью. Интеграл по области т, ( ( т, не инвариантен >А>ожно перейти в такую движущук>ся систему коордвнат, где т, ) т,), и только в сумме с интегралом по области т, ) т„т. е. при учете аннигиляции, мы получаем лоренц-инвариантву>о амплитуду. Прн этом необходимо к тому же потребовать, чтобы константа )>, соотзетстяун>щая рассеянии>, совпадала с аналогичной констз нтой, соответствук>шей аннигиляции н рождениючастиц нз вакуума. Связь между процессами рассеяния и аннигилянвей (кроссннг-симметрия) является характерной чертой локальной релятивистской теории поля н надехсно подтверждена зкспервментами.
Другой ванин»,й принцип, используемый при построении теории поля,— это принцип тождественности частиц. Хорошо известно иа нерелятивнстской квантовой механики, что состояния, отличав>щиеся перестановкой координат 1или импульсов) одинаковых частиц, тождественны и не должны учитываться по отдельности в сумме по промежуточным состояниям. Если суммировать по всем таким состояниям, то правильну>о нормировку можно восстановить, снабдив промежуточное состояние с и частицами множителем 1/и), соответствукяцим числу тон<явственных перестановок.
Таким образом, диаграмму а надо умножить на 1/2! = = 1/2 для того, чтобы исклк>чить тождественные состояния при т, ( /( тх Прв атом для лоренц-инвариант- ности мы доля>ны поставить множитель 1/2 и в других областях интегрирования по т„т,, например, тз т,. В этой области множитель 1/2 учитывает неразличимость частиц, родившихся из вакзума. Аналогично можно проанализировать диаграммы рис. 55, 6 и в, Оценки расходимостей и идея перенормнровок. Поскольку правила расшифровки графиков найдены, можно приступить к более детальному анализу возникающих выражений.
При атом мы сразу же наталкиваемся на расходящиеся интегралы. Действительно, покажем, что диаграммы Фейнмана, содержащие замкнутые петли, расходятся прн интегрировании по внутренким координатам или импульсам. Рассмотрим, например, простейшую диаг- и ехсходимости и пвгкпогмиетвмость зоз рамму рис. 55, а. Расходимость в ней связана с областью у, — у„где каждая функция Грина 6 (у, — уэ), 6 (уг — у«) ведет себя как (стр. 292) 6 (у) - сопеь/у', у' к= л«-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
