1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Критерием применимости выражения (6.42) является малость величины А. Для пояснения перейдем в координатное представление. В графиках амплитудыА (х) прн л2 л ( 1 существенны расстояния между актами взаимодействия виртуальных частиц тоже порядка х. Действительно, все элементы графиков, соответствующие малым расстояниям (расходящиеся при малых х), убираются в перенормировки взаимодействия, массы и функции Грина. Расстояния, большие чем х, вносят малый вклад из-за убывания функций Грина.
В этом нетрудно убедиться на примере рассмотренных выше графиков. Рассеяние виртуальных частиц будет определяться величиной А, А (х), которая будет заменять величину Хв на малых расстояниях. По- атому критерий применимости использованного нами исходного выражения (6.41) будет не А < 1, а А '.= 1. Эти соображения наводят на мысль о возможности более общей формулировки перенормируемости, не предполагающей малости константы Хя. Ниже мы верненся к этому вопросу при научении свойств квантовой электродинамики на сверхмалых расстояниях.
Заметим, что мы могли бы получить те же результаты и не вводя затравочной константы Х и соответствующего радиуса обреаания Х (или гэ в координатном представлении). Вместо 318 гл, к клчкстввнныв мктоды в квлнтовен ткошгн поля этого можно ввести условный радиус обрезания г, много больший, чем граница применимости теории г„по в то же время много меньший, чем интересующие нас расстояния х. Вклад областей интегрирования, меньших чем г„, будем включать в условную константу взаимодействия А, (которая будет локальной с точностью до г,).
При )., (( 1 хх ~ амплитуда А = А (ь,1п —,) или в импульсном представлегх 'с -1 нии А = А (Х, 1н — ~ . Так как точка г, = Ь, произвольна, то амплитуда не должна аависеть от выбора этой точки. Повторяя приведенный выше. вывод с ааменой Л на х, и А на ).„мы приходим к тем же результатам.
3. КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ Рассмотренная выше теория скалярного поля не описывает реальной фиаической системы. Реально существующие скалярные частицы (мезоны) взаимодействуют пе только между собой, но и со спинорными частицами (барионами) и к тому же константа взаимодействия велика, так что теория возмущений здесь неприменима. Теория скалярного поля с малой константой взаимодействия представляет собой лишь простейшую модель, которая послужила нам для выяснения общих свойств теории поля на малых расстояниях. Теперь мы перейдем к реалистической теории — квантовой электродинамике, т. е.
к теории, описывающей взаимодействие электронов, позитронов и фотонов. Локальное взаимодействие в квантовой электродинамике. В разделе 1 были найдены функции Грина электрона (позитрона) и фотона. Осталось ввести х' взаимодействие между этими частицами. Простейший электромагнитный процесс изображен на рис. 61. Линия со стрелкой соответствует распространению электрона Рнс. 61. (позитрона), а волнистая линия — распространению фотона. В точке х пр ходит локальное взаимодействие. Общее выражение для амплитуды процесса на рис. 61 3.
ЭЛРКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯНИЯХ 3$Э имеет вид ~а ° — / р, ~ с/4х0 (х, — х) Гэ ( — ) г7 (х — х,) Ц; (х — х') Ч",е„, (6.43) где Ч"м Ч"м е„— волновые функции электрона (нли позитрона) н фотона; Г„(д/дх) — неизвестная функция, Производные д/дх могут действовать на любую из трех функций Грина. Явная зависимость Г„от х исключается из требования однородности пространства.
Для лоренц-инвариантности амплитуды перехода требуется, чтобы величина Ч',Г„Ч'з преобразовывалась как 4-вектор, который должен быть построен из 7„и д/дх„. Однано зависимость Г„ от градиентов означала бы введение размерной константы взаимодействия, что нарушило бы перенормируемость. Для устранения расходнмостей пришлось бы ввести бесконечное число членов вида (д/дх)", т.
е. потерять локальность. Для пояснения оценим вклад графиков 3-го порядка для вершины вида Г1э = /р1 (/ау» '~4е'д/Рхг В иьшульсном представлении имеем /ОЧ /~'/~.» У/~ з \, Г' а /1 Область интегрирования д ~) р, л дает Гш — Гл (1 + Рт $Д~ — з — — д~д) = Глм (1 + Р1Ь ). Получилась квадратнчно расходящаяся добавка в соответствии с размерностью р1(((А,! = 1/т). Таким образом, мы приходим к так называемому минимальному электромагнитному взаимодействнго Г„= еу„(6.44) с безразмерной константой ваанмодействия, совпадающей, как мы увидим, с аарядом электрона в единицах Хевисайда (ез/4я = 1/137).
Любые добавки к атой вершине возни- 320 ГЛ 6. КАЧЕСТЗЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ кают только как вторичный эффект при вычислении графиков более высокого порядка по е. Так, например, рассмотренный выше график третьего порядка с вершинами (6.44) приводит к добавке к Г„рассмотренного выше вида, где р1 — поправка к магнитному моменту электрона. Эта поправка вычислена с помощью (6.44) до 6-го порядка по е и с огромной точностью совпадает с опытом. Для того, чтобы',убедиться, что константа е совпадает с зарядом электрона, достаточно взять ь1атричный элемент выражения (6.44),''соответствующий переходу нерелятивистского электрона 'с испусканием кванта, и сравнить его с выражением, полученным на стр.
51. Волновая функция, соответствующая одному фотону з единице объема, равна 60'/у' 21~. Эту нормировку легко проверить, вычисляя энергию электромагнитного поля 2 (с + 966)йУ = 6э. В результате получаем для попе- 1 6 речной калибровки (66 ~ = О) — бей,м (Тз) З иэ е; (6.45) г' йа Пренебрегая изменением импульса электрона, получаем Правильность этого выражения сразу же проверяется умножением на ре и использованием уравнения Дирака. Добавка к гамильтониану электрона соответствует выражению (6.45) без множителя ( — г), т. е.
1 Р; Н' = е (пе<")) .2 —,, Р6 — — —,', '6~2/со ' что в точности соответствует выражению (1.23) на стр. 5$ (здесь заряд е — в единицах хевисайда). так как иоо (тз, а) для отрицательных энергий соответствует позитрону с импульсом — тэ (см. стр. 290), то в случае позитрона это выражение изменяет знак, т. е. заряд позитрона противоположен заряду электрона. Так как выражение е, /у 2й6 представляет векторный потенциал, соответст- ОЕ .г— вующий одному фотону, то матричный элемент в произ- з. элкктгодиньмикл нь мьлых гьсстояниях ч21 ь д'р Ч Рг Рз1 (6.46) Короткие концы у электронных и протонных линий означают, что функции распространения, соответствующие входным и выходным линиям, не включены в рассматриваемую амплитуду перехода.
Матричный элемент перехода, соответствующий этому графику, можно записать в виде — е' ( — ~)' %"'1Т~Л"з77~" (д) ЧТт,'Ф Для малых 4-импульсов д(д ((Мр) можно считать движение протона заданным и тогда множитель справа от О„„представляет собой д-ю компоненту 4-тока протона, движущегося с импульсом рм а выражение Л „(д) 7~ (д) есть д-я компонента векторного потенциала Аэ(х) = ~ ~ Р~- (х — х') уэ(х')Ух', (6.47) протонного тока (стр. 297). В этом случае задача рассеяния электрона сводится к задаче рассеяния во внешнем поле А„(х). Для учета отдачи протона достаточно понимать под 7э (х) ток перехода, т. е. матричный элемент оператора тока между начальным и конечным состояниями протона. Учет графинов, поправляющих О„„приведет к вольном 'электромагнитном поле А„получится заменой еэ l~'2й~ на А„.
Этим определяется правило введения оо внешнего электромагнитного поля в уравнение Дирака— следует к величине. у р„добавить еуэАю Действительно, прн этом уравнение для функции Грина дает С<п = = 6 ( — жу„Аэ)б в соответствии с выражением (5.33). Вычисление следующих порядков по е в Гэ дает наряду с поправкой к магнитному моменту поправку по взаимодействию электрона с полем ядра, приводящую к рассмотренному на стр.
68 лэмбовскому сдвигу атомных уровней. Рассмотрим амплитуду перехода, соответствующу1о рассеянию двух частиц, например, электрона и протона. В нанннзшем порядке по е этот процесс определяется гра- фиком 322 Гл, б. ЯАчестВенные метОды В квантовои теоэнн пОля тому, что в (6.47) В„,заменится на точную функцию П„„, к рассмотрению которой мы сейчас перейдем. Поляризация вакуума.
В присутствии внешнего поля в вакууме возникают поляризационкые токи и заряды, связанные с появлением виртуальных пар. Дополнительные заряды, наведенные в вакууме, как мы увидим, экранируют внесенные в вакуум заряды. Такого же типа явления происходят в диэлектрике. Поэтому для выяснения физической картины вакуумных процессов полезно проследить аналогию с классической электродинамикой поляриэующейся среды. Напишем уравнение Дайсона (стр.
245, 304) для точной функции Грина фотона 3 „, которая содержит все возможные виртуальные процессы, происходящие при распространении фотона в вакууме. Как мы увидим, это уравнение имеет простое соответствие в классической электродинамике. Введем блок П„, (х — х'), не содержащий частей, соединенных одной фотонной линией. Повторяя вычисления на стр. 245, находим в операторном виде П =В+ВПА>. Умножая слева на — > Ю ', получаем в координатном представлении ( )А>э„(х — х')+ > ~Пэ,(х — х>)0,„(х> — х')дах, = = — >я>,.6 (х — х'). (6.48) Запишем это уравнение в операторном виде и умножнм его справа на величину >'", где 7'" — ток, создаваемый зарядами, внесенными в вакуум. Имеем ПП! +>ПП1 = >! Поскольку А>7' * = — 2А, это уравнение совпадет с уравнением для векторного потенциала в поляризующейся среде Ц А = 7 + 7ч"; 7 = > ПА — поляризационный ток, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
