1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 48
Текст из файла (страница 48)
е. ДА + > ПА = у'~. Таким образом, величина П определяет поляризационный ток, вызываемый векторным потенциалом, а П представляет собой функцию Грина однородного уравнения для потенциала А в поляризующейся среде. Восстанавливая индексы и интегрирование, получим А~(х) = ~ ~П>, (х — х') у'„'(х') >2'х'. (6.49) к злвктгодинамикь на малых гасстояннях 323 Подставляя в (6.51) невозмущенную функцию Грина 1)оо (ы = О, о ) = — 1/4яг(стр.297), получаем закон Кулона. Так как ток 1„(х) доля<ен удовлетворять уравнению не- разрывности — =О, д/>, дее то из (6.50) следует, что дП„„(х — М) = О.
дх»> (6.53) Кроме того, как видно из графического определения, П„„= Ппм позтому условие (6.53) обеспечивает и калибровочную инвариантность, т. е. неизменность тока при добавлении к А„ величины д„/. Однако, как мы увидим, в квантовой злектродинамике величина П„„(х) имеет сильную особенность при х ->- О, и условие (6.53) в точке х = 0 нарушается. Это означает, что при малых х квантовая злектродинамика должна быть модифицирована так, чтобы обеспечить калибровочную ннвариантность и сохранение тока. В следующем разделе мы используем выражение (6.51) для нахождения поправки к закону Кулона, вызываемой Эта формула обобщает аналогичное выражение (6.47) на случай поляризующейся среды.
Поляркзациокпый ток дается выражением >,, (х) =- >~ П~; (х — х') А„(х') Аох'. (6.50) Для пояснения стих формул рассмотрим случай неподвижного заряда, покоящегося в начале координат ~'до = О, уо," = е,б (э') и А > —— О, е,А, = Р (э). Для поля $' (>') из (6.49) получаем У (г) = >е, о~ г>оо(1, э ) е>С = — ео~боо(ю = О, и), (6.51) где П (о>, т) — точная функция Грина фотона в смешан-' ном представлении. Плотность наведенных зарядов равна р (о')= — > ео) Поо(з' — з", т) Юоо(о> = О, э") Атдг'. (6.52) 324 ГЛ. 6.
КАЧЕСТВВННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТКОРНВ ПОЛЯ появлением в вакууме наведенных зарядов, плотность которых определяется соотношением (6.52). Радиационные поправки к закону Кулона. Квантовая злектродинамика предсказывает отклонения от закона Кулона. Эти отклонения связаны с диаграммами высшего порядка (так называемые радиационные поправки). Как мы сейчас увидим, физическая природа поправок н закону Кулона определяется поляризацией вакуума.
Несмотря на то, что радиационные поправки содер>наг ег 1 малый параметр с> = — = —, они имеют принципиальАе 1ЗТ ное значение, поскольку они позволяют выяснить характер расходимостей на малых расстояниях. Именно при изучении радиационных поправок в квантовой злектродинамике родилась идея перенормировок, лежащая в основе современной теории взаимодействий злементарных частиц. Итак, найдем первую радиационную поправку к закону Кулона. Рассмотрим бесконечно тяя<елуго заряженную частицу, покоящуюся в начале координат. Поле, создаваемое такой частицей, определяется выражением (6.51). В нулевом приближении это выражение дает закон Кулона. Изменение закона Кулона определяется появлением энранирующих поляризацнонных зарядов и, следовательно, определяется поправкой к Р „.
В наинизшем порядке по затравочному заряду ее имеем И (>к г О г~ (6.54) Будем проводить вычисления в смешанном представлении. Тогда, используя 1П(О,г) = ) П(т,г) е>т, получим Р>,„(0, т) = н> = — ~ Рн„(0, т — г'„) П„,(0, г'г — тг) Р „(О, тг) г>т> е)т,. (6.54') Здесь .Р„„(0, т) — свободная функция Грина в смешанном представлении (стр. 297) 1 Р>,„(0, т) = — — й~, (мы выбрали поперечную калибровку >1 = 1, см. стр. 296).
( 3. ЗЛИКТРОДИНАМИКА НА МАЛЫХ РАССТОЯ11ИЯХ 325 П„, — полярнзационный оператор, введенный в предыдущем разделе, соответствующий внутренней части диаграммы (6.54) П,/г() =(е( д г,$ ° Нам удобнее вычислять П„„(х) в координатном представлении. Диаграмма для П„„(х) расшифровывается так: П„„(х) = — ( — <ео) ЯР (Т„Ф (х)7,</ ( — х) ). След матрицы соответствует суммированию по всем спиновым состояниям виртуальной электрон-позитронной пары.
Дополнительный знак» вЂ” освяэанс тем, что <"'( — е) = = — С (1), где <е — функция Грина поаитрона (см. стр. 293). Как будет видно ния<е, нам понадобятся расстояния, много меньшие комптоновской длины, поэтому мох<но в функциях Грина электрона и позитрона положить и = О (стр. 294), ЕО Е О Е< ПР" (х) = — ЗР ~ТР Т вЂ” ) . 4 ( * /' След вычисляется элементарно, с помощью соотношений у.х = — йу„+ 2х„, хо = х', Бр (у,д„) = 4д„„: 'о ПР (х) — — (2хзх„— х д~ ) х (6.55) Заметим, что при У )) 1/и из выражений (6.25) и (6.21) для <»' (х) имеем <" (У) ° е и, следовательно, П„„(х) акспоненциально убывает при больших х< ПР (х) — е о ". ов<<о< Легко проверить, что выражение (6.55) удовлетворяет условию (6.53) во всех точках, кроме х = О.
При малых х (го ато выражение должно быть модифицировано либо за счет введения в теорию фундаментальных иамененнй, либо, если теория внутренне непротизоречнва (см. следующий раадел), за счет учета более слох<ных процессов. Естественно предположить, что эта модификацияне нарушит калибровочной инвариантности. еее ГЛ Е КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ Для дальнейшего нам достаточно потребовать, чтобы добавление к Л„постоянного слагаемого не изменяло тока (см. (6.50)), т. е.
чтобы исправленное выражение для П „(х) удовлетворяло условию ~ПР„(х)дех = О. (6.56) Поскольку нас интересуют расстояния х )) ге, трудности, связанные с поведением П (х) при х (тю как мы увидим, можно обойти. Для того чтобы найти интересующую нас величину Пее (ео = О, и) еи П (г), следует проинтегрировать выражениа (6.55) по 1. Обход особенности, соответствующей 1е = з'з, определяется тем, что к тл следует добавить бесконечно малую отрицательную мнимую добавку. Знак добавки определяется условием, чтобы П (ео, э') соответствовала расходящейся волне П (ез, и) ее ".
Дифференцируя интеграл 1(г)= — 1 ~ Ле я П вЂ” ее — 16 е по те, легко получить ееГее ее (6.57) Для поправки к кулоновскому взаимодействию, используя (6.51) и (6.54'), находим 6У (т) = — е,'0',7 (ео = О, 1) = 1 1 4л ~ ) г — з'е ( 4я ) г'1+ р ! П(р) — е(~ е( Плотность наведенных зарядов равна е Г 1 р,(г) =- — — е1П(р) 4я) (з'+р( др. Или, используя (6.56), з.
элвктродинамикя на малых касстояниях 222 В этом выражении следует разложить первое слагаемое в скобке в ряд по полвномам Лежандра Р,( — ). Испольдарг 1 р3 ' зуя П (р) = П (~ р ~), получим р,(г) =е,'Л С вЂ” ( — — — ~ р'др = — ' ,1 р~(г р) С г" ' т В 6г' ограничим интегрирование по гг снизу границей применимости теории ге. Подставляя р, в выражение для бг' и разлагая ~ г — г, ~ ' по полвноыам Лех1андра Р1 ~ — '), Получим с логарифмической точностью ~ п.~у' ее / 'з У(г) = — ~1 — —,1п — )'. 4 ~1 12 а (6.58) Это выражение применимо при гз(( $lшз, поскольку мы пользовались безмассовыми функциями Грина. На больших расстояниях логарифмический интеграл будет обрезаться комптоновской длиной, и мы получим закон Кулона с исправленным зарядом г'(г) = — „ и где е =е,~1 — —,1п— 12яь 2„2 Ф ~ о (6.59) величина ез по определению совпадает с квадратом наблюдаемого заряда электрона.
Исключая из (6.58) затравочный заряд ее, находим У(г)= — '(1+ — ', 1п 1, +0(')) = Как и должно быть, эффектнвный заряд увеличивает ся при уменьшении г, так как при этом уменьшается экранирующее действие поляризационных зарядов. Электромагнитное взаимодействие на сверхмалых расстояниях. Квантовая электродинамика, так же, как и теория 4-бозонного взаимодействия, рассмотренная выше, Щ ЙЛ. 6. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ является перенормируемой теорией (см. стр. 308). Электромагнитное вааимодействие характеризуется беаразмерной константой — постоянной тонкой структуры со = = ео = 1/137. Если ввести затравочный заряд е, и радиус обреаания Л, то связь меяоду наблюдаемым и аатравочным зарядом имеет вид, аналогичный (6.59), е' = ее~ ( е, 1и — ) .
о го Е~ (6.60) ео о е 2 > — 1'(О) е,'1а— Мы получим эту формулу, пользуясь простыми и наглядными сообра>кениями, ив которых будет следовать, что для любого типа ааряженных частиц ~' (О) < О. Рассмотрим потенциал ~р (т) неподвижных затравочных зарядов е„распределенных с плотностью Во (т). Потенциал ер удовлетворяет уравнению Пуассона Л~р = — ео (по + и>), Эта формула предполагает, что затравочный заряд ео мал, о Ь но величина е, 1 — порядка единицы. Тогда в диаграммах теории возмущений можно оставить только главные > о г, >и члены (ее 1п — ) .
То, что такие члены возникают, видно ив анализа диаграмм с помощью поворота Вика, аналогично тому, как это делалось в скалярной теории. Предполо>кение о малости затравочного заряда сделано только для простоты — единственное, что нам понадобится в дальнейшем, это малость наблюдаемого заряда е. Требование перенормируемости позволяет найти функцию 1 (е) с точностью до неиавестной постоянной 1' (О).
Как и в случае скалярной теории, единственная функция о/о Ь> е4 (ео 1п — ), позволяющая скомпенсировать изменение щ)! радиуса обрезания бХ, иаменением аатравочного заряда бее, имеет вид з. элкктродинамнкь на малых расстояниях л9 где и, — плотность зарядов, возникших в вакууме в результате поляризации под действием поля. Согласнб полученным выше результатам, вводя Пв (Р) =. 1 = П (р) —,, получим вв и,(г) =~По(р)(<р(м+р) — ср(в))др.
(662) Иэ атого соотношения следует, что полный заряд вакуума остается равным нулю ) и, (т)Ыг =- О. На расстояниях р )) )) 1/ив, П, (Р) зкспоненциально убывает, а на малых расстояниях, р (( 1/лв, согласно (6.57) Пв(р) = А(р( ' А =1/4ив)0. Разобьем интегрирование по Р в (6.62) на три области: р ~- г, р г и р .~ г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
