1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 45
Текст из файла (страница 45)
В реэультате возникает интеграл, логарифмнчески рас- ходящийся на нижнем пределе — $Р) 6(хх — ух)6(ла — у,)6(ха — ут)6(х,— ут). $2 г ы4у«н4уз (6.36) Особенно ясно это видно, если перейти к евклидовой метрике, заменив ухе, у«м на «уь«, «ум; тогда интересующая нас часть интеграла — ~ — ' ! и (1/и«ге). г уэиу ) у' Расходящаяся часть этого интеграла выделяется в виде множителя — Х ~~ — ~д у«6(х« — у,) 6(х,— У,)Х е Г Ы«У«з б 2 ) у« 1$ Х6(ха — у,)6(х« — у«)'((у««)((!х« — У ~) и имеет ту же форму, что и вклад диаграммы первого по- рядка (рис. 53), Как и диаграмма первого порядка, расходящаяся часть диаграммы второго порядка отвечает точечному взаимо- действию, и их имеет смысл объединить, переопределив константу ).
точечного взаимодействия. В этом состоит идея перенормировок. Отбрасывание точечных вкладов соответствует вычи- танию из множителя 6 (х« — у,)6 (х« — у«)6 (ух лз) Х Х6 (ух — х4) его значения при Ух = Ум после чего получается сходящийся л л'у интеграл по у„ую Не все расходи- л« ля мости сводятся к перенормнровке кон- станты взаимодействия. Рассмотрим, например, графин второго порядка для функции Грина, изображенный на рис.
56. Он содер- «кнт проиаведение трех функций Грина 6 (у) и расходит- з04 гл. 8, КАчестВенные методы В кВАнтОВОЙ теовни поля ся при у -~ О. Возникает расходимость уже не логарифмически, а квадратично зависящая от нижнего предела ге 5д'раз (у) - 5 ™и у ' - " . Мы покажем, что расходящаяся часть этого интеграла может быть включена в перенормировку массы частицы и в перенормировку функции Грина. Для этого удобно записать точное уравнение для функции Грина в форме Дайсона, как мы ато делали в задаче многих тел (стр. 247)г (~ )+ ш,')г7(х — х')+ г~Х(х — х,)б (х, х)гг х, = — гб(х — х').
(6.37) Величина Х (х, х') нааывается собственно-энергетической частью (для нашего случая бозе-частиц ее иногда называют поляривационным оператором), и в отсутствие внешнего поля, как и функция Грина, зависит только от разности координат (х — х') в силу однородности пространства — времени. Величина Х (у) включает в себя все графики, которые нельзя раабить на части, соединенные одной линией. Во втором порядке теории возмущений по ) эта величина дается внутренней частью графика рис. 56. В Х отсутствуют диаграммы, соответствующие повторению этого графика,— они уже учтены в С (х, — х'). Таким образом, в нашей теории интегралы от Х (у) по гг'у расходятся при у -~ О. Для выделения втой расходимости разложим г (х, — х') под интегралом в (6.37) в ряд по степеням у, предполагая, что ~ х — х' ) )) г, (ге — определяет границу применимости теории).
Мы убедимся, что при этом достаточно использовать только 2 члена разложения — следующие члены представляют собой сходящиеся интегралы, нечувствительные к величине г,, Действительно, Х(у)гг(х — х'+ у) Ру = = б(х — х') ~Х(у)гну+ д„б(х — х')~Х(у)у.г('у+ + —, дедЯ (х — х') ~ Х (у) у~у„Уу+.. ° В силу изотропин пространства — времени интеграл, 2. РАсходимости и ПБРвнОРЫНРувмость ао5 линейно содержащий у„, равен нулю, а интеграл ХРРУ~ОО У = — бв» ~ оОР О у'. Во втором порядке теории возмущений Х Хауз. Поетому интегралы имеют порядок Ыоу — — 1)хуыоу — У 1п— Л~ г 1 го о Следующие члены разложения содержат уже сходящиеся интегралы. Обозначим зту часть Х череа Х' и введем обозначения для двух расходящихся частей 1) ХСо(оу = 1) Е'Соооу + т"С + СДС. Подставляя в уравнение (6.37), получим (1 — С) [Я+ (яо, '+ т") С + 1~ Х'СУу = — 16 (х — х').
Последнее слагаемое записано в символическом виде. Введем обоаначения —, = р, С(1 — С) = С . Тогда для Са получится уравнение, содержащее только наблюдаемые (сходящиеся) величины вместо затравочных (Г ) + ло, + р')Ся = — 16 (х — х'). Величины, входящие в зто уравнение, конечны. Выразим т', через наблюдаемую массу лоо.
Для етого перейдем к импульсному представлению. Функция Ся должна иметь полюс при р' = ио, что соответствует выражению для энергии частицы Е (то) = (1оо + лоо)ч1; следовательно, то = тг + р' (р' = то). Таким образом, выделение расходящихся частей графинов привело к перенормировке массы и к изменению коэффициента при 6 (х — х') в уравнении (6.37). Множитель х = 1/(1 — С) называется перенормировкой функции Грина и аналогичен множителю, который возникал при выделении квазичастицы иа набора состояний, при- !! А. Б.
Ыогз*л 395 ГЛ. В. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ сутствующих в спектре одночастичной функции Грина (стр. 222, 247). Учет расходимостей в более сложных графиках Х приводит только к тому, что во всех внутренних линиях происходит такая же перенормировка массы и константы взаимодействия. Иеренормировка внутренних функций Грина убирается в новую константу взаимодействия: от каждой из четырех линий, входящих в точку взаимодействия, забирается по У Т, так что Х, = Язь, Действительно, покажем на примере нескольких простейших диаграмм, что такое переопределение вершин приводит к умножению каждой диаграммы на общий множитель 2', который может быть устранен переопределением двухчастичной функции Грина.
Этот результат следует из равенства Выделение множителя 2 нз каждой функции Грина соответствует в первом слагаемом в фигурной скобке переходу от нормировки состояний на $ частицу в единице объема к нормировке на 1 квазичастицу, а множитель Я' соответствует переходу к двухквазичастичной функции Грина. Для того чтобы каждый из графиков умножался на тот же множитель, необходимо аабрать в Х по флот каждой из четырех функций Грина, входящих в точку взаимодействия.
Выражение в фигурной скобке уже не содержит величину г, и является функцией Грина двух квазичастиц. Окончательный результат сводится к тому, что можно применять графический метод прямо к наблюдаемым частицам. Таким образом, после выделения расходящихся частей можно польаоваться методом квазичастиц так же, как и в задаче многих тел. Итак, идея перенормировок состоит в том, что расходящиеся выражения могут быть удалены из расчетов путем переопределения констант, входящих во взаимодействие и в функцию Грина. Мы увидим, что такую процедуру можно провести не во всех теориях поля, т.
е. что ие все теории перенормируемы. г, РАсходпмОсти и ПГРРноРМИРРиыогть дб7 Условие перепормнруемостп. Нетрудно убедиться, что теория с 4-фермионным вэапмодействием представляет собой пример неперенормируемой теории. Диаграммы для взаимодействия частиц со спином $!2 имеют тот >ке вид (рис. 53, 55), что и для скалярных частиц, но функция Грина 6 (х) имеет более сильную расходимость при х — 4. 0 (стр.
294)4 тэгэ 1 6(х) = сопэг — — —. г4 гз Диаграмма (рис. 55, а) расходится квадратично Хр ~ 6 (г) 6 (г) 4)4г — Хр ~ —; . Поэтому для устранения расходимости нужно выделить иэ функций Грина 6 (х — у)1 (гг — у)6 (у + г — хэ)6 (у + г — хг) выражения (6.36) первые два члена разложения по г. Этн члены имитируют 4-точечное взаимодействие вида Уэфф(у) = — ) РР ~ 6(г) 6(г) Ы4г+ Ц ~ 6(г) 6(г) ге 4(4г — + длэ — ~ 6 (г) 6 (г) гэг„4) г —— йг Г д д г дуэ дг„ Таким образом, расходимости приводят к изменению структуры исходного вэаимодействия— приходится рассматривать взаимодействие, зависящее от градиентов. При переходе к более сложным графикам, например, рисунка 57, появляются члены с более высокими Ркс.
дг д' проиэводными —, — н т. д. дуг ' ду' Добавки можно воспринимать как перенормировки параметров в исходном взаимодействии вида д д4 )Г„= ) '+ С4т — + 64 —, +... Этот ряд не обрывается и содержит бесконечное количество градиентов. В реаультате исходное взаимодействие приходится предполагать нелокальным и оно может иметь 11* 388 Гл. з. кАчестВенные методы В кВАнтОВОЙ теОРии пОля например, структуру '=(+)'х(6) -=.:, у щу б у бг б Иными словами, локальное 4-фермионное взаимодействие не имеет смысла. Непротиворечивое (т.
е. перенормируемое) вааимодействие фермионов можно построить, если исходить из локального взаимодействия фермионов с бозонами (рис. 54). Эта идея испольауется в теории сильного взаимодействия элементарных частиц и в современных моделях теории слабого взаимодействия.
В чем же общая закономерность — как сразу сказать, на основе анализа размернос- те и. Константа Х взаимодействия четырех скалярных частиц безразмерна. Действительно, как мы видели, добавки к амплитуде имеют вид: Л+Л ~л'Р, т. е. Х беаразмерна. =Ябйй ббс 6МНГ * у ~м Рис. 88. взаимодействию фермионов с бозонами (рис. 58), тоже безразмерна, что можно увидеть из сравнения двух простейших графиков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
