1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 43
Текст из файла (страница 43)
214) е->и [а .д. Е (~)=У; В фурье-представления по т имеем (стр. 214) 6' (Р Ро) = йь( )+>б Ото выраясение релятввистски не коварнантно. Действительно, функция Гринаб(у, р ) должна быть коварнантна при лоренц-преобравовании 4-вектора (1>, Ре) Р = Р+ пРо Ро = Ро+ т>.Р. Между тем стоящая рядом с р, величина Е+(р) при таком преобразовании изменяется по закону Е'(р) = Е (р')= Е (т>) + т>Р,>ь Для того чтобы получить ковариантное выражение, необходимо допустить существование еще одной частицы с функцией Грина р, т = е->л <а>'О(т), Е = Ут'+ >рх 1.
ИонстРуиРовАнии Рнлятивистских уРАлнРнии 291 и ввести, так же как мы это делали выше (стр. 218), функцию Грияа, определеяяув> для всех т: (6'(т>, т), т)0, 2>,т) =[6 0 Тогда 1 ет(р) — Ро — >а е (р)+1ч — >а Для того чтобы это выражение имело ковариантнуя> форму, необходимо предположить, что Е' (р) =. Е (у>) = = Е (у>1, т. е. что масса второй частицы равна массе пер- вой (т, =- я> = т) 2Е (р) 6>(А> Ре) = Е~( ) — 2 — 'З . (0.18) В знаменателе стоит инвариант т>е + т' — рм Ввод> м январиаятную величину 6 (р) = 6, (р)/2Е (т>), Заметим, что 6 (р) является функцйей — Грппз .уразнеяия Клейна — 1'ордона — Фока (КГФ), описывающего ча- стицу с нулевым сивком ( 1 Ч" + т'Ч' = О, ((') + т') 6 (х, х') = = — Й(х — х'), х = (т', 1).
(8.19) Действительно, в 4-импульсном представлении 6(р) = ', (8.19) Ряс. 49. что совпадает с 6 = 6>/2Е(у>). В некоторых случаях удобно пользогаться функцией Грина в координатном представлении. Обозначая х — х = = — х, получим: 6(хг — х,) = 6(х)= 1~ Для вычисления атого интеграла удобно перейти к евклиповл>м переменным, введя р,=1р„х,=лте. Из приведенного рисунка (рис. 49) видно, что такой поворот контура 1ач интегрирования в комплексной плоскости можно сделать. не аадевая особых точек подинтегрального выражения (нв же мы рассматриваем такой поворот более подробно). Испольэуя соотношение 1 -,+ * =~ е 1" *>На, р«=2>'+Р«= — Р' о получаем « 6(х) = ~ е о""даП (~ехр( — ар';+ 1Р«х> ~ 2,' ) = о «> 1 с < л» е>»1 = — ) диехр( — — и — — 1.
— (4я)» 3 ) 4 о (6.20) На больших расстояниях с помощью метода перевала, раэлагая покааатель, получаем (У = «' х«) У» т» У» о — — и — — = — тй — — (и — и,), и, = 2т1э', 4 о 8>я откуда «(х) —,)/ — е- ', у))1/т. (6.21) В случае малых х можно пренебречь т" в покаэателе, в (6.20) дает «»(х) = — = — —. 1 1 4я»х» 4я»е» (6.22) Очень простой эид имеет функция Грина в смешанном представлении (т, Ро). Иэ уравнения (6 49) получаем а«'(Ро т') + (Ро 'и ) «(Ро т') = б (т') откуда 6 (ро Т) 4 ахр ~1( Ро т ) г1 (6 29) Выбор анака «-(» в экспоненте ааменяет правило обхода полюса в импульсном представлении. Функция Грина частицы со спинам >>о. Получим сначала функция> Грина в системе, в которой частица и античастица покоятся, тогда их функции Грина в т-представлении 292 ГЛ.
О. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОГИИ ПОЛЯ Н КОНСТРУИРОВАНИЕ РЕЛЯТИВИСТСКИХ УРАВНЕНИИ 293 имеют одинаковый вид 6,', (т) = е-' 'О(т) Ьмо 6,в (т) = е-' 'О(т) бмч где а, а' — спиновые значки. Введем, как это уже делалось выше (стр. 218), объединенную функцию 6,'У(т), т) О, 6гг(т) = — 6.Р( — т), Т~О, Переходя от т- к 6 в виде матричного рюпредставлению, можно записать Влемента 4-рядной матрицы +т о «Р+ 1В Ро Р'— 0 ба) = о ~о — Ш вЂ” ! рз — ая+ М о Для того чтобы получить 6 (р) в любой системе коор динат, необходимо записать 6 в инвариантной форме.
Для етого з анаыенателе рядом со скалярои ВР следуе1 вместо Р, 'поДставить 4-меРный скалЯР Р' = Ра — Р', а В числителе вместо у ро — скаляр у„р„. Скалярный характер этого произведения следует ив того, что матричные злементы Чгу„Ч" образуют 4-вектор. Таким образом, получаем 6(Р) = ~ РЯ+ габ (О.24) где р = у.р„. Матричные элементы 6 следует понимать в смысле Ч',6Ч",. Выражение (О.24) совпадает с функцией Выражение в верхнем левом углу соответствует частице, а в нижнем правом — античастице.
Иными словами, мв ~~у,) представляем б„как 6„= Ч",6Ч',, где Ч', =~ '~ — би. спинор, описывающий частицу н античастицу со олином а, Ч' = Ч"ту . Перепишем 6 (р„) в виде тих+ а Р 2 2 + 994 гл. 6. кАчкстВвннык мктоды В кВАнтОВОЙ ткоэии пОля Грина уравненин Дирака, определенной соотношением (р — т)6=1, 6= Найдем («в координатном представлении 6(я) = ) ~е-'««+ — р = (т+ 17„д,) О«(6.25) р' — «и (2яр где Гы — функция Грина скалярной частицы (6.20). При тэх'< 1 получаем (6.26) Таким обрааом, С (р) представляет собой матрицу С„а (р) в пространстве спинорной переменной а Переход к и-представлению осуществляется с помощью функции и'> (а), введенной на стр. 289.
Для внутренних частей диаграмм удобнее пользоваться а-представленном (см. ниже) . Функция Грина фотона. Прн описании скалярных в спикорпых частиц мы исходили иэ уравнения Шредингера н, польауясь лоренц-ннвариантностью, находили релятивистские уравнения и соответствующие функции Грина. В случае квантов электромагнитного поля — фотонов — исходным пунктом являются лоренц-ннвариаптные уравнения Максвелла. Нам нужно найти кваптовомеханическую интерпретацию этих уравнений. Наложим на вектор-потенциал условие Лоренца д„А„=- О.
(6.27) Тогда уравнение Максвелла сводится к четырем уравнениям КГФ для ка~кдой из компонент А„ П А«=0. (6.28) Таким образом мы можем интерпретировать А „(х) как волновую функцию бозе-частицы с пулевой массой. Векторный значок )г соответствует проекциям спина этой частицы. В случае частицы с массой, отличноп от нуля, для определения спина частицы можно перейти в систему покоя— число компонент волновой функции в атой системе равно 27 + т. Для фотона системы покоя не существует. В этом констРРНРОВАнив Релятивистских ХРАвнРнии< 295 Так, например, при А, равном нулю, направляя ось г по Й, получим е<лп = (О, 1, О, 0), е<<м = (О, О, 1, 0).
Теперь л<ы можем построить функцило Грина фотона как функцию Грива частицы, удовлетворяющей уравнению КГФ. В представлении ()л, й) олл Влл (й) = ы+гб (6.ЗО) Для того чтобы записать зто выражение в коварнаптной форме, поступим аналогично тому, как ато делалось прв случае для определения спина можно использовать калибровочную инвариантност»х пола А „и АР— — АР+ да<, где <' — произвольная функция координат и времеви, фи зически неравличимы и описывают одну в ту же частицу В любой фиксированной системе координат можно так выбрать функцию~, чтобы А, равнялось нулю во всех тачка» пространства — времени, тогда А „превращается в трех мерный вектор и, следовательно, описывает частицу со свином 1.
Однако условие Лоренца оставляет только две независимые проекции спина, которые соответствуют двум поляризациям алектромагнитной волны АР (х) = е<вл<м(ае" + а'е-" ). (6.29< Здесь первое слагаемое отвечает волновой функции фото на, а второе представляет собой компленспо сопряя<ев. ную волновую функцикл антифотона. Так как поле А„ вещественно, то антифотон тождественно совпадает с фотоном, и ток, отвечающий сохранению разности чисел частиц и античастиц, равен нулю, Волновая функция, описывающая 1 фотон в единице объема, соответствует в (6.29) а = 1<'»<2<ге (см. замечания на стр.
320), Векторы е<еы мои<но выбрать ортонормированыыми <лл <л > е„ еа = блл" Кроме того, е„ подчиняются условя<о лпоперечности» <л< 296 гл. в. качвстввнньгк мвтоды в квантовои твогии поля получении функции Грина спннорной частицы, а именно, введем 4-рядную матрицу )У„„, такую, чтобы ее матричные элементы давали величину Йлл' 1)лл =ее П~ е, <ы <л1 (6.31) Иэ этого условия ))„„определяется неодноаначно, а с точностью до продольного члена (<1 (кэ) — 1) кэ)< )Р х„„+0<(аэ) — 1)а а,.<а П, (й) = „„" . (6.32) <ю < ц< <л> слх. еэ Юэ» е„ йг — т~ о Отсюда, аналогично (6.32), следует « , ~ аэа„ "= — ~"- — ') И вЂ” аи <, " пя (6.33) Для того чтобы перейти к случаю л< -+ О, необходимо предположить, что продольные компоненты 1)„„(второе слагаемое в скобке) не входят в наблюдаемые выражения.
Это и соответствует калибровочной иввариантности. Таким образом, калибровочная инвариантлость представляет собой неиэбежпое следствие равенства нулю массы фотона. Продольный член не вносит вклада в (6.31) в силу условия непера~<ности, а член д „дает (6.30) благодаря ортонормнрованности функции е~~~. Калибровочную функцию <1(кэ) в (6.32) л<ожно выбирать, исходя иэ удобства промен<уточных вычислений. В окончательных ответах «сократится благодаря калибровочной инвариантностн.
Обычно выбирают <((<<х) = 1. Этот результат мы могли бы получить и другим путем. Можно было бы ввести векторую частицу с массой т, а аатем перейти к случаю фотона, устремляя массу к нулю. Функция Грина векторной частицы в системе покоя имеет внд, совпадаюп<ий с (6.30), но в отличие от фотона имеются 3 аначения поляриаации и соответственно 3 орта еэ .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
