1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Если первому графику соответствует константа д, то второй имеет порядок збзб 4уз 1 гуггууггувб)бзуг)бзб й т. е. константа й безразмерна. Такая же оценка с заменой Ю на е приводит к заключению о безразмерности константы электромагнитного вааимодействия е. Константа ХР 4-фермионного взаимодействия имеет размерность квадрата длины. Это легко видеть нз сравнения двух графиков амплитуды перехода: х! х, х, юг = 0-6 + Лф' д (г . лг г зщ Гл.
6. Качественные методы В кВантоВой теогкп поля Размерность константы такого взаимодействия находится из сравнения двух графиков '(- ~ откуда В~( = (з и, следовательно, Ха газ — э О. Этот же реаультат можно получить, рассмотрев простейший график л, — Д '. Предоставляем читателю убедиться, что в случае 4- фермионного взаимодействия возникает локальное взаимодействие любого четного числа частиц.
Мы пришли к важному выводу, что не все полевые теории могут быть построены в предположении локальности. Для того чтобы локальная теория была перенормируема, ! необходимо, чтобы константа вааимодействия была безразмерна. Этот критерий — необходимый, но не достаточный. Гак, например, в теориях, содержащих векторные частицы с массой, отличной от нуля, как видно из выражения (6.33) для функции Грина такой частицы, масса не выпадает из теории при больших 4-иътульсах йз))т', и приведенные выше размерные соображения неприменимы. Возникают интегралы, расходящиеся степенным образом. Логарифмическое приближение и перенормируемость. Как мы видели, в теориях с безразмерной константой взаимодействия возникают логарифмически расходящиеся интегралы, которые могут быть включены в перенормвровки константы взаимодействия, массы и функций Грина.
В каждом порядке теории возмущений увеличивается степень логарифма. Для того чтобы провести программу перенормировок в высших порядках теории возмущений, используем логарифмическое приближение, которое применяется во многих задачах квантовой теории поля. Логарифмически расходящиеся интегралы, возникающие в перенормируемых теориях, обрезаются на расстояниях г, много меньших, чем интересующие нас расстояния (расстояння меж- 3. РАсходимости и пБРБИОРмиРувмость 311 ду концами амплитуды перехода). В результате возникаУе ют большие логарифмы1 )и '2, что позволяет при Л<..
1 ~0 сохранять в каждом порядке теории возмущений только члены с наивысшей степенью логарифма. Мы сначала проведем эту процедуру на первых порядках теории возмущений, а затем обобщим полученные результаты на все порядки, пользуясь сформулированным ниже свойством перенормируемости. Обрезание интегралов будет иметь смысл, если ответ не будет зависеть от способа обрезания, т. е. если оставшиеся интегралы будут определяться областью уе)) ге. Как мы сейчас увидим, возникающие в теории логарифмические интегралы действительно обладают этим свойством.
Нам будет удобно работать не в координатном, а в импульсном представлении, в котором функции Грина С (й) имеют простой вид 6()е) = „, В импульсном представлении вклад графика рис. 53 равен просто — (Л „,, б ~ /24 (2я)'. 1 1 1 1 Ае те 42 те Ае те Л2 те ( ) 1 2 Е 4 4=1 Множитель — 18 (242)(2я)4, выражающий закон сохранения энергии импульса, и множители 4/(й4 — те), соответствующие наружным функциям Грина, будут встречаться во всех диаграммах, и мы будем их опускать. Оставшееся после этого выражение называется амплитудой рассеяния частиц. Графики второго порядка соответствуют добавке к Л вида г~е Ле Г "4" 2 Э (2я)М [(Р4+ )22 — А)2 — те+ 4е) (Ю вЂ” те+ ее) (6.38) Будем для простоты считать наружные импульсы р„ре, 313 ГЛ Е КАЧЕСТВЕНИЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ ре, ре чисто пространственными: рм = О.
(От этого предположения можно освободиться после получения окончательного реаультата.) Тогда интегралы теории возмущений будут чисто вещественными. Действительно, интеграл по энергетической компоненте /се в (6.38) имеет вид ]Ае — (р1+ ре — !с)е — исе+ се] ()с~ ~— )се — сее+ се] (6.39) Особенности подинтегрального выражения изображены на рис. 59. Не пересекая особенностей, можно деформировать контур интегрирования Сс в мнимую ось Се, т. е. перейти к интегралу по !се = — 1)се +с +а Рис. 59.
Этот прием нааывается поворотом Вика. После поворота Вика пространство импульсов становится евклидовым: !се = !с~~ — !се = — )с~ ~— !се — = — !с„'— = — !се. Итак, интеграл в (6.38) сводится к интегралу по евклидову пространству ~с~ 1 е ~ с(4!с 1 = — — Ле( .) (ЗЯ) (Ае+ тс] ((р1+ ре — Ус)е+ мэ] Такие интегралы положительны и их нетрудно оценивать, поскольку угловое интегрирование проиаводится по конечной площади единичной сферы в 4-мерном пространстве О =- 2яе, так что расходимости связаны только с бесконечной областью интегрирования по ] (с ] = 'е' )се.
Ограничим интегрирование по ~ (с ~ некоторой большой величиной ! )) Вс, ] р, + ре ~. Эта величина соответствует обрезанию на расстояниях порядка г, в координатном представлении (! 1/ге). Вычислим интеграл, считая, что ( р, + ре]е = — р'„~те (эта область понадобится в дальнейшем). Отбрасывая в подинтегральном г. РАсходимости и пеРенОРмируемость выражении тг и р,г, получим 1 ю 14 Рлг ьг Относительная ошибка такого вычисления Ип — ', <~1.
Ргг Аналогично вычисляются диаграммы рис. 51, б, в, отличаюлциеск заменой рг+ Рг-'Р1+ Рг 1' Р1+ Рг Р1 + Р4' Сумма всех поправок второго порядка вместе с затравочной константой имеет вид Л+А( )(Р1 Рг Р Р ) = 2 16л 1, р р р14 ~ Будем считать, что все импульсы р„рг, рг, рл одного порядка ( — р) и много меньше 4. Тогда все три члена в скобках можно считать равнылги, и мы получаем Л+ А(г>(Р) Л вЂ” — — 1п — = Л (1 — $). 3 Л' 4.4 1 3 2 $6яг рг '1 2 Л Ег Здесь и дальше обозначим 6 = — 1п $6кг рл Найденная поправка становится порядка первого чле- Л Х,г на когда — 1п — — 1. При этом могут стать существен- 46лг рг ными следующие поправки Л', если они умножаются ! й1 г 3 1 2 г Ф Рис.
60. на (1п (БЧрг))г. Поправками порядка Лг 1п (Ьг/рг) и порядка Л' можно пренебречь. Рассмотрим теперь графики третьего порядка (рис. 60). 314 Гл. 6. ЕАчественные методы в ЕВАнтовон теогин поля Мы не рассматриваем графики вида соответствующие перенормировке массы входных частиц и перенормировке функции Грина. Первая перенормировка означает переопределение массы входных частиц. Что же касается множителя у' Т который должен входить от каждой линии в новую константу Х, то он, как легко видеть, имеет вид 1 + С,)Р 1п (2,2/р2), т. е. не должен учитываться при отборе старших логарифмов. Кроме нарисованных графиков, есть диаграммы, отличающиеся перестановками наружных импульсов р, рз, рг р2. С логарифмической точностью при р, рз ...
р перестановки импульсов не меняют вклада графика. Поэтому для учета перестановок достаточно умножить диаграммы рнс. 60 на 3. Кроме того, учет тождест- 1 1 венностн внутренних частиц приводит к множителю — °вЂ” 2 2 1 в графике а и к множителю — для диаграмм б, в. График а вычисляется проще всего, поскольку интегрирования по Ьг и йа невависимы: В двукратном интеграле, соответствующем графику б, мы внаем вклад интеграла по йг йг 1 2(4йг 1 1Х 1 Х2 — Х .,1п (Зл)' йг (й, — р — й2)2 Е 1ЗЕ~ (р+ )ч)2 =.,й~ При интегрировании по Ь2 существенны Ьг )) р р ь =)22 1 —. —,Х вЂ”.1П вЂ”. йг 2 г Ы2й2 1 1 1 Е2 (2я)2 й4 2 - 1ея2 й2 2 2 2.
Рлсходимости и пеРенОРмиРуемость 315 Проинтегрируем по углам ~ Фаз — — ят ~ ппздй~ ~и введем лога- Х Г2 рифмическую переменную т) = —,1и —,, тогда получаем простой интеграл График в отличается перестановкой наружных импульсов и потому вносит такой же вклад Итак, мы пап|ли вклад суммы графиков третьего порядка Аи'(р) = 2. 3 (ф+ ~~ + ~~ ) = Х вЂ” зп. В каждом следующем порядке теории возмущений будет добавляться Х и одно интегрирование, т. е. еще одна степень $. Поэтому полная амплитуда имеет вид Вычисление графиков 4-го порядка, которое мы опускаем, дает слагаемое в ~(з), равное — ( — з) .
Таким образом, 2 первые члены функции~ ($) являются степенями величины з — $. Предположим, что и дальнейшие слагаемые подчиняются этому правилу, т. е. что ~ (З) есть сумма членов ряда геометрической прогрессии, тогда Х Х 4 2 з ь 22 (641) 1+ — с 1+ — — 1п— 2, 2 16кп Р2 Из физических соображений мы ожидаем, что радиус обрезания Ь должен как-то выпасть из ответа. Анализ диаграмм в координатном пространстве навел нас еще раньше иа идею перенормировки, т. е.
переопределения затравоч- 316 ГЛ З КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОИ ТЕОРИИ ПОЛЯ ной константы за счет включения в нее расходящихся вкладов от высших диаграмм. Формула (6.41) подходит для такого переопределения, что сразу видно, если ее переписать так: 1 А(р) з 1 з А"г+ — — 1п 1У вЂ” — — 1и Ра 2 16лп 2 16л' При изменении Ь мы можем так изменить Х, чтобы амплитуда А (р) не изменилась.
Бели мы аададим значение амплитуды А (р') в некоторой точке р* = )г' "$6= — г — т — „.=~ Х-1 -1- — — 1п— 2 16л~ ф и назовем величину А (р) перенормированной константой Ха, то связь между амплитудой А (р) и Хп уже не будет содержать радиуса обрезания: Ав А(р) = — — 1п— 2 16лп ~Р Для определенности можно в качестве р взять перенормированную массу частицы т. Таким образом, геометрическая прогрессия, обнару1кенная на первых членах выражения для А (6), не является случайной особенностью первых членов, а отра1кает важное свойство рассматриваемой теории — свойство перенормируемости.
Получим выражение (6.42), не пользуясь рядами теории возмущений по Х, а непосредственно из требования перенормируемости — амплитуда А не должна зависеть от импульса обрезания А,. Итак, полная производная от амплитуды, выраженной через 2, и 1и (А,з/р'), по 1п А.з при постоянной Хв должна быть равна нулю. Используя (6.40) 1 и дифференцируя А по — 1п.г.г =- и, получаем 16лп ~'~ = 0 = ) ' — 'У + ( зл ) (~ (х) + 11 е) В етом уравнении можно изменять 6 при фиксированном 2. РАСХОДНМОСТН Н ПЕРЕНОРМИРУЕМОСТЬ 327 1, т. е.
сохраняя Х и ( — ) . Полагая з = 0 (р = Ц, т дА1 ~ ди )лв находим ( — ) у(0) — ) ( — ). Используя значения / (О) и ~' (О), нэ (6.40) получаем (~+ — ', ) Га+М =- 0. Решение этого уравнения ~©= — з 1+ —,' й что приводит к предположенному выше выражению (6.41), а следовательно, и к (6.42). Из (6.42) следует, что величина А растет с увеличением рэ (что эквивалентно уменьшению расстояний х). Прн приближении к полюсу этого выражения формула перестает быть справедливой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
