1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 49
Текст из файла (страница 49)
В первой области »южно разложить вр (г + р) по степеням р. Усредняя по углам р, получим Р( '+ Р) — Р(в') = 1 1 = Рд р(э')+ 9 Рвр»двд»'р(т)+ . ь Р~нвр Вклад этой области в и, (т) равен г г,/вр г и, (в') — АЛвр ~ — = —. АЬу 1л —. 6 ) рв 3 гв ' го При г ) 1/лв верхний предел следует заменить на 1/т. Нижний предел определяется границей применимости теории. Как упоминалось на стр. 318, можно было бы взять в качестве нижнего предела произвольную точку 1/и ) г, ) г„которой соответствовал бы заряд е,. В силу перенормнруемости окончательный результат, выраженный через наблюдаемый заряд, не будет зависеть от е, и г,.
Ниже мы в этом убедимся. Область р'-> г при г ) 1/ви практически не вносит вклада в и, (г) из-за быстрого убывания П (р) при р ) ) 1/лв. При г ( 1/ив вклад этой области имеет порядок 1 Авр(т) †,, р, =~ г, т. е. мал по сравнению с вкладом Рв первой области. 339 ГЛ З. КАЧЕСТВЕННЫЕ МЕТОДЫ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПОЛЯ Наконец, от области г — р, заменяя ер (т + р)— — 7 (т) -е- р77 т7~р, получим слагаемое вида бит т77 А —, ° Коэффициент прн атом слагаемом может быть найден из следующего соображения. Как мы знаем нз обычной электродинамики, плотность наведенных зарядов выражается через дивергенцию вектора поляризации, поатому и и, (т) должна иметь внд дивергенции некоторого вектора Ю = 1(т)7ер, откуда и, 61» Р =/ (т) 67+ — „т7<р.
л1 Таким образом, слагаемое, соответствующее области р, должно так дополнить в и, (т) член -Л7, чтобы получилась дивергенция вектора. Окончательно имеем и,(т) = — А «11» (1п ( — "~ ) 7<р). Рассмотрим сначала случай, когда плотность и, (т) распределена в области г ) 11т. Подставляя выражение для и, (т), в котором г следует заменить на 11еи, в уравнение Пуассона, получаем Л~р = — е'и, (т), (6.63) где 2 ее (6.64) 2 зя т т+ ез — А1а— .е З Как видно иа (6.63) е определяет взаимодействие между зарядами, расположенными далеко друг от друга и, следовательно, совпадает с наблюдаемым аарядом электрона. Выражение (6.64) устанавливает связь ез с квадратом затравочного заряда е~е. Величина А, определяющая поляризуемость вакуума, положительна и, следовательно, наблюдаемый заряд меньше затравочного.
Рассмотрим теперь случай, когда затравочные заряды распределены в области г(11еи и, в частности, когда есть один заряд в начале координат: ие (т) = 6 (т). Запишем и, (т) в виде и,(т) = —.А(61»(1 (ил)Ч<р) — 1 (~~)Л71. 2и Перенося второе слагаемое в левую часть уравнения В. злвктРОдннАмннА нА мАлых РАсстйяниях 331 (6.6т) и переходя к заряду е, получим Лф = — е' (пе (э') + па (э')). Величину (6.65) = — А 61т(РН (тг) Ч р) Еп можно назвать неренормнрованной плотностью вакуумных зарядов. Введем величину Я = — (1 — е — А1н — ) Чф ана2я 1 3 логичную вектору индукции. Уравнение (6.65) дает йч М = еепо (г). Таким обрааом, величина е = е — ее —,А1п— зя 1 3 (6.66) При г ) 1/пе, ее (г) переходит в наблюдаемый заряд ее, а при г = г, в затравочный заряд.
Так как полный заряд вакуума не изменяется при поляризации, то экранирующий вакуумный заряд, появившийся вблизи заряда ею компенсируется равным зарядом, уходящим на бесконечность, так же как зто происходит при внесении заряда в бесконечный диэлектрик. Формалыю из (6.67) следует, что при е 3 г — г,— — ехр ( — — 1 ж 1 зделее ) заряд е' (г) обращается в бесконечность. представляет собой диалектрическую восприимчивость вакуума на малых расстояниях от зарядов.
Найдем распределение вакуумных зарядов вокруг заряда е„расположенного в начале координат: и, (т) = = 6 (э'). Заряд внутри сферы радиуса г, е' (г), связан с ф очевидее (г) вым соотношением — Чф = —, э . Используя выражение 4пге ее ер) = —, Р, получаем ее (г) — —; . (6.67) 1 — м —. Л1а— 3 пи На самом деле формула (6.67) на таких расстояниях неприменима.
Действительно, когда мы находили П (г), мы предполагали, что безразмерный заряд е» (г) мал, и не учитывали возможную зависимость П (г) от е»(г). В области г г„когда е» (г) 1, родившиеся на относительных расстояниях г заряды, в свою очередь, могут взаимодействовать, причем это взаимодействие характеризуется зарядом е» (г).
Такое естественное предположение, как мы увидим ниже, является другой формулировкой свойства перенормируемости. Таким образом, «постоянная» А в (6.64) на самом деле может зависеть от г через е» (!): А = А (е' (г)). Ясли учесть эту зависимость, то мы получим вместо (6.64) е» е' = !и »>ие » 4л +'о З ~ (~'(р))Е!ир !И ее Исправленная формула для е» (г) будет иметь вид интегрального уравнения е' (г)— (6.68) 4н (+ — е» ~ и')ар А(ее(р)) 3 !и!(еи Дифференцируя (6.68) по 1и г, мо>кно получить дифференциальное уравнение, найденное впервые Гелл-Манном и Лоу -е- — = — (3 (е (г)), Ые«(г) 2 где функция ГеллиМанна — Лоу Р (е') связала с функцией А (е») соотношением )>(е») =е«з А(е').
(6.69) Неявное решение этого уравнения имеет вид еае! Ые — = 1н —. З (е) еиг ее (6.70) ЗЗЗ ГЛ. и кхчвствнййь)в мвтоды в Квантовой творин полл 3. электэодинампкА НА малых УАсстояпиях 333 Здесь введен наблюдаемый заряд ез = ез (т-'). Связь наблюдаемогр заряда с затравочным зарядом е, = е' (гэ) дается (6.70) лри г г,: еΠ— = 1л —, Ых $ (6.7т) 3 (х) тго м Полученные формулы явно удовлетворяют соотношению перенормируемости и были найдены Гелл-Манном и Лоу, именно исходя из атого требования.
Приведенный качественный вывод позволяет понять физический смысл функции Гелл-Манна — Лоу (6.69)— она связана с поляризуемостью и поэтому не может быть отрицательна в области, где теория имеет смысл. Заметим, что этот вывод моя~но уточнить. Мы предполагали, что А (г) = А (е' (г)). В действительности на расстояниях г величина А определяется аарядом ез (г,), где г, г.
Предположим сначала, что !и гт = !и г+ ч, где т — малая добавка. Тогда А (е' (г,)) = А (е' (г)) + — „, — а! т = Ф (ез (г)). Повторяя эту операцию, приходим к заключению, что А = Ф (е' (г)). Функция Гелл-Манна — Лоу является важнейшей характеристикой теории поля, однако, к сожалению, до сих пор не существует иного способа для ее вычисления, кроме теории возмущений.
Теория возмущений позволяет найти первые коэффициенты разложения А (е'), но не позволяет сделать заключений о свойствах А (е') в интересующей нас области ез '~ !. В принципе не исключено, что функция А (еэ) обращается в нуль при некотором е' = е',. Поскольку поляризуемость не может стать отрицательной, то функция А (ез) должна в этом случае иметь точку касания при ез = е.. Вопрос о возникновении нуля функции Гелл-Манна— Лоу имеет принципиальное значение, поскольку в этом случае можно построить строго локальную теорию с гэ = = О. Действительно, при г, — ~ О интеграл в (6.71) должен расходиться.
Это проиаойдет, если либо верхний ез, либо нижний сз предел совпадает с нулем е„' функции р (х). ЙМ гл. а НАчкствгнныэ мктоды В кВАнтОВОЙ теОРии НО>>н Наблюдаемый ааряд е' = 1/137 достаточно мал, чтобы доверять теории воамущений для функции р (е'), которая не имеет нуля при е' = 1/137. Если >ке еэ совпадает с е.', то можно положить га = О, т. е. теория будет строго локальной. Если функция Геля-Манна — Лоу вообще не имеет нуля (что кажется наиболее вероятным), то при гэ -~ О затравочный заряд еэ нужно положить равным ао для расходимости интеграла. Таким образом, в этом случае эатравочное взаимодействие лишено смысла. Экранировка взаимодействия (положительность коэффициента А в (6.64)) характерна для всех исследовавшихся до недавнего времени перенормируемых теорий: электро- динамика, скалярное поле (вваимодействие — Лу'), теория Юкавы (взаимодействие — Ф%р) и т.
д. В течение двадцати лет экранировка затравочного взаимодействия кааалась неотъемлемым свойством перенормируемых теорий. При любол> конечном взаимодействии на больших расстояниях взаимодействие на малых расстояниях велико или даже обращается в бесконечность, что делает бесплодным само понятие эатравочного взаимодействия. Экранировка вааимодействия часто выдвигалась в качестве аргумента против локальной теории поля. Стало интенсивно 1>азвиваться другое, направление теории, в котором эта трудность обходится. Была сделана попытка сформулировать теорию в виде соотношений, вытекающих только иэ общих свойств: из унитарности, причинности и т.
д. (так называемая теория О-матрицы). Однако, как мы улье упоминали, эту схему не удается сформулировать в виде замкнутой теории. В последнее время открылась новая возможность. Была обнаружена перенормируемость калибровочно-инвариантной теории, предложенной Янгом и Миллсом еще в 1954 году.
Теории этого типа являются обобщением электродвнамики: фермионные поля вэаимодействуют с несколькими типами векторных полей — глюонов. В отличие от фотонов глюоны ааряжены, т. е. взаимодействуют между собой. Структура лаграня>иана однозначно определяется требованиями перенормируемости и калибровочной инвариантности. Теория содержит только одну безразмерную константу, определяющую как взаимодействие фермионов а.
ЭлвктРОдннАмикА нА ИАлых РАсстОяниях с глюонами, так и взаимодействие глюонов между собой. Затравочные массы глюонов равны нулю, а массы фермионов м»»тут быть отличны от нуля. Сохраняющийся «ааряд» в отличие от электрического заряда, является векторным оператором, компоненты которого коммутируют как компоненты момента. Поэтому закон сложения поляриэационных «зарядов» сложнее, чем в электродинамике.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
