1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Полюса С, соответствуют энергиям новой кваэичастицы и новой квазидырки (Š— з (р)) (Е + е (р)) = Л', откуда Е = ~ 'г' Ъа+(з(р))а. Вблизи границы Ферми можно положить: (р)- —.. — "="(р — р) Р~ При е (р) ~~ Л эти выражения переходят в прежнее выражение для знергии кваэичастицы и квазидырки Е (р) -~- .+ з (р). 3. Рвшнйив зАдач мвтодом Функции ГРииА 252 Итак, в спектре системы возникла щель.
Минималь« ная энергия возбуждения, соответствующая появлению квазичастицы и квазидырки вблизи поверхности Ферми, равна (Е+ (р,) — Е- (р,)),ае = 2>л. Выражение (5.60) может быть записано в виде, напоминающем выражение (5.10): где е (р) — е (р) 2Е (р) Правильность знаков при (б следует из того, что первое слагаемое в фигурной скобке описывает частицу, а второе — дырку, и при переходе в т-представленне г7" (т) = = С (т) = 0 при т(0.
Кроме того, видно, что вдали от р = рр выражение 6, переходит в С выше и ниже границы Ферми. Из выра>кения (5.31), связывающего С с распределением частиц, убея'даемся, что т (р) есть новое распределение квазичастнц, ааменяющее прежнее фермн-распределение. Вдали от границы Ферми т (р) превращается в прежнее распределение. Таким образом, учет парной корреляции привел к появлению щели в спектре квазичастиц и к сглаживанию скачка в распределении Ферми. Как мы увидим ниже, появление щели в спектре приводит к сверхтекучести, а в случае заряженных частиц — к сверхпроводимости. Для величины >1 может быть получено уравнение, связывающее ее со взаимодействием ')(е. Это уравнение соответствует графическому равенству а В правой части к Ь примыкают разные линии: одна — тонкая, другая — жирная.
Предоставляем читателю получить это графическое уравнение и его аналитический вид и убедиться, что Ъ определяется соотношением Еа 1 = (т! 1 ~,. ~, >1 — Е ™ е а+э где Е, ер, а у определено в (5.57). 254 гл. о. метОды ЗАЛАчи многих тел Энергетический спектр бозе-систем. Сверхтекучесть. Основное состояние идеального газа бозе-частиц соответствует тому, что все частицы находятся в наинизшем состоянии, отвечающем импульсу р = О («бозе-конденсацияо). Включение взаимодействия разбрасывает частицы по импульсам, однако конечная доля частиц по-прежнему остается в состоянии с р = О, подобно тому как в случае ферми-частиц остается конечный скачок на границе Ферми (стр. 225), Функция Грина частицы будет, помимо графиков, отвечающих взаимодействию с надконденсатными частицами, содержать графики вида Волнистой линией обозначены конденсатные частицы.
Первый из графиков соответствует тому, что рассматриваемая частица взаимодействует с частицей конденсата, не изменяя числа конденсатных частиц. Графики такого типа описывают потенциальное рассеяние в поле конденсатных частиц. Второй график отвечает более сложному процессу. Частица переходит в дырку в распределении частиц и рождает две конденсатные частицы, которые затем вместе с дыркой опять переходят в рассматриваемую частицу.
Введем величину С, которая определяется всеми графиками, не содержащими перехода в дырку и две конденсатные частицы, аналогичную величине С, введенной в предыдущем разделе, С = Со + Со2оС. (5.61) Тогда из уравнения Дайсона находим С. = С+ СВЗС' (5.62) Так как Хо (2з, г) не содержит частей, соединенных одной линией любого направления, она при малых р и е может быть разложена в ряд. 3. Решение 3АдАч методОИ Функций гРинА 255 Из уравнения (5.61) следует, что величина С (р, з) равна ~(р е) = (е 3 (Р) Ве(р з)) е (р) Откуда при малых р и е имеем 6(р, з) = Е е — е(Р)+~т + ~нее = 26 О + ~нее где Е = [1 — — '1, е (р) = (е'(р) + Ае (О, О) + —,' р') Я. Величина СО = . представляет собой функцию 1 е — е (Р) + Ет распространения квазичастиц «нулевого» приближения, соответствующих выключению переходов в квазидырку и две конденсатные квазичастицы.
Такой прием введения вспомогательных функций Грина, соответствующих выключению каких-либо переходов, может быть енироко использован в различных областях теоретической физики. В частности, в ядре для учета парной корреляции используются вспомогательные квази- частицы, соответствующие выключению парного взаимодействия, и с их помощью вычисляются графики, приводящие к парной корреляции. Найдем вбличину Г А г Р Сверху обозначены числа частиц в системе.
Дырка с импульсом — р соответствует состоянию системы (Х+ 2) с импульсом р. Таким образом, благодаря существованию конденсата происходит перемешивание состояний: частица в системе (Ж) — дырка в системе (Х + 2). В линии, соединяющей два блока, уже не следует учитывать перехода з дырку, поскольку Хе по определению не содержит частей, соединенных одной линией, идущей направо. 51ы для простоты опустили линии конденсатных частиц. Будем отсчитывать все знергии от химического потенциала системы; химический потенциал р = = Ке ()У+1) — Ее (Л) равен знергии конденсатной частицы, поскольку, переходя от основного состояния системы Я 256 гл.
ь. мнтоды злдлчи многих тнл частиц к основному состоянию для У + 1 частицы, мы добавляем одну конденсатную частицу. Таким образом, при отсчете от химического потенциала энергии конденсатных частиц равны нулю и выражение для Хз принимает вид, аналогичный формуле (5.59) предыдущего раздела, но с измененным знаком (см. стр. 251): Для проверки знака в этом выражении воспользуемся обычной теорией возмущений аналогично тому, как это делалось для случая парной корреляции в ферми-системе (стр.
252). В случае бозе-системы имеются 2 возможных промежуточных состояния: 1) соответствующее переходу квазичастицы в квазидырку и две конденсатные квази- частицы и 2) описывающее переход рассматриваемой квази- частицы и двух конденсатных квазичастиц в 2 надконденсатныечастицы симпульсом ри одну с импульсом — р. Опустим для простоты множитель Я (2 ) 0), тогда за счет первого промежуточного состояния получается слагаемое в Х„, равное( Л )Ч(з+ з (р)) с тем же знаком, что н в случае ферми-системы.
Во втором промежуточном состоянии, которого нет для ферми-частиц (см. рис. на стр. 252), энергия равна 2е+ з(р) и соответствующее слагаемое 2(Ь(э 2(Л(а в Х т равно 2 ( —— — ) . Множитель 2 учитые — 2е — е(р а+з (р) вает тот факт, что имеются 2 бозе-частицы с импуль(лр сом 1т. В результате получаем Е„ =— е+з (р) ,что и доказывает правильность полученного выше выражения для Х».
Сравнение с этим выражением показывает, что роль амплитуды; перехода квазичастнц играет величина ЯЬ. Интересующая нас функция С, равна а+з (р) С-1 — Е,', е1 — ез (р) + яа ( Л (р, е) (з + Рассмотрим полюсную часть этого выражения прн малых р, е.
Среди возбуждений с р -~ О обязательно должны существовать такие возбуждения, которые в пределе 3. Решение зАддч методом Функций ГРинА зз7 малых р переходят в смещение системы как целой. Такие возбуждения должны иметь частоту, стремящуюся к нулю при р-» 0 (теорема Гольдстоуна).
Примером таких возбуждений являются звуковые колебания. Поэтому величина С, должна иметь полюс прир = О, е = О. Энергия е(р) = 2 (Х(0,0) — р, + О (ре)) (стр. 255), и согласно (5.63) имеем условие [гг — Х, (О, О))о = ( Л (О, О) (', откуда р= 2о ч-йо ~"оы 2 (0,0) гао=!Л(0 О)( (564) Мы увидим, что в силу аналитических свойств функции Грина (положительность вычета в полюсе) в этом выра>кении следует брать нижний знак.
Разлояоим выражения, входящие в С„в ряд вблизи р, е = О. В числителе монгио положить р, е = О. Следовательно, е+ е(р) — Хо )о .т но. Как мы сейчас увидим, вблиаи полюса Са существен ны е р. Обозначая ЯЬо = — '.=- Хо, Юга(19, е) = га(19, е), 1- —" де получим а — г -Г Хо еа — ( —. + Ло ) + ( Х ( р, е) й Как видно из аналитических свойств функции Грина для бозе-частиц (стр. 219) прн (ааар) = н (р) )) 1 (что, как мы убедимся, осуществляется в нашем случае) функция Грина должна быть четной функцией е. Поэтому н ~ Л (р, е) ( ' есть четная функция е (Л(р е)1'=Ьо+ з р'+ — „е'. а(АР, з(АР 9 А. В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
