1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 33
Текст из файла (страница 33)
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД Графическое иаображенне процессов. Для получения различных соотношений в задаче многих тел и в теории поля широко используется метод графиков Фейнмана, состоящий в том, что все изучаемые процессы изображаются рисунками, которые заменяют собой громоздкие аналитические выражения, подобно тому, как китайские иероглифы заменяют целые фразы. Начнем с того, что будем изображать различные физические процессы с помощью рисунков, например, движение кванта света изображать пунктиром, а движение свободной частицы— сплошной линией. 8 А. В.
Мыгдаы 226 ГЛ. Е МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ График означает, что заряженная частица, допустим, злектрон, испустила квант света, Сплошная линия нарисована с изломом, чтобы показать, что злектрон после испускания квант'а приобретает другой импульс. Пусть есть две невзаимодействующие частицы Если они взаимодействуют, рисуют такую картину.' Если их взаимодействие осуществляется с помощью кванта света (это значит, что взаимодействие кулоновское), тогда линии соединяют пунктирной линией; Если зто два нуклона н взаимодействие осуществляется передачей л-мезона, тогда рисуют волнообразную линиго между линиями частиц: Этот график показывает, что два нуклона один раз взаимодействовали между собой. Если они взаимодействовали два раза, то рисуют так: График изобрая<ает более сложный процесс: нуклон испустил п-мезон, который затем распался на нуклон и антинуклон.
2. РРАФнческии метОд дти две частицы превращаются опять в я-мсзон, который поглощается вторым нуклоном. Аналогично можно изобразить и более сложные процессы, происходящие с частицами. Для того чтобы эти рисунки имели не только иллюстративный, но и количественный смысл, будем понимать под каждым графиком амплитуду перехода из одного состояния в начальный момент в другое состояние в конечный момент времени. Квадрат модуля амплитуды перехода дает вероятность нахождения конечного состояния в конечный момент времени. Так, например, приведенный выше графин испускания кванта означает амплитуду перехода заряженной частицы с импульсом р з состояние с квантом импульса О н частицей с импульсом р — д.
Согласно принципу суперпозиции полная амплитуда перехода представляет собой сумму всех возможных фиаически рааличных амплитуд перехода. Точный смысл этого утверждения выяснится ниже на простых примерах. Попытаемся получить интуитивным путем с помощью графиков соотношение, выража~ощее амплитуду рассеяния двух частиц через потенциал взаимодействия. Графически амплитуда рассеяния изобразится, согласно принципу суперпозицни, суммой графиков: юююи Первый нз графиков иаображает однократное взаимодействие между частицами.
Второй из графиков соответствует двукратному взаимодействию частиц. Между актами взаимодействия стоит амплитуда перехода двух невааимодействующих частиц. Будем сопоставлять первому графику потенциал взаимодействия между частицами, а каждой прямой линии — функцию Грина, т. е. амплитуду перехода свободной частицы С.
Тогда второй график 228 гл. а метОды 3АдАчи многих тел условно запишется так: ~ =иш, так как амплитуда перехода двух свободных частиц равна произведению функщгй Грина каждой из частиц. Для амплитуды рассеяния получится ряд Г = У + 0660 + У66У66У + ... Выражение, стоящее во втором и следующих членах справа от У66, снова образует сумму, дающую Г.
Для Г получается уравнение Г = У+ У66Г. Функция С, входящая в зто уравнение,— зто уже известная нам амплитуда перехода свободной частицы. Разумеется, проделанная операция представляет собой не вывод уравнения, а скорее наводящее соображение.Для того чтобы установить, в каном смысле следует понимать символическое умножение в этих выражениях, следует сравнить полученное уравнение с соответствующим выражением, найденным обычным способом из решения уравнения Шредингера. Очевидно, что выражение для Г представляет собой символическую запись известного из квантовой механики уравнения для амплитуды рассеяния в знергетической нормировке.
В системе центра инерции имеем Г ~2вм 2тз) + З ~2 и 2О ) з — з,-) ат (2л)В С , Г (р', рз) Ы'р' (5.32) Аналогичным образом можно связать функцию Грина частицы во внешнем поле 6 с функцией Грина свободной частицы 6. Функция Грина в поле 6 изобразится суммой частных амплитуд перехода где точка с волнистой линией изображает акт действия внешнего поля К. Собирая все графини, стоящие в 6 2. гуаФичнский митод 229 справа от г', получаем опять 6. Таким образом, 6 = С + 6г'6 + 6г"6К6 +...
= 6 + 6'г'6. (5.33) В рассмотренных нами простых случаях можно обойтись и без графиков. Выражения (5.33) и (5.32) легко могут быть получены непосредственно из уравнения (5Л) для 6 и аналогичного выражения для двухчастичной функции Грина. Напишем уравнение (5.33) в операторной форме, введя оператор 6-' = дlд~ + (Н„где Н, — гамильтониан свободной частицы. Из (5А) получаем 6-'а+ рай=1 (5,33') откуда 6 = 6+ С( — (У)6.
(5.33") Так как в качестве оператора 1 взято выражение 6 (г — г') б (~ — г'), то умножение операторов означает А (хм х,) = ВС = ) В (хы х') С (х', х,) Ы~х', где х = (и, 2). Таким образом, соотношение (5.33) в аналитической форме имеет вид 6 (хы х,) = 6 (х„х,) + ) 6 (хы х') ( — (р (х')) 6 (х', х,)(4, ' и, следовательно, график взаимодействия с полем расшифровывается следующим образом: Понимая в выражениях (5.33') и (5.33") под 6 двухчастичную функцию Грина, соответствующую уравнению ШРедингера для двух частиц, а под У вЂ” потенциал взаимодействия б' (х, — х,), получим в первом поря)ше и! 6а (хы ха; х„х,) = = ~д4ха асхаб (х» ха) 6 (ха, ха)( — $) г1(ха — ха) Х т~ хз х/' х 6 (х, х~) 6 (хм ха) =, (5.34) х, хф хд ййо ГЛ. 5.
МЕТОДЫ ЗАДАЧИ МНОГИХ ТЕЛ Это означает, что (5.35) = -(ЙХ, -Хд.( Для незапаздывающего взаимодействия У (х, — хз) = = У (з'1 — з'з) 6 ((1 — (з). Нетрудно получить выражение 6, в (), з)-пРедставлении. Имеем 61 (4 за» )5зез 14ззз ьаеа) = (1) = — 1,Е ~6л,(з1)61,(зз)()1)(з(6(зз)()54)(а)6> (зз+(о) Х 1,14 ИЗ( х 61 (зз — (о) б (зз + зз зз е4) где ~ Атз-ан4Ц (т) Функция 61 приобретаетсовсем простой вид в случае (11 взаимодействия свободных частиц.
В (тз, е)-представлении имеем (Р=Р, е; д=ас, ю) 6 = — 1)6(Р1)6(Р)У()) Х И(4д Х 6(Р1+Д)6(Рз Д) з 4 б(Р1+ Рз Рз Р4) (Д = Рз Рз = Рз Ра). Нетрудно научиться свободно переходить от одного представления к другому. Для применения к задаче рассеяния в поле К (г) графики (5.33) удобно собрать следующим образом: 6 = 6 ()'+ р"И'+ ...) 6 = 6А6, где А — амплитуда рассеяния в энергетической нормировке А = У+ $'Я'+ $"6$"6$'+ ... = Р+ Р6А. (5.36) Возьмем в качестве 6 выражение (5.4). Поскольку поле не зависит от времени, величина з, входящая в 6, должна быть взята равной энергии зр падающей частицы. Интегрирование по импульсам промежуточных состояний сле- 2.
ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД дует производить с весом 1/(2п)е, что соответствует суммированию с весом 1 по всем квазндискретным состояниям нормировочного объема. Именно такое суммирование следует из принципа суперпозиции. В импульсном представлении имеем Р~~ Рг (Кпг ~0,), Подставляя согласно найденному нами правилу в (5.36) А — « — гА, У -« — гУ, получим А(22, р") =У(р — р')+ ~ (Р гэ') (Рп ~ ) ш, (5.37) е — е +г4 (2я)' ' что совпадает с (5.32) при замене à — «А, П вЂ” «У. Тем самым подтверждается соотношение (5.37).
В качестве примера, иллюстрирующего удобство графической записи и соответствующих символических выражений, получим интегральное уравнение для амплитуды в форме, удобной для выяснения ее аналитических свойств. Графики для амплитуды могут быть собраны следующим образом: А = У + У (6 + 6УО + ...) У = У + УСУ. (5.38) Пользуясь уже найденным рецептом расшифровки графиков и используя для г, выражение (5.5) с е = ер, получим В сумме по Х предполагается суммирование по связанным состояниям (еь ( 0) и интегрирование по сплошному спектру, А „= (е 'Р", У(Р) ф„(и)). Перейдем от энергетической нормировки к обычной (стр.
215) 1(2, 2У) = ув (т — 2У) — ~,'Я ' "'"', (5.30') л ег где гв — борновская амплитуда рассеяния. Из этого выражения следует, что амплитуда, аналитически продолженная в область ег( О, имеет полюса в точках, совпадающих с энергиями связанных состояний. 232 гл, к мктоды 3АдАчи многих тип Обратное утверждение неверно — не все полюса амплитуды соответствуют связанным состояниям (стр. 187). Рассмотрим мнимую часть равенства (5.39') при 2т = 2т'.
Предполагая, что состояния ~р„для сплошного спектра нормированы на плоские волны, т. е. имеют асимптотику <р„— е'а', получим 1('Р ут) = — — ( — )~У(Я. 1тг)Г~( — зз,) — 2~', = =~~,)-.„— — „)У(8,'рН оьз = — о что соответствует оптической теореме (стр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
