1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Поскольку блок В является б-образным, второе слагаемое можно изобразить в виде Х6 Рг, = ~6(Р, Р', ) + ~~з ~га~гв где В однородной среде ()„з = рб„з, где р не зависит от з'. В конечной системе зто соотношение справедливо с точностью до отношения г,/Л, где г, — расстояние между частицами, а Л вЂ” радиус системы. При га (( Л 3.
Решение зАдАН методом Функций ГРинА 247 уравнение для 6 принимает вид [ е — 2 „(1 + 2лф) — а (г, е)10 (и м', е) = б (Р— к). (5.53) Р~ Рассвютрим уравнение (5.53) для значеиий е, лежащих вблизи границы Ферми ЕР, и будем отсчитывать е от ЕР. Тогда, разлагая величину а (Г, е) по степеиям е и ограничиваясь первыми двумя членами, получим (е —,2Р, — (7 (Г)) 6(Г, з", е) = Еб(à — г'), (5.54) где да * де да а (г, О) * =, г = 1 —, (7 (,) = 4+2!а3 ' де ' да де Здесь го* — эффективная масса, Š— перенормировка функции Грина, а У (г) — аффективный потенциал.
Все эти величины выражаются через блок А, для которого имеется ряд теории возмущений по взаимодействию между частицами. Поэтому принципиально возможно вычислить величины т*, А и П (Г). Так, например, в первом порядке теории возмущений по взаимодействию между частицами нетрудно получить (те)оп = т, Я<И = 1, !(7(к))н> = стх в, где (7х-ь — самосогласованный потеициал Хартри— Фока. Так как в ядре взаимодействие не мало, то вычисление этих величин связано с очень большими трудностями. Поэтому следует характеризовать потенциал (7 (Г) несколькими константами: глубиной потенциальной ямы, ее радиусом, шириной п-слоя, на котором потенциал переходит от постоянного значения внутри ядра к значению, равному нулю вне ядра, Зти константы вместе со значениями те и Я должны быть найдекы из сравнения теории с опытом.
Введем теперь систему функций, описывающих квази- частиЦы с энеРгией ею близкой к ЕР: ~ — + ( )) <рх — ~х'рю Р~ 248 гл. к мвтоды элдачи многих твл Тогда из уравнения (5.54) получим (е — еь) Сьь (е) = Ябьь" Это выражение отличается только множителем Е от соответствующего равенства для квазичастицы, которое получается из (5ЛО'). Таким образом, 6„(е) вмеет полюс при е = еь. Этот результат означает, что в системе есть ветвь одночастичных возбуждений. Эти возбуждения соответствуют возбуждениям газа квазичастиц. Неустойчивость фермиевского распределения в случае притяжения.
Возникновение щели в энергетическом спектре. Получим уравнение для амплитуды рассеяния Г по каналу двух квазичастиц. Для этого введем блок (ь', не содержащий по этому каналу частей, соединенныхдвумя линиями квазичастиц. Аналогично тому, как это было сделано выше при получении уравнения (5.46), находим Р Р Р Р Р Р( Р' Р -Р Р -Р -Р -Р~ 'У' Г = Я + %60Г. (5.55) Здесь в отличие от (5.46) бб — функции Грина двух квази= частиц.
Блок Я 6-образен по координатам и временам входящих в него линий, по тем же причинам, что и блок Я . Рассмотрим две частицы с суммарной энергией Е н суммарным импульсом, равным нулю. Вычислим элемент Сб, входящий в зто уравнение. С помощью (5.42) получаем +Ф 1 — 2а (р" т)~(р" т)' ~т 'и — гн ) () — '~' О Подстановка в (5.55) с использованием правил расшифровки графиков дает Г (р р') = Жо + Яо ~, э Г(рп р') —,~ .
(5.56) Н вЂ” 2Я (рг) + гб ( Я) а. гвшвнив злдлч мвтодом етнийти гтинл 2бэ ИО 1 — 2яр еер — о Л 2Н(„) (2я)е ся е ~ К 2Н + ~ Г 2И ) Мы оборвали интегрирование по Е' во втором интеграле величиной е„которая определяется неточностью предположения о 6-образности Я. Согласно сказанному выше е, — ен ез', при ' малых (Š— 2ея) неточность определения е,, как мы увидим, не скажется на результате. Обозначая Š— 2ез = е (( ея, находим с логарифмической точностью Ыя — е' — е' 1 Жо — 1п: ж71п: о Зе а ен е е (5.57) Из (5.57) следует, что решение есть только для отрицательных 'Ио — е' еяе Таким образом, квадрат энергии е оказывается отрицательным, что означает существование нарастающих во времени решений Ч' (1) =Ч', ехр(( е ~1), т. е.
неустойчивость системые). Количество таких коррелированных пар частиц о) Это обстоятельство было обнаружено Купером в 19бб г. Будем искать полюс выражения для Г. При этом можно пренебречь первым слагаемым в правой части, и получается однородное уравнение. Для наглядности придадим этому уравнению вид, напомвнающий уравнение Шредингера для двух частиц. Введем Ч' (р) = ВГ, тогда для Ч' получаем уравнение (Š— 2ЕОт)) Ч" Оэ) = (1 — 2в )Ч( ~ Ч" (2э') (Б) —,. В пустом пространстве (и = 0) это уравнение совпадает с уравнением Шредингера в импульсном представлении для двух частиц с б-образным потенциалом взаимодействия Яо = ) 'И (г — т") дз". Множитель (1 — 2п„) учитывает изменение этого уравнения в среде. Собственная энергия Е находится из соотношения 250 Гл.
5. методы ВАдАчи мнОГих тел будет нарастать до тех пор, пока распределение Ферми, и в результате энергия квазичастиц, не изменятся таким образом, чтобы возникло устойчивое состояние. Это явлениее приведет, как мы увидим, к появлению сверхтекучести или в случае заряженных частиц к сверхпроводимости. Предположим, что неустойчивость, рассмотренная выше, соответствует двум квазичастицам с противоположными спинами (такой случай осуществляется для электронов в сверхпроводпике).
Взаимодействия частиц с параллельными и антипараллельными спинами сильно отличаются. Действительно, в силу принципа Паули две частицы с одинаковыми спинами не могут находиться в одной точке пространства, что ослабляет взаимодействие на малых расстояниях и может привести к изменению знака введенной вьппе величины у. В результате неустойчивости образуется «конденсат» коррелированных пар частиц с суммарным спином, равным нулю (»куперовские» пары). Существование такого конденсата существенно изменяет свойства частиц с энергией, близкой к границе Ферми.
Действительно, частица моя<ет перейти в дырку с образованием куперовской пары. Обозначим через Л амплитуду такогоперехода: Тогда амплитуда обратного перехода будет ей комплексно сопряжена ((1 ( У( 2) = (2 ( г'( 1)») При этом к собственной энергии частиц добавится ве- личина Функция Грина дырки между блоками не содержит переходов в куперовские пары, так как такой переход означал бы появление линии, идущей направо, а величина 2 по определению не содеря<ит частей, соединенных такой линией. 3. Решение зАдАч методом Функций ГРИНА 251 Введем функцию Грина С, учитывающую все графики, кроме рассмотренного выше, тогда получаем соотношение С ' = 6о ' — Х вЂ”.— Со ' — 2) о — Х» = С ' — Х», (5.58) где 6 ' = Со — Хо. Учет графиков вида Х» во внутренних линиях Хо не приведет к существенному изменению этой величины, поскольку при атом особенность, содержащаяся в Х», заинтегрируется.
Действительно, как мы увидим, Х» искажает функцию С в энергетическом интервале шириной Ь, малом по сравнению с существенной областью интегрирования по е и е (р) ( ег), если предположить, что г» ~= ер. Запишем уравнение в (уо, з)-представлении и будем все энергии отсчитывать от границы Ферми. Тогда 6, (р, з) = (С-' (р, е) — Х» (р, з)) ', где согласно (5.10') и (5.24) при малых з (р) и е Ср,з= 2 е — е(р) + ь) з)яп о Для Х» (р, з) имеем Х„(р, е) =- ()и) ( — С ( — 1э, — з)) ( — пй) = Я ) ) е+ е (р) + гб о)ипе ' (5.59) Действительно, изменение направления стрелки у линии, стоящей между блоками Л, как было показано на стр.
234, дает в (т», т)-представлении — С ( — т», — т) или в (1э, е)-представлении — С ( — 2», — е). Получим выражение (5.59) еще одним, гораздо более наглядным способом. Как видно иэ выражения для С„величина 22'» представляет собой поправку к энергии квазичастицьь Эта поправка может быть найдена с помощью обычных правил квантовой механики как квадрат матричного элемента перехода в промежуточное состояние, деленный на разность энергий исходного и промежуточного состояний. В данном случае имеется только одно премежуточное состояние, соответствующее появлению дырки и 252 тл. ь.
мвтоды задачи мпотих твп коррелированной пары. Переход, соответствующий графику (3 частицы в промежуточном состоянии), строго запрещен принципом Паули (ср. соответствующее рассуждение в следующем разделе для бозе-частиц). Поскольку роль начальной энергии частицы играет величина з, а дырки в промежуточном состоянии — величина — е (у), мы непосредственно приходим к выраженню (5.59). Величина ЯЛ играет роль соответствующей амплитуды перехода для кваэичастиц. Так как блок Л (у, е) по определению не содержит частей, соединенных одной линией, то он не должен сильно зависеть от у и е и может быть взят на поверхности Ферми Л (У, е) Л (Рг, ег) = — Ле*'~. Б результате для С, получаем С,(у, з) = е — е(Р) — э+ е( ) (5.60) Для краткости записи мы отбросили (б э!йп з и обозначили Л = 2Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
