1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 25
Текст из файла (страница 25)
38). В случае длинного цилинд- 4 ~л, ра поле внутри 8 равняется вневшему полю 8„а индукцкя Ю = е8о. В случае короткого цилиндра индукция Ю равняется внешнему полю 8„а поле внутри 8 =- 8о/е. Это вытекает из известных Рес. 38. граничных условий для нормальных и тангенциальных составляющих электрического поля и индукции. В первом случае имеем л» = ~ 'тоо(т)8о(о «)от о $, своистВА дизлектвическои пОстояннои 17т мую часть.
Рассмотрим комплексную плоскость юо. В этом случае область аналитичности представляет собой первый лист римановой поверхности — все особые точки лежат на втором листе. Первый лист переходит во второй через разрез, идущий вдоль положительных оР из начала коорди- Я нат (рис. 39). оо Для того, чтобы связать ве- С щественную и мнимую части диэлектрической постоянной, с, воспользуемся теоремой Коши) ,А 1(')Ло ояо У о' — о с Ряс. 39. Здесь С вЂ” замкнутый контур, не содержащий внутри себя особых точек ~ (з).
Применим зту теорему к функции е (оР), взяв в качестве С контур, изображенный на рис. 39. Целесообразно выбрать функцию ~ так, чтобы интеграл по бесконечно большому кругу С, обращался в нуль. Так как при ю -~ Оо величина е-~ т (как мы увидим ниное), то нуяоно взять ~ = е — 1. Итак, ~ ° о (оо~) — 1 е (оР) — 1 = — ' дю,'. (4.3) с, с, Здесь интегрирование сводится к обходу разреаа. Обозначим через зг(ОР) значение е на верхнем берегу разреза, а ео (оР) — значение па нижнем берегу.
Свяжем зги величины друг с другом. Положим на верхнем берегу разреаа ю = во (юо вещественно). Тогда на нижнем берегу имеем ю = юое'~ = — юо. Следовательно, зг (а',) = ~ Л' (т) е' " дт о С (юо) ~ Л' (т) е-Ьиро ~(т о Так как Я' (т) и юо вещественны, то отсюда находим, что ео (юю) = (е1 (ооо)1 (4.4) 178 ГЛ. 4. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Подставляя (4.4) в (4.3) и учитывая, что на верхнем берегу разреза ю'-+ юз + 15 (б -«+0), получаем 1ш е(Ф~) йо~ з„=ет(оР) =1+ — ~ ' ' . (4.5) Фе — Фе — 1с о Легко проверить, что при выбранном знаке б вычисление мнимой части (4.5) приводит к тождеству.
Таким образом, зная мнимую часть диэлектрической постоянной, можно восстановить всю величину з, Мнимая часть диэлектрической постоянной, определяющая поглощение электромагнитных воли системой, отлична от нуля, только когда частота волн в пределах ширин соответствующих уровней совпадает с собствеяными частотами системы ю„.
Это будет ясно из рассмотренного никее примера. Иными словами, пренебрегая ширинами, запишем 1ш е в виде: 1ш з(юе) =-,~~ к~ 6 (а' — Ф~ ) а Подставляя (4.6) в (4.5), получаем е(ю2) 1 и и Фе — Ф' — 1с (4.6) (4.7) Если юе )) о~4, т. е. длина волны света мала по сравнению с атомными размерами, то атомная структура становится несущественной и величина е переходит в диэлектрическую постоянную идеального газа электронов: з = 1 — йнпе'7ща'.
(4.8) Здесь и — число электронов в единице объема, а и— масса электрона. Формула (4.8) поясняется на рассмотренном никее примере. Сравнивая это выражение с (4,7), находим: ,~,7'„= 4ппеу~гя. Это соотнопеение называется правилом сумм. Аналитические свойства диэлектрической постоянной в простой модели. Рассмотрим среду, состоящую из осцилляторов, имеющих частоту ю, (нетрудно исследовать и более 1. своиствл диэлкктгичкскои постояннои 1тв реалистический случай совокупности осцилляторов с разными частотами). Тагпге осцилляторы имитируют атомяые электроны. Уравнение движения для осциллятора под действием внешнего электрического поля е (1) имеет вид 2 е ю + йг + юог' =- — ' ги Здесь Ь вЂ” коэффициент затухания.
1'аалагая г' и е в интегралыФурьепоформулам г = ) г„е ' ' егоги Ж == ) 'е„е ' 'дсо, получим — ~'г — Й~ог' +ег,г = — „й, е откуда е 1 — — и ои "' мг еое ггио ' о Вычислим дипольпую поляризацию вещества ло„: ого — ого — 1!ио о Здесь и — число осцилляторов в единице объема. Диэлектрическая проницаемость е находится с помощью известных соотношений алектродинамики Я>~ Х, + 4ииоц 4киео 'е Ж еи ого мо Ш ог о Отсюда при юо )) ю, получаем найденную выше формулу (4.8)„ Если система состоит пз осцилляторов разного типа, то в последней формуле нужно ввести сумму по частотам оги: (4.9) м,г мо — и Здесь и„ вЂ” число осцилляторов с энергией ю„ в единице объема.
В этом случае, полагая ю -о. ао, находим з,„1 — ше,я~ л„. ииоо и 1оО РЛ- О. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОИСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН =+~/ .+ 4яеел — 1Ьооо ел 4леел . Ао Рл 2 Итак, 1пе ю ( О. В случае нескольких осцилляторов, как видно из (4.9), вещественные части пулей будут лежать между вещественными частями полюсов. Ввиду того, что все Ь„имеют одинаковый знак, оии будут сдвигать нули е„ в ту же сторону, что и в случае одного осциллятора.
Таким образом, мы проверили все аналитические свойства диэлектрической постояиной на простой модели. Исследуем в рассматриваемой модели структуру функции Ю(т). Имеем: 4лее л з„= ~ Л'(т) е' ее(т = 1 +— ле Фо — Фе — ея оз о и и и Отсюда о1 д'-:-Я/4т) л.„ Л'(т) = б(т)+ — '~ " " е»". т' Ф'„— А'„'!4 Сравнивая с (4.8), получаем правило сумм в форме,~~,' пи ии п и (п — число электронов в единице объема).
Мы видим, что при ю -о оо свойства выбранной модели, как и должно быть, ие влияют на результаты. Коэффициент затухания Ь„определяется интенсивностью переходов из и-го состояния в другие состояния, Мы видели (стр. 56), что Ь„~ ю„. Как видно иа (4.9), коэффициент затухания определяет мнимую часть диэлектрической постоянной. Проверим, что е„имеет полюса и нули только в иижкей полуплоскости ео. Из (4.9) следует, что полюса е„находятел в точках ю = + УФ~ — 1Ь„ее — +. ~ео„~ — 1 †. Так как Ь„) О, то 1т (ео) и,.
О. Для нахождения нулей з„рассмотрим сначала случай одного осциллятора с частотой еоо и коэффициентом затухания Ь . Приравнивая выражение (4.9) нулю, па- ходим 2. АНАлитнческне сВОйстВА Амплитуды улссеянкя 18т Мы видим, что величина )ь„определяет затухание зь (т), а таки;е сдвиг собственных частот юг -ь г' ге,', — Ь„'/4. Отметим, что так как ть' (т) экспоненциально убывает, то индукция Ю (1) определяется значениями поля е (à — т) в момент времени, отстоящий от времени г на величину порядка т — 1%.
Отметим, кроме того, что мнимая часть диэлектрической постоянной есть нечетная, а вещественная — четная функция ю, в согласии с тем, что требует обратимость во времени. 2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОИСТВА АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ Унитарность как следствие принципа суперпозиция и сохранения вероятности. Исследуем аналитические свойства амплитуды рассеяния. По определению, волновая функция Ч" „ь после рассеяния связана с волновой функцией Чгьг до рассеяния посредством так называемой о'-ьгатрицы: Ч"„,ь = ЯЧ'~г.
Покажем, что нз сохранения вероятности н принципа суперпознцин вытекает свойство унитарности о'-матрицы. Матричные элементы .ь'-матрицы 8л суть амплитуды перехода из состояния а в состояние с Следовательно, из сохранения вероятйости ) Я, ~г =- 1. Это равенство символически записывается' в виде (УЩ„= 1. Из квантовоиеханнческого принципа суперпозиции вытекает, что волноваяфункция ~а)любого состояния может быть представлена в форме: ( а) = — сь ! а) + (3! Ь) +..., где ! а), ! Ь) ... — набор базисных состояний.
Условие (8+8);-, = = 1 можно записать в виде: ~ гг Г (~'~)- +! (1 Г (8'~)ьь — ' ... + сь()а (о гб)„+ а*р (5'+5)„+... =- 1. '1ак как (о+8)„= (ого)ьь — —... — — - 1 н (а(ь -). ) () )г +... ...==1, то а()а (о'5)„+ а*() (ггг)ьг + ° .. — -- О. Ввиду произвольности коэффициентов а, р оконча; ~г гг, — г. г .*.. г....,р, Р" " Р '"' * г 182 ГЛ. М АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОИСТВА ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН (Я+Я),ь = б„илн, в операторной форме, Я+Я = 1, Таким образом, Я-матрица обладает свойством унитарности. Удобно выделить из Я-матрицы единичную матрицу, описывающую процесс беа реального рассеяния: Я = = 1 + 1Т.
Тогда условие унитарности Я-матрицы йрнобретает вед (1 — 1Т+)(1 + ~Т) = 1, или Т'Т = 1|Т+ — 'Г~. В матричных элементах это соотношение записывается в форме 21га Т„, = „'5~~ТссТНЕ (4 10) Определим амплитуду рассеяния ~ посредством соот4яс ношения Т = — ~б(Š— Ь").
Здесь АХ вЂ” масса рассеива- М емой перелятивистской частицы, а дельта-функция выражает аакон сохранения энергии при рассеянии. Тогда соотношение (4.10) для диагональных элементов (а = Ь) можно записать в виде 4лс 8(Š— Е)8(н — ри) 21га ~„„= — ",5', ~ ~с, ~' ";.,„' . (4.11) с Б левой части стоит амплитуда рассеяния па угол ноль.
В правой части в числителе б (Ь, — Е') можно заме- вить на 6 (Š— Е'), после чего эта б-функция сокращается с б-функцией в знаменателе. Тогда в правой части уравнения (4.11) возникает сумма ,гз~~с,~' б(Š— Е,). Промежуточные состояния с характес ризуются импульсом р'. Заменяя суммирование по р' интегрированием ~~ ' ') (Е„) ), получаем: ~У Гб(Š— Е ) — ". = — ~11(0)Гс(а —, кр Здесь обозначено: г',ь = ~рр = ~ (О). ля Величина — = и есть скорость налетающей частицы. Ер Интеграл ) (~ (0))а С1г =- о есть полное сечение рассеяния, 3 АнАлитические сВОЙстВА Амплитуды РАссеяния 133 Итак, из (4А1) находим: 21ш~(0) =. „,„' „ или 1ш~(0) = —," ьч (4,12) Это соотношение называется оптичесКОй теоремой.
Оно связывает полное сечение рассеянияс мнимой частью амплитуды рассеяния на угол ног~ь. Ниже приводится другой вывод оптической теоремы, вытекающий пз закона сохранения частиц. Дисперспонное соотношение. Аналогично тому, как зто было сделано для диэлектрической постоянной, свяжем мнимхго и вещественную части амплитуды рассеяшпь Рассмотрим, напрймер, рассеяние света заряженной системой. Напишем операторное соотношение В .= ЯА. Здесь величина А характеризует амплитуду падающей волны, а  — амплитуду рассеянной волны. В частном случае, когда амплитуда А берется в момент времени г' = — оо, а амплитуда  — в момент Г = +со, оператор 8 эквивалентен введенной выше Я-матрице, Отметим, что диэлектрическая постоянная является частным случаем оператора 8, когда величины Л и В не зависят от координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
