1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Как только появляется растущая экспонента, все слагаемые, содержащие убывающую экспоненту, не должны учитываться, поскольку квази- классическое приближение, будучи асимптотическим представлением, имеет по параметру квааикласснчности степенную ( 1//ОООО), а не экспоненциальную точность. Поэтому аналитическое продолжение позволяет найти коэффициент только при растущей экспоненте. Получаем х о =ехрО [1/одх — — "~- ехр~~~/О~дх1. (311) о При этом мы потеряли слагаемое, экспоненциально малое по сравнению с правой частью (3.11). При обходе точки х = 0 снизу функция (3.11) переходит сначала в растущую экспоненту, а затем после пересечения линии 2л 9 '= з — в убывающую.
Потерянная из-за неточности квази- классического приближения в области — 2я/3 Ор~ 0 экспоненциально малая добавка после перехода в область — я< Ор — 2л/3 превращается в экспоненциально большой член, который таким образом теряется. Следовательно, таким путем мы не можем получить правильное аначение коэффициента при убывающей экспоненте.
129 ь одноызгнхя злдхчх о — ехр ~ — ~|й(ох1. (3.12) Общее решение при $'( Е имеет вид — 'ехр ~1~ййх — оф,1+ — *ехр [ — о~йдх+офо1. (3 13) Найдем С„С, и фм фо. Для этого продолноим аналитически (3.12) в область х ~ О. Аналитическое продолжение через верхнюю полуплоскость имеет вид о ехр ~ — ~ ( й ( дх1- охр~Ж4) Г 2, /. 3 . 3 ехр ~ — йрч1 ~81п — ф — 1 сов — ф ) 1. У ор' р( р~2) При ф = О получаем второе слагаемое (3,13), причем фо = = и/4, С, = 1. Аналитически продолжая через нижнюю полуплоскость, мы получили бы первое слагаемое (3.13) со значениями фг фо С,=С,=1. Каждый раз одно из слагаемых теряется из-за экспоне»-о циально малой ошибки в той области, где функция экспоненциально велика. Таким образом, имеем о о =ехр ~ — ~(й(дх1 — о=сов (~Ых — — '" ) Х о в согласии с (3.9).
Условие квантования. Квазнклассическое решение уравнения Шредингера в классически доступной области (х, х( х; рис. 26) можно записать двумя способамш 5 А. В. Моолол Как его получить? Предположим, что в классически недоступной области (при У > Е) есть только затухающая экспонента: ГЛ. 3. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ 166 один раз — сшивая осциллирующее решение с затухающим в точке х„а другой раз — в точке х,.
Требование Вз/ совпадения этих двух функций и даст нам условие квантования. Первое из решений имеет вид х ~р, == — 1 сов (~ я Ых — С,я), уй хг х где С,и — фаза, которая возникаРвс. 26. ет при сшивке с затухающей экспонентой для х~ х,. В тех случаях, когда потенциал в окрестности точки х, имеет линейный ход, получается, как мы видели, С, = 1/4. Второе из решений имеет вид ~р, = — "соз (~ й дх — Сея) .
уй Условие совпадения решений дает ~ Мх = (и+ Сг+Сз)и х, (3.14) «В ~ я„ах = Е„Х, = (и + 1) и, х~ (3.15) (при этом а, = а, ( — 1)"). Нетрудно видеть, что соз 'ц Йдх — С,я) проходит через «ю нуль и раз, т. е. и — число узлов волновой функции в интервале (х„хх).
Проверим правило квантования (3.14) (так называемое правило квантования Бора) на примере одномерной прямоугольной ямы с бесконечно высокими стенками. Так как волновая функция должна обращаться в нуль как на левой, так и на правой границах, то С, = Сз = 1/2. Получаем Е ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА где Ь вЂ” длина ямы. Наянизшему состоянию соответствует число узлов и = О. В наиболее частом случае, когда потенциал имеет линейный ход как вблизи х>, так и вблизи хм получаем правило квантования '>и+ 2 ) "' (3.16) хг Мы увидим ниже (стр. 155), что применение квазиклассического прибли>кения для радиальной кулоновской функции при 1 = 0 дает С, = 3/4, Са = 1/4, а при / ~ О С> = С> = 1/4. тг> ЗАДАЧА Показать, что для потенциала, изобра>кенного на рис. 27, условие квантования имеет вид Рис.
27. хг Точность квазикласспческого приближения. Единственное прибли>кение, которое мы делали при выводе наших формул, состояло в отбрасывании слагаемого А" А/» А>.ч 1ы)> Для оценки И заметим, что ~ й г/г — И вЂ” пи, где п — число узлов. Следовательно, квазиклассическое прибли>кение справедливо с точностью до 1/я>п' (а не 1/и). Именно поэтому е правиле квантования Бора законно сохранять добавку 1/2 к числу узлов и, которая представляет собой поправку 1/и. Такова относительная точность всех неэкспоненциальных выражений.
Для волновой функции, содержа>цей ехр ()О'г7х), относительная поправка порядка >~бЮ'с/х А" — — При вычислении матричных элементов А>г ы' 132 гл 3. квлзикллсснчксков пуивлижвннв 6р', У<р ) для функций ~ра и ~в„мало отличающихся по числу узлов я, т, поправки ~ра и у, частично сокращаются, и неточность вычисления матричного элемента будет 1 а — и а1 а Нормировка квазиклассических функций. Существенный вклад в нормировочный интеграл внесет лишь область х, ( х( ха (см. Рис. 26), так как вне ее волноваЯ фУнкЦиЯ экспоненциально затухает. При х, ( х ( ха волновая функция х а ГГ я~ ср„= = соз ц ~ 1с Их — — ), следовательно, хэ ~<ра~айх = 1 ~ — „созаФдх, где х Ф = 1 7адх — —. 4 х ~р„= ~/ — „соз (~ 7адх — — ). (3.17) При Е = Е„волновая функция ~р„имеет я узлов в ха области [хм ха)„так как ~ 7а дх изменяется от нуля до х1 1я+ 17а) я и соз Ф будет и раа обращаться в нуль.
Нели я велико, то фаза Ф вЂ” большое число. Далее, созаФ = 1' 2 2 = — + — соз 2Ф Второе слагаемое много раз изменяет знак и поэтому внесет малый вклад. Следовательно, х, аа Газ аа Т 2 ) а 2 2 где Т вЂ” период классического движения. Итак, 4 2 оа = — = — ы Т где а — частота колебаний в соответствующей классиче- ской задаче. Таким образом, н одномвтнля злдлчл ЗАДАЧА Оценить вклад в нормировочный множитель от классически недоступной области. Ответ. о( — ) Принцип соответствия. Ив правила квантования (3.9) дифференцированием по и получаем х, Ые„р Ых Ые„и и= — р — = —— ва ) л ыа в ' откуда (ЗЛ8) Это соотношение называется принципом соответствия: при больших квантовых числах разность соседних уровней энергии равна классической частоте движения.
Средняя кинетическая энергия. Выразим среднюю кинетичесную энергию частицы при квазиклассическом движении через ее полную анергию: х Дифференцирование 1/ рГЙ в ср = = сов й Ых — — ~ х1 вносит малый вклад в Х. Используя принцип соответст- вия, получим х1 х, — ае г 4 ае Г Т .= — — ~ й' — совеФдх = — ~ йг(х = 2 ) з 4 х, х, — — (и+ —,) л — — (и+ — ) — . (ЗЛ9) В случае кулоновского потенциала при 1 = О условие квантования пе содержит 4/2 и $ Ые„ Т= — и —. 2 аа Если принять во внимание теорему вириала 1 ~Л' Т= — х— 2 ах' 1З~ гл, а квазикллссическое пзивлин~ение то иэ (3.19) можно найти собственные значения энергии в квазиклассическом случае. Например, для осциллятора ~%' Р хз и х „— = 2У,т.
е. У = 'г". Следовательно, (и+ — ) —" = е„. Решая зто уравнение, получим е„= С (и + г/з). Из принципа соответствия следует, что С = — в — частоте классического движения, следовательно, е„= (и + Чэ) ю. Далее, для кулоновского потенциала при 1 = 0 — 1 Нз„— — 1 ае Т = — — У = —, и —, е„= Т вЂ” 2Т =- — —, и — . 2 2 Ыа' 2 ап' Решение этого уравнения есть е„= С(п', Мы видели (стр. 36), что иэ принципа соответствия следует С = — г/ю Связь квазшшассических матричных элементов с компонентами Фурье классического движения. Свяжем матричный элемент ) ~р У (х) у„йх одномерной задачи с компонентой Фурье от классической величины У [х (~)) (например, дипольпый матричный элемент ') ~р'„х~р„йх можно связать с компонентой Фурье классической коор- динаты движения х П)). Пусть и и и' не очень сильно отличаются друг от друга, именно, :(~1, п=.>1, и'=>1.
Тогда матричный элемент У„„= ~ ~'У~р„'Ых = а а„, ~ = сов Ф„созФ„дх= = а'„~ У (соз (Ԅ— Ф„) + соз (Ф„+ Ф„)) — . Так как Ф„и Ф„велики, то второе слагаемое в подинтегральном выражении можно отбросить из-за сильной осцилляции соз (Ф„+ Ф„). Следовательно, а„г а ха2 Нх 0„„= — ~ ТТ(х)соз(Ԅ— Ф„.) —. »ы Ю ~ьг 1. Одпомкгная ЗАдлчх Так как х Х Ф„вЂ” Ф„.— ~ — (е„— е„.) = — „(и — и') ~ — = — „(и — и ) г, Г ~Ь Н8„, Г Ых ее р Ыв "„1 ~п1 то ти и„„,= „' ~ Н( (г)) .~(","' дг. о Итак, матричный элемент величины У (х) в квазиклассическом приближенки равен фурье-компоненте величины У (х (1)). Критерий применимости теории возмущений для расчета не слишком малых величин.
При возмущении и-го состояния дискретного спектра критерий применимости теории возмущений имеет вид Евт~ где Н' — матричный элемент возмущения, а Е„ =ń— Е . Здесь Е„и Е означаютближайшие уровни, для которых матричный элемент Н не мал. Так как ЫЕ„е'„ Е и и Йп и где и — число узлов волновой функции, то зто условие сводится к —. и(~1.
' ~'« (3.20) В квазиклассическом случае и )) 1, и это условие может не выполняться. Покажем, что для вычисления не слишком малых величин его можно заменить более мягким условием: (3.21) Для доказательства этого утверждения рассмотрим матричный элемент У„м = (~р ! У( ср ). Пусть 17 (х)— плавная функция. Тогда У„~ ~ О, лишь когда и и ги мало отличаются друг от друга (иначе у подяптегральной 136 ГЛ Э КБАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ функции будет много узлов). Воспользовавшись квазиклассическими волновыми функциями, получаем ии„= — "," ~Н(х) — '„* ( (Фи — Ф )+. (Ф.+Ф„)). (3.22) Второе слагаемое в подинтегральном выражении для У» осциллирует (и + т) раз, поэтому его вкладом можно пренебречь. Пусть теперь к потенциалу У (х) добавляется малая величина Н' (х).
Так как йи = у' 2 (ń— У (х)), то Ыс„= ф 2 (Е» — У (х) — Н' (х)) — ~l 2 (Е» — $' (х)) — —, Н' и» следовательно, У~Я„Н'М Н'~Е», если х" не близко к Е„(иначе квазиклассика неприменима). Следовательно, условие М„И ~= 1 эквивалентно Н'/Е„<= 1, т. е. изменением й можно пренебречь при выполнении условия (3. 21). При вычислении фазы Ф» = ~ й„дх — — этого нельзя "»1 х Г Н' Н' делать,так как 6Ф»= ~ бй„дх= ~ — „, й„дх — —,и, гдеи— и ~и х»1 гт' число узлов. Поэтому условие бФ»((1 означает — и (( 1; я» отсюда и возник критерий теории возмущений. Однако мы видим, чтодля вычисления величин, содержащих Ԅ— Ф„„при ~ и — т ~ 1, изменение разности фаз имеет порядок Н' Н' 6(Ф» — Ф ) — —,(и — т) — е и п Следовательно, изменение больших матричных элементов Уи,и при возмущении потенциала на величину Н' (х) определяется условием Н'!Е„~~ 1, что и нужно было показать. Если ~ и — т ~ не мало, то изучаемый матричный злемент мал из-за осцилляций соз (Ԅ— Ф ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
