1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 18
Текст из файла (страница 18)
После такого обобщения квазиклассическое приближение дает разумные результаты даже в тех случаях, когда условие применимости этого приближения казалось бы не выполнено. С примером такого рода мы столкнулись при получении ассимптотического выражения для Г-функции.
Выражение, полученное в пределе х)) 1, окааалось с хорошей точностью справедливым при х = 1. Аналогично этому стационарное решение уравнения Шредингера для основного и первого возбужденного состояний достаточно хорошо описывается квазиклассическим приближением, хотя для формального выполнения этого приближения требуется, чтобы число узлов п волновой функции было бы много больше 1.
Причина этого ниже выясняется— параметром разложения является не 1/и, а величина з = 1/и'л', которая достаточно мала уже при я = 1. В некоторых задачах (надбарьерное отражение, возбуждение системы пролетающей частицей) возникают интегралы от сильно осциллирующих функций. Эти интегралы вычисляются методом перевала и обычно определяются окрестностью ближайших к вещественной оси особых точек потенциала. Ниже выясняется, в каких случаях эти интегралы не будут экспоненциально малы. Вычисления используются, как повод для более подробного изучения ме- $.
ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА тода перевала. Изучается задача о вылете частицы из потенциального барьера. Вопрос сводится к задаче о расплывании пакета, описывающего частицу, находящуюся в начальный момент времени внутри барьера. Показано, что вероятность найти исходную систему нераспавшейся через время г зкспоненциально падает со временем. Возникающие при расчете дополнительные слагаемые, неэкспоненциально зависящие от времени, определяются расплыванием пакета медленных частиц, образовавшихся в процессе приготовления исходной системы, и не имеют отношения к процессу распада. Для лучшего понимания квазиклассического приближения в 3-мерном случае читателю следует обратить внимание на вычисление распределения заряда в атоме и на квазиклассическую задачу рассеяния. 1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА Напишем уравнение Шредингера в виде <Р" + Л' (х) ср = О, (3.1) где яз (х) = 2 [Š— Р (х)) Пусть потенциал Р' (х) достаточно медленно меняется с изменением координаты, так что И')) 1, (3.2) где 1 — длина, на которой существенно меняется И (х).
Тогда приближенное решение задачи имеет вид (см. стр. 28) ~р(х) = =ехр [~1~ Атгх1. (3.3) ~р (х) = А ехР ~ пх ') ! Я ! Ах1, (ЗА) где А = а/)Г ( й ~. Мы получнлп первое приближение в Это относится к случаю Е > У, когда й вещественно. В случае Е У решение будет содержать растущую и затухающую экспоненты, т.
е. 124 ГЛ. д. КВАЗИКЛАССИЧЕСКОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ разложении по степеням величины 1/(й1)з. Можно получить и следующие приближения. Оказывается, что получающийся при атом ряд по степеням параметра 1/(Л1)з асимптотический, а не обычный. ЗАДАЧА Покааать, что при приближенной оценке производной от квазиклассической функции нужно дифференцировать лишь экспоненту. Асимптотические ряды. Напомним, что такое асимптотическнй ряд. Пусть м 0 — частичная сумма ряда.
Пусть при фиксированном з и Б -+- со величина г„— ь. Со, но при фиксированном л н х -+- оо сумма з„все лучше и лучше аппроксимирует некоторую функцию /(г), т. е. 11ш г" (г„(з) — / (з)] = О. (3.5) а Здесь з -э- со в заданном интервале агя з. Тогда говорят, что а„есть асимптотическое представление / (г). Это не есть ряд в обычном смысле этого слова, так как г„расходится. Но из него можно извлечь сведения о функции / (г), так как при з -~- со он хорошо представляет эту функцию. Иными словами, сходящийся ряд стремится к / (г), когда п — со для данного г, в то время как асимптотический ряд стремится к /(г), когда з -~- оо для данного и.
Построим а„(з) по заданной / (з). Величина га равна ам следовательно, а / ( сс). Величина г, = а, + аг/з, тогда 11ш з (аз+ —" — /(з)) = О, Е О) т. е. аг — — 11ш з (/(з) — а,] = 1! ш з [/(г) — /(оо)]. Аналогичным образом находятся все коэффициенты а„. К ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 125 Однако восстановить обратно функцию по ее асимптотическому представлению нельзя. Например, пусть ~(з) е *, тогда аз — — О, ад = Пш зе = О, а, = аз — —... = а„= О. з ю Следовательно, весь асимптотический ряд равен нулю для функции е-*. Итак, функции ~ (г) и ~ (з) + е * имеют одинаковые асимптотические представления.
Обозначим з = И. Оказывается, что квазиклассическое решение а„ (з) <р„~,„„(х) — д — „ 0 3 (3.6) Х Х ~р = =елр (~~)гдх)+ — ~р ехр( — 1~кг)х), (3.7) уз рь есть асимптотический ряд, т. е. ряд, расходящийся при п -~- со. Однако при г — сс величина а (х) сколь угодно хорошо представляет функцию у (х) (точное решение). Пусть, далее, з фиксировано. При п -+-,ос квазиклассический ряд расходится. Следовательно, при любом г есть оптимальное число членов п (з), которое наилучшим образом описывает функцию у (х). Можно показать, что оптимальное число членов квазиклассического приближения и И, Мы будем поль- г(ю зоваться только нулевым членом этого ряда.
Сшивание кваэиклассических функций. В этом разделе мы найдем, как нужно сшивать квазиклассическую волновую функцию ~р в области, Х доступной для классического х движения, с ~р в запрещенной Ряс. 24. области. Для определенности предположим, что потенциальная энергия частицы имеет вид, изображенный на рис. 24 (начало координат взято в точке, гдето(х) =й). Квазиклассическое решение в области 1У (классиче- ски доступной) согласно (3.3) имеет вид 126 Гл. 3. кВАзикллссическов пгивлиженив а в области 1 (классически недоступной) 0 о «р = ехр (~ ! ««( ««х) + ехр ( — ~ ) Й ) ««х) . (3.8) Если бы квазиклассическое решение было аналитической функцией х в окрестности х = О, то для нахождения соотношений между а„а, и бм Ь, нужно было бы аналитически продолжить это решение из 11 в 1 (при этом экспоненты в (3.7) просто перешли бы в экспоненты (3.8)).
Правда, по вещественной оси нельзя было бы двигаться, так как в окрестности х = 0 квазиклассика неприменима (««(0) = О, поэтому условие И=~ 1 не выполняется). Эту трудность можно было бы преодолеть, обойдя точку х = 0 в комплексной плоскости по дуге достаточно большого радиуса (где применима квазиклассика).
Однако такое аналитическое продолжение дает, как мы увидим, неправильный результат. Оказывается, что при таком обходе обязательно пересекаются линии (они называются линиями Стокса), где портится аналитическое продолжение. Это явление характерно для асимптотических разложений. Мы покажем, как следует находить аналитическое продолжение в подобных случаях. Другой возможный путь состоит в том, чтобы искать точное решение задачи вблиаи х = О, считая потенциал прямолинейным. Это решение описывается так нааываемой функцией Эйри.
Затем нужно сшить точное решение с квазиклассическим при х > 0 и х( О. Разумеется, так можно поступать только зная, что квазиклассическое приближение становится применимым на расстояниях от точки поворота, малых по сравнению с расстоянием, на котором потенциал существенно отклоняется от прямолинейного. Покажем, что при большом параметре квазиклассичности Ю )) 1) зто действительно так. Разложим для этого потенциал Р'(х) вблизи х = 0 в ряд: Т' (х) = Е + У' (0) х.
Тогда импульс й (х) = = $« — 2У' (О) х = а )«' х. Оценим величину ол у'(р (о)(-~/" — ',"-ф, 1. ОДНОМЕРНАЯ ЗАДАЧА 127 где Й, = $~ 2Ъ', а 1 — длина, на которой существенно меняется потенциал У(х). Итак, в окрестности точки х = О величина Й(х) — Йо 1/ * . Чтобы квазвклассическое прик 1 блвжение было применимо, нужно отойти от точки х = О на такое расстояние, чтобы (-')! * "-%<' О ц, ~1: В.О1ООзь,у =- . ' У вЂ”.... как Йо())1, то можно выбрать такое х1, что — '. <х,-СЙ (ао1) ' Рнс. 25. На расстояниях — х„с одной стороны, уже годится квазиклассическое приближение, а с другой,— потенциал все еще можно считать прямолинейным. Сшивка с помощью функций Эйри для потенциала, изображенного на рис.
24, имеет вид*) х о = ехр ~1 ~ Й ~х 4 ~ — ехр ~~(Й ('(х1+ о х о + = ехр ~ — ~ ~ Й ~ сх1, (3.9) 2 У)й~ о о =ехр ~ — 1~Йдх+ 4 1- ехр ~~(Й(ох1+ о х о + =- ехр [ — ~1Й ( Ых~. 2 ~~и Сейчас мы получим эти соотношения, не прибегая к функциям Эйри. Выберем радиус обхода р порядка х, (рис. 25). Тогда можно пользоваться квазиклассическим приближением и в то же время считать потенциал прямолинейным.
Так как при этом х (*)= '5-1 о о) Л. Ш и ф ф, Квантовая механика, ИЛ, 1959. 1 28 Гл 3 кВАзиклАссическое пРиБлижение В комплексной плоскости г, гз. х = ре'о и ( Й дх = — ар'ь ехр ( — ООр). 3 ( 2 О Поэтому х = ехр ~$ ~ Ых1 = О 1 — Π— Гг, г. 3 з = — е О ехр ~ — ар" (Осоз — <р — зш — «р)~. (3 10) По мере обхода контура до тех пор, пока Ор~ 2Л/3, зш О/, ~р положителен, а выражение (3.10) содержит затухающую экспоненту. Если ~р) 2Л/3, то (3.10) содержит растущую экспоненту.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
