1625913946-eed6605458588472ab0434089c72d62f (536944), страница 16
Текст из файла (страница 16)
В обозначениях теории, развитой выше, примем за Н| (е, Е) гамильтониан 2 1 1 1 1 1 +Д 1 1.— — '.! 1-.— '"! " 406 ГЛ. Х РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ (конечно, 1/В можно было бы перенести в Нт). Введем функции <р„(т, Аь), удовлетворяющие уравнению Я'р»(' ° Л) = З Ф) р ('. У~) Они соответствуют собственным функциям электрона при фиксированном расстоянии между ядрами.
Решение уравнения Шредингера с гамнльтоннаном Н имеет вид Ч'х =,)«~ Сх"Хп. (Е) фп (и Л)~ (2 43) пч пРичем фУнкции Хп„УдовлетвоРЯют УРавнению — — Ьв + сп(В)~ Х~„(Л) = ю~.Хп. (Л) (2.44) Ядра молекулы колеблются около некоторого среднего положения. Эти колебания имеют малую амплитуду. Поэтому для е„(В) можно написать следующее приближенное выражение: 1 /~'~ ~ е»(Я) — е (Яе) + В ( и/ '(У~ -1пе) ° Подставляя это е„(В) в уравнение (2.44), получаем уравнение Шредингера для трехмерного осциллятора.
Следовательно, колебательные уровни молекулы имеют вид .» = Ъ'(Я.) + (~ + —,) ю., 1 где юе — частота классического осциллятора. Найдем зависимость ю, от массы молекулы. Из соотношения — йУЮЕ(Š— ~О) = ) / '(Л вЂ” Апе) е 1 ~~ ~п '1 3 2 0 2 ~Ив /в вытекает, что - =~'жа)... Так как в атомных единицах электронные уровни еп 1 ~ еп и размеры молекулы Я, 1, то — ", — 1 и, следовательно, ые Ум 108 ГЛ. 2. РАЗЛИЧНЫЕ СЛУЧАИ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ ные частоты относятся как: Еэпр Л. Юппл: Гепл = 4: 3~И: «У. Воабуждеиие ядерных дипольных уровней быстрой частицей.
Рассмотрим задачу о возбуждении атомного ядра при пролете мимо него быстрой заряженной частицы. В данном случае быстрая подсистема (налетающая частица) имеет сплошной спектр, а медленная (атомное ядро)— дискретный. Найдем решение в предположении, что время пролета частицы мало по сравнению с существенными обратными частотами системы. Сначала получим общие формулы для применения адиабатического приближения к задаче рассеяния. Введем собственные функции ~р (2, $~) гамильтониана быстрой подсистемы Н, = Т, + $' (г, $,), где ҄— кинетическая энергия частицы, а К (г, $;) — ее взаимодействие с медленной подсистемой; Ц вЂ” координаты медленной, э'— быстрой подсистемы.
Таким образом, функции ~рв удовлетворяют уравнению Н Ь( Ы= АР ( ~*.). (2.45) Энергия частицы е„ = рп(2«Х, т. е. не зависит от $О в отличие от случая дискретного спектра. Ищем решение (2.45), имеющее асимптотический вид: и агап + ~ а~пп ) (о. В;) (2.46) Поскольку ер не зависит от Ц, то уравнение для волновой функции медленной подсистемы (т.
е. для ядра) будет таким же, как н без зр (только со сдвинутыми на ер собственными значениями): ~2Хп ($3) эпХп Й~) Ищем решение задачи в виде Чт Г йР' Р'и' т.. = Х') —,. С.п ~.Хпч -„')( ) причем коэффициенты СР Р" подчиняются уравнению (см. (2.42)) (сап — Ер,п,) Суп„= —,Я~р„~, (фрХ„[02, фр ) Хп) Срп". 6. ВЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ юэ Это уравнение можно решать последовательными приближениями. Пусть в начальный момент времени (е = — оо) система находилась в состоянии (у)„л ьи О).
Тогда в нулевом приближении «гг(О) ;ле, = С,Ч.Х,. Согласно (2.46) имеем е<Р.г Ч"„'„С, (е< "Х,($() + — „!(6,1)Хз(з()) = г =е.(. «.(),)< — *Р,(х(х)х„). (2.«г) Точное решение должно иметь асимптотический вид; Ч" — «е(Р Хе(з()+ — ~)!»(6)е<~ "Х„(з<). г » Здесь импульс р„определяется законом сохранения энергии: е, + ю„= е„+ <з,. » Пренебрегая изменением энергии частицы, получим е<Р«г Ч" — «е<Р«гХо (з() + Х !и (6) Х» (з<) (2 48) г и Сравним с этим вырая<еннем асимптотический внд приближенного решения Ч"(„'),. Из сравнения (2.42) н (2.48) находим С, и амплитуды упругого и пеупругого рассеяния: С,=1, !о (б) = (Хо (з»() ! ! (б~ ~() ~ Хо (з»()) (2.46) !»(б) = (Хи($) ~!(б, $) ~ Хе Й;)).
Используем полученные результаты для вычисления сечения возбуждения ядерных дипольных уровней быстрой заряженной частицей. Кулоновское взаимодействие пролетающей частицы с нуклонами ядра имеет вид (Я,— заряд частицы, 2з — заряд ядра): У=2Х 2<2< и . = — +г,— +..., 1 (Р— Р( Г ГЕ < где <ь — днпольный момент ядра. Зтот потенциал пол<но ио Гл. е РАзличные случАи теоРии ВОзмущений представить в виде кулоновского, но со сдвинутым на- чалом координат; Для этого нужно, чтобы величина а = ~ гааз ~ была мала по сравнению с существенными г, т. е. по сравнению с прицельным параметром р: а ~= р.
Следовательно, волновые функции тр будут кулоновскими волновыми функциями со сдвинутым аргументом: г,(г,$,) р. (г, й) т($,) Выберем у (5~) так, чтобы у имела асимптотический вид (2.46): ~рр(Р, Ц) — (ехр ~~р (г — — й )1+ + ехр ~1р ~ г — —,Ифу Д)т где 1Π— амплитуда кулоновского рассеяния. Для совпа- дения с (2.46) следует взять у (з;) = е'РА1хь Тогда ф (т,Ц) е'Р" + 4рт г, ~ 1 + — ~О(О)ехр~1р~т — — 4~+ ~уй — — ~рг1, г ъ 1 1 1 тГг Так как ~г — — 4~=г — — —, то г. ~ = иа ° ' ;рт г, го тгР(з', Ц,) — е'Р» + — '~о (б) ехр ~ивой — 1, где д нв у — — г — вектор, характеризующий изменение Р т импульса налетающей частицы при столкновении.
Поэтому согласно (2.49) /„(б) = ~о (д) (2„~ ехр (1дсй — ) ~ у ) . (2.50) Здесь уо — амплитуда кулоновского рассеяния. 5. БЫСТРАЯ И МЕДЛЕННАЯ ПОДСИСТЕМЫ 114 Заметим, что сумма сечений для всех возбуждений равна Х! У (б) ( = Х Ьа ~ ехр ( — и14,~, ) / 2 ) '~ х (Х ~ р(и112 —,) ~Х.) !~с(б)!'=1Р(б)(з, т. е. равна сечению кулоновского рассеяния.
Если угол отклонения д мал (малый переданный импульс), то из (2.50) получаем формулу теории возмущений: ~п(б) =)~ (б) (Кп / — фсХ~~о) (2 5() амплитуда возбуждения пропорциональна дипольному матричному элементу. Рассеяние протона на атоме водорода (перезарядка). Рассмотрим рассеяние протона на атоме водорода, когда скорость протона много меньше скорости атомного электрона.
В противоположность предыдущему случаю адесь дискретна быстрая подсистема, а у медленной подсистемы непрерывный спектр. Гамильтониан системы имеет вид 1 1 1 1Л ~+н м В разделе 2.4 мы рассматривали Л как заданную функцию времени. Теперь мы рассматриваем налетающий протон и атом водорода как две взаимодействующие квантовомеханические системы. Гамильтониан Н симметричен к перестановке налетающей и покоящейся частиц (т -и — т).
Поэтому можно ввести симметричные и антисимметричпые функции ф„* (г, Л) и ~р~ (т, Л). Если нуклоны находятся далеко друг от друга, то электрон полает находиться около одного либо около другого протона, и, следовательно, фп (и Л) -и =~7~ (т — — Л ).+Ч~„ (и + — Л)1, в У2 где в правой части стоят волновые функции атома водо- рода. 112 гл. 2. РАзличные случАи теОРии ВОзмущений Предположим, что при сближении ядер не происходит пересечения термов. Тогда можно классифицировать их ао тем состояниям, из которых они образовались. Будем считать, что сначала электрон был около протона с координатой Л!2, т. е.
его волновая функция имела вид Р~( 2 )' Гамильтониан медленной подсистемы равен Лз (Л) м 1в' 1 а его собственные функции находятся из уравнения [ — — ллв + е'„' (Л)1 Х'„' (Л) = ЕРУ"„' (Л) и имеют асимптотический вид )л,а 2',„(Л) — е'Рв + — е'Р".
е со В нулевом приближении решение задачи имеет вид (см. Стр. 101) г л =- С~р'Р (т', Л) 11ре(Л) + С„р~Д(и, Л) Крд(Л). (2.52) Коэффициенты С„р и фРопределяются из асимптотиче- ского вида Ч'л. Ч"л -~ <р 1э' — — Л) е Р + в в -)-~~д~~ (к — — Л) +~ар~ (з'+ — Л)1 —, (2.53) где 11 — амплитуда упругого рассеяния, а /з — амплитуда перезарядки. Чтобы обеспечить асимптотический вид (2.53), нужно считать в (2.52) р = р, и и = ле. Тогда волновая функция (2.52) становится равной лгл = С% (т' Л) у (Л) + Се% (г Л)Х (Л) З. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИИ В СЛУЧАЕ ВЛИЭКИХ УРОВНЕЙ Мэ и имеет асимптотический вид Ч"х — ~ еев В(С*1р'„, + С'1р„',) + — е1Р" (1,С"'1р', + ~,С'1р,').
(2.54) Выраи1епня (2.53) и (2.54) должны совпадать, т. е. нужно потребовать С' =- С'=- —. уэ' Тогда иэ (2.54) находим " ~.-" =- — 'И'("- — '' )- '-('+ — ' )1+ +1 ~1р (т — хь) — р ~э + — ~Т)1~— = Йрие ('~' Э ХС) + 1эф~э (1' + ЕС)» т. е. (2.55) Таким образом, для нахождения а11плитуды перезарядки 11 н амплитуды упругого рассеяния 11 необходимо вычислить амплитуды 1', и 1',. Чтобы найти их, нужно решить уравнение Ав+ э~~ (Л)1ХРа = Ер"Ар'» с величинами е„' (П), которые определяются из решения аадачн об электроне в поле двух центров.
В дальнейшем (стр. 168) мы найдем решение атой задачи в кваэиклассическом приближении. 6. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ В СЛУЧАЕ БЛИЗКИХ УРОВНЕЙ Рассмотрим систему с двумя блиакими уровнями, на которую наложено возмущение (случай ббльшего числа близких уровней внесет лишь алгебраические усложнения). Пусть возмущение достаточно малб, так что можно пренебречь примесью состояний с далекими энергиями, и4 гл.
2. РАзличныв случАи теоРии ВОзмущений между тем как состояния с блиакимн энергиями смешиваются сильно. Решение уравнения Шредингера (Н, + Н') Ч1 = — ЕЧ1, где Н' — возмущение, следует искать в виде суперпозиции состояний, соответствующих близким уровням: Ч" = С1Ч11 + Сваг (2.56) причем функции Ч'ьг удовлетворяют невозмущенному уравнению НОЧ 1~2 е1~2Ч 1рг Коэффициенты С„Сг в (2.56) имеют одинаковый порядок величины. Найдем энергетические уровни возмущенной системы.
Для этого запишем уравнение Шредингера в представлении С1 Сг: (Š— в,) С1 = Н11С1 + Н11Сг ( (Š— ег) Сг = Н21С1 + НМСг ) Коэффициенты С„Сг отличны от нуля, если детерминант системы (2.57) равен нулю, т. е. ! Š— в, — Н11 — Нгг = О. (2.58) — Н, Š— — Н Отсюда получаем Е= В1+Ег+Н +Н вЂ” ' ' 4 — ('+Н )("+Н-)+~Н-~'. Обозначая в, + Н11 — — з„зг+ Н„= вг, окончательно находим Е = — 'З ~'.+ — 1' (зг — зг) + 4 ~ Н„~г. (2.59) З. твОРИЯ ВОЗМУЩВИИЙ В СЛУЧАИ БЛИЗКИХ УРОВНРЙ тт5 В случае применимости обычной теории возмущений: ( Н1з )(~ ( е, — ез (, из (2.59) получаем (Н Е<» з +Н„+ —" (н р Есо = е, + ̈́— —" е~ — зз ' что и следовало ожидать. При Н'-~- 0 величина Еп~-+.
е„ а Е® — ~ ез. Наоборот, в случае е, = ез = е из (2.59) имеем Н +Н, + " '+Я( (2.60) Ер — — е,+ + е — е з е„— е где ер — — р'/2М. Однако зто выражение применимо лишь в слУчае Рз (( ) е, — е «(, т. е. когда Р не близко к~ И2. Заметим, что если для какого-либо возмущения, зависящего от параметра, Н„чь О, то уровни Е<И и Ем>, как функции параметра $, не пересекаются, так как в (2.59) У (з — зз)з + 4 ( Н,з ) ' ) О. Уровни энергии при этом имеют вид, ~ю изображенный на рис.
22. Частица в периодическом потен- ~о~ циэле. Рассмотрим, как изменяется движение свободной частицы при наложении периодического возмущения Р = У (е'""+е '"'). — о Рис. 22. Волновая функция невозмущенной задачи имеет вид Ч'р -— — е'~". Среднее значение у' по любому невозмущенному состоянию равно нулю, а отличны от нуля лишь матричные элементы Ур,р-и = Ур,р~з = Уо (длину ямы считаем равной 1). В обычной теории воамущений сдвиг энергетических уровней равен 116 гл.
2. РАзличныв случАи твории Возмущвний Если р -я. Ля2, то состояния Ч'р и Ч'р е имеют близкие анергии, и волновую функцию частицы нужно искать в виде Ч = СяЧР+ СзЧ,, (при р -~ — яя'2 Ч' = С,Ч'р + СеЧ'р+а). Иа (2.59) для собственных значений энергии получаем выражение: Выбор знака в (2.61) определяется тем условием, чтобы при ~ ер — ер я ~:> Р, энергия Ер стремилась к ер. Так как при р ~ я/2 величина Ер ят;=:Й'-1 ~- .,1- 1 =е „вЂ” ер, а при р)Ы2 1 "у'(ер — ер я)' = ер — ер ю то дляр (М2 в (2.61) нужно взять один знак корня, а при 1 р ) й12 — другой. Для Е„ еяд УР1 получается разрывная кри- У вая, изображенная на рис.
23. 1ЯЯЛ ЯЯ' При атом величина разрыва Равна Еяяз+я Еяяе э = 2я'э. Таким образом, при на- ложении периодического пор вс. 23. тенциала в спектре свобод- ных частиц появляется щель. Отсюда понятно возникновение запрещенных зон в металлах для электронов (правда, там нужно рассматривать трехмерный случай). ыя~ Из (2.61) следует, что — ~ = О, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
