physics_saveliev_3 (535941), страница 51
Текст из файла (страница 51)
В дальнейшем мы будем называть его просто уравпспнец Шредингера. К уравнению Шредингера можпо прийтп путем сз'- дующих рассуждений. Из опытов по дифракцип и».",.очастиц вытекает, что параллельный пучок час1пц сбтздает свойствами плоской волны, распростраппюс'с.'.сз в направлении движения частиц. Уравнение плосксй золпы, распространяющейся в папрасле пш осп .г, пмсег, как известно, вид: ва а (х, 1) =. а соь (ы1 — -=: х ) . /.
Это выражение часто пишут в комплексном виде: ~(х, 1) =-ае (65.4) подразумевая, что надо принимать во внимание вещественную часть это~ о выражения (см. т. 1, формулу (79.9)). Согласно гипотезе де-Бройля свободному движепшо частицы соответствует плоская волна с частотой ы = = Е/Ь и длиной волны Х = 2пЬ~!р. Заменяя ы и ). в выражении (65.4) энергией и импульсом частицы, получим волновую функцию для свободиой частицы, движущейся в направлении оси х: Ч (х, г)=ае ~' " у=ае '~ . (655) Чтобы найти диффереппиальпое уравнение, которому удовлетворяет функция (65.5), воспользуемся соотношением между Е и йч (65.6) Продифференцировав функцию (65.5) один раз по 1, а второй раз дважды по х, получим: дч' !,1 г — =- — — Е 1, Ь „, 1(г ! ч!(г —,'-(-!! ~ = — г Из этих соотношений можно выразить Е и рз через функ- цию Ч' и ее производные: Л дЧ' ! .
д'Р ! Е = — —, — — — =- !а —— ! д! Ф= д! Чг~ дЧ' ! р' = — Ь' — — -, дх' Ч' ' Подставляя последние выражения в соотношение (65.6), получим дифференциальное уравнение: У д~чс — — — =-И вЂ”. 2:и дх' ш Если направление волны не сочпадает с осью х (или у, нли г), фаза колебаний будет зависеть от всех координат; х, у н г. Можно показать, что и этом случае дифференциальное уравнение имеет вид: Ь-' Г д'Ч' д'Ч д"-Ч' ! . дЧ' — — — -!- — + —., ) =гб —. (, дх дд дг- ) = д! Полученное уравнение совпадает с уравнением Шредингера (65.1) для случая 0 = О (частнца по услови!о свободна).
Подстановка (65.2) в это уравнение (такая подстановка правомерна, так как 0 = О, т. е. пе зависит от 1) приводит к уравнению Шредингера для стационарных состояний: 2я (65.7) Это уравнение совпадает с уравнением (65.3) для случая и=о. Таким образом, мы получили уравнение Шредингера для свободно движущеися частицы. Теперь следует обобщить уравнение (65.7) на случай частицы, движущейся в потенциальном поле снл, когда полная энергия Е слагается из кинетической энергии Т и потенциальной энергии К 3!3 В случае свободной частицы полная энергия Е совпадает с кинетической Т, так что величину Е в уравнении (65.7) могкно трактовать либо как полную, либо как кинетическую энергию частицы.
Обобщая уравнение (65.7) на случай двнгкения частицы в поле сил, нужно решить вопрос о том, что следует подразумевать для такой частицы под величиной Е: полную или только кинетическую энергию. Если принять, что Š— полная энергия частицы, обобщенное уравнение, определяющее Чг, а значит, и сама т)г не будет зависеть от вида функции сг, т. е, от характера силового поля.
Это, очевидно, не может соответствовать действительному положеншо вещей. Поэтому следует признать, что при наличии сил, действующих на частицу, вместо Е в уравнение (65.7) нужно ввести кинетическую энергию частицы Т = Š— К Произведя такую замену, мы придем к уравнению (65.3), Чтобы предостеречь читателя от иногда встречающегося заблуждения, необходимо еще раз подчеркнуть, что приведенные нами рассуждения не могут рассматриваться как вывод уравнения Шредингера. Их цель— пояснить, каким образом можно было прийтн к установлепшо вида волнового уравнения для мнкрочастицы. Доказательством же правильности уравнения Шредингера может служить лишь согласие с опытом тех результатов, которые полу гаются с помощью этого уравнения. й 66.
Квантовомеханическое описание движения микрочастиц Соотношение между волновой функцией Ч" и описываемой ею частицей аналогично соотношению между световой волной и фотоном. В э 57 мы установили, что квадрат амплитуды световой волны определяет вероятность попадания фотона в соответствующую точку пространства. Точно так же квадрат модуля ') волновой функции для какой-либо точки пространства, будучи умножен на ьключаюгцнй в себя эту точку элемент объема т()г, определяет вероятность ~Р того, что частища будет обнаружена в пределах объема о'ьгг с(Р = 1 Ч',"а ьг)' =- Ч" Ч"' оЧг, (66.1) ') Волновая функпня н ее квадрат явля~отса комнлекснымн аелн:щяамн. Вероггтггость же может выражаться только вещественным числом. Таким образом, физический смысл функции Ч заключается в том, что квадрат ее модуля дает плотность вероятности (вероятность, отнесенную к единице объема) нахождения частицы в соответствующем месте пространства.
Для стационарных состояний волновая функция имеет вид (65.2) и \р\)г ~-~ ~еда )ф е~ щlь]!ф' фф' так что в этом случае плотность вероятности равна фф' и, следовательно, от времени пе зависит. Из сказанного вытекает, что квантовая механика имеет статистический характер. Она не позволяет определить местонахождение частицы в пространстве или траекторию, по которой движется частица. С помощью волновой функции можно лишь предска- зать, с какой вероятностью частица может быть обнаружена в различных точках пространства.
1 На первый взгляд ау ф л/ может показаться, что квантовая мсха- РвС. 192. ника дает значительно менее точное н исчерпывающее описание движения частицы, чем классическая механика, которая определяет «точно> местоположение и скорость частицы в каждый момент времени, Однако в действительности это не так. Квантовая механика гораздо глубже вскрывает истинное поведение мнкрочастиц. Она лишь не определяет того, чего нет на самом деле. В применении к микрочастицам понятия определенного местоположения и траектории вообще теряют смысл.
Движение по определенной траектории несовместимо с волновыми свойствами, что становится совершенно очевидным, если проанализировать существо опытов по дифракции. Рассмотрим дифракцию от двух близко расположенных отверстий (рис. 192). Вследствие интерференции волн, распространяющихся от отверстий, дифракциоипая картина не будет тождественна наложению дифракционных картин, получающихся от каждого из отверстий 315 в отдельности (картипа, получающаяся в случае рис. 192, а, не совпадает с наложением картин, получающихся в случаях б и в).
Следователыю, вероятность попадания электрона (или какой-либо другой микрочастицы) в различные точки экрана при прохождении пучка через оба отверстия также не будет раина сумме вероятностей для случаев прохождения пучка через каждое из отверстий в отдельности.
Отсюда неизбежно следует вывод, что на характер движения каждого электрона оказывают влияние оба отверстия. Такой вывод не совместим с представлением о траекториях. Если бы электрон в каждый момент времени находился в определенной точке пространства и-двигался по траектории, он проходил бы через определенное отверстие — первое или второе.
Явление же дифракции доказывает, что в прохождении каждого электрона участвуют оба отверстия — и первое, и второе. Пе следует, однако, представлять дело так, что какаято часть электрона проходит через одно отверстие, а другая часть - — через второе. Электрон, как и другие микрочастицы, всегда обнаруживается как целое, с присущей ему массой, зарядом и другими характерными для него величинами.
Таким образом, электрон, протон, атомное ядро представляют собой частицы с весьма своеобразными свойствами. Обычный шарик, даже и очень малых размеров (макроскопическая частица), не может служить прообразом микрочастицы. С уменьшением размеров начинают проявляться качественно новые свойства, не обнаруживающиеся у макрочастиц. В ряде случаев утверждение об отсутствии траекторий у микрочастнц, казалось бы, противоречит опытным фактам. Так, например, в камере Вильсона путь, по которому движется микрочастнца, обнаружинается в виде узких следов (треьов), образованных капельками тумана; двиэкепне электронов в электроннолучевой трубке превосходно рассчитывается по к.тасснческим законам, н т.
п. Это кажущееся противоречие объясняется тем, что при известных условиях понятия траектории и определенного местоположения оказываются применимыми к микрочастицам, но только с некоторой степенью точности. Положение оказывается опять-таки точно таким, как и в оптике. Если размеры преград илп отверстий велики по сравнению с длиной волны, распространение света происходит как бы вдоль определенных лучей (траекторий). При определенных условиях понятия положеиия в пространстве и траектории оказываются приближенно примеиимыми к дви>кешпо микрочастиц, подобно тому как оказывается справедливым закон прямолинейного распространения света.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
