physics_saveliev_3 (535941), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Степепь точности, с какой к частице может быть применено представление об определенном положении ее в простракс!вс, дается соотиошсписм пеоп редел е и и о с т е й, установленным Га!!зедбергох!. Согласно этому соотношению частица пе может иметь одновременно вполне точпые значения, например, координаты х и соответствующей этой коордппате составляющей ф импульса р,, причем неопределеппости в зпачспиях этих величин удовлетворяют услови!о: Лх Лр, ) й. (66.2) Такая запись озиа. !'ис.
!ЗЗ. чает, !то произведение пеопредслеипостей координаты и соответству!о!пего ей импульса пс может быть меньше величины порядка й. Чем точнее определена одна из величии, х или р,, тем больше становится неопределенность дру!ой. Возможны состояния частицы, при которых одпа пз величии имеет вполне точное значение, ио тогда выгорая величина будет совершенно иеопределе!шой.
Соотношения, аналогичные (66.2), справедливы для любой координаты и соответствующего ей импульса, а также для ряда других вели'шн, например, для взятых попарно проекций момента пмп).льса па координат. яые осп. Чтобы поясппть соотношение иеопределе!шостей, рассмотрим следу!ощпй пример. Для определения положения свободно летящей микрочастицы поставим иа се пути щель шириной Лх, расположенную перпендикулярно к направлению движения частицы (рис. 193).
До 3!У прохождения частицы через щель ее составляющая импульса р, имеет !очное значение, равное нулю (щель по условию перпендикулярна к нмгульсу), так что Лр„= О, зато координата х частицы является совершенно неопределенной. В момент прохождения частицы через щель положегше меняется. Вместо полной неопределенности координаты х появляется неопределенность Лл, но это достигается ценой утратьг определенности значения р„. Действительно, вследствие дифракции имеется некоторая вероятность того, что частица будет двигаться 3р в пределах угла 2гр, где Рл ур — угол, соответствующии первому дпфракг — — 1 ~ У, У У (максимумами высших Рис.
!94. порядков можно пре- небречь, поскольку их интенсивность мала по сравнению с интенсивностью центрального максимума). Таким образом, появляется неопределенность: Лр„= рз!пгр. В 5 24 мы нашли, что краю центрального дифракцнонного максимума (первому минимуму), получающегося от щели шириной Лх, соответствует угол гр, для которого л з(пяу= —. Ьх ' Следовательно ах ' откуда с учетом (64.1) полу !ается соотгюшение Лх Лр„= рй = 2па, согласующееся с (66.2). Оценим неопределенность кординаты и импульса для электрона в электроннолучевой трубке. Пусть след электронного пучка на экране имеет радиус г порядка 10 †' см, длина трубки 1 порядка !О см (рис.
194). Тогда Лр,!Ур„!0-'. Импульс электрона связан с ускоряющим напряжением (у' соотношением: г — =еУ 2ггг откуда р = )г2~иеУ . При напряжении 0 104 в энергия электрона равна 1О" эв = 1,6 ° 10-' эрг. Оценим величину импульса: р= )г2 0,91 ° 10 ° 1,6 ° 10 'ж 5 ° 10 Следовательно, Ьр„= 5 10-'е 1О-' = 5.10-2' И, наконец, согласно соотношению (66.2): В 509.!0-27 Ьх= — = ' ., =2 1О есм. ЬРг З'1О ™ Полученный результат свидетельствует о том, что движение электрона в рассматриваемом случае будет практически неотличимо от движения по траектории. Соотношение неопределенностей отражает двойственную корпускулярно-волновую природу микрочастиц.
Одного этого соотношения достаточно, чтобы получить ряд важных результатов. В частности, оно позволяет объяснить тот факт, что электрон не падает на ядро атома, а также оценить размеры простейшего атома и минимальную возможную энергию электрона в таком атоме. Если бы электрон упал па точечное ядро, его координаты и импульс приняли бы определенные (нулевые) значения, что несовместимо с принципом неопределенности. Этот принцип требует, чтобы неопределенность координаты электрона Лг и неопределенность импульса Лр были связаны условием (66,2). Формально энергия была бы минимальна при г = 0 и р = О.
Поэтому, производя оценку наименьшей возможной энергии, нужно положить Ьг = г н Лр = р. Подставив эти значения в (66.2), получим соотношение (66. 3) гр=л (для определенности вместо знака ) мы взяли знак =), Энергия электрона в атоме водорода равна р2 ег Е= — —— 2иг Г Заменив согласно (66.3) р через Ь/г, получим, что лг е' Е= (66.4) 2тг' г ' 319 Найдем значение г, при котором Е минимальна. Продифференцировав функцво (66.4) по г и приравняв производную нулю, придем к уравнению: гн тг* откуда следует, но Ь'-' г = лы-' (66.5) Полученное нами значение совпадает с радиусом первой боровской орбиты водородного а~она (см.
формулу (63.4) ). Энергьио оснгэвного состояния можно найти, поЛставив значение (66.5) в форм)лу (66.4): Ь' ~' ыг" '~э „!пег ше' Е, 2гл ( Ъ' ! й' 2Л-' Найденное значение также совпадает с энергией первого боровского уровня для Л =- 1 (см. формулу (63.5)). То обстоятельство, ~то мы полу шли точные значения г и Е, является, коне шо, просто удачей. Приведенный нами расчет может пршендовать лишь на то, чтобы дать оценку порядка величины г и Е. $ 67.
Свойства волновой функции. Квантование Зпачсппе уравнения Шредингера далеко не исчсрныгается тем, по с его номощшо можно найти вероятность нахождения частицы в различных зочках пространства. г)з этого уравнения и пз условнй, налагаемых иа волиов)ю ф)икцию, непосредственно вытекают правила квантования эпсргпп. Упомяш)эыс условия состоят в том, что волновая функция ф в сооэвстствии с ее физическим смыслом должна быль однозначной, коне шой и непрерывной во всей области изменения переменных х, д и г. В уравнение Шредингера вхошп в качестве параметра полная энергия частицы Е. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения ~акого вида, как уравнение Шредшггера, имеют решения, удовлетворяющие сформулированным выше условиям (т.
е. однозначные, конечные и непрерывные), не ири любых значениях параметра Е, а лишь при некоторых избранных значениях. 320 Эти избранные значения называются собст вен им ми з н а ч е н и я м и параметра, а соответствующие им решения уравнения — собственными функциями задачи. Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, представляет весьма трудную математическую задачу.
Поэтому в дальнейшем мы будем ограничиваться обсуждением результатов, получающихся при решении уравнения Шредингера для различных случаев движения, почти не касаясь чисто математической стороны соответствующей задачи. Отметим, что волновые функции должны быть всегда «нормированы» таким образом, чтобы (67.1) Интегрирование производится по всей области изменения переменных х, у и г, Интеграл (67.1) представляет собой сумму вероятностей нахождения частицы во всех возможных элементах объема, т, е.
вероятность обнаружить частицу в каком-либо месте пространства. Эта вероятность есть вероятность достоверного события и, сл<- довательно, должна быть равна единице. й 68. Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Прохождение частиц через потенциальный барьер Частица в потенциальной яме. Чтобы пояснить сказанное в предыдушем параграфе, рассмотрим конкретный пример, достаточно простой дчя того, чтобы можно было решить уравнение Шредингера без большого труда.
Исследуем поведение частицы в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме. Предположим, что частица может двигаться только вдоль оси к. Пусть движение ограничено непроницаемымн для частицы стенками; х = О н х = 1. Потенциальная энергия У имеет в этом случае следую<цвй вид (рнс. 195,а): она равна нул<о при О (х ~1 и обращается в бесконечяость при х < О и х ) 1. Поскольку функция ар зависит толы<о от одной координаты х, уравнение (65.3) будет иметь вид: '„'", +ф(Я вЂ” и)ф= о, (68.1) 32! ! ! И.
В. Савельев, т. !<! За пределы потенциальной ямы частица попасть не может. Поэтому вероятность обнаружить частицу, а следовательно и функция ф, за пределами ямы равна нулю. Далее, из условия непрерывности следует, что тр должна быть равна нулю и на границах ямы, т. е. что ф(О) = О, ф(1) = О, (68.2) Выражения (68.2) и определяют те условия, которым должны удовлетворять решения уравнения (68.1), имеющие физический смысл. Ер Ег Ет Рис.
195, В области, где тр не равна тождественно нулю, уравнение (68.1) принимает следующий вид (У в этой области равна нулю): (68.3) Введя, обозначение 2тЕ/йа = ете, получим уравнение, хорошо известное из теории колебаний: 1» 1 сетф О Решения такого уравнения, как известно '), имеют вид: тр (х) = а з1п (отх + а), ') См. т. 1, формулу (б2.7). Здесь удобнее взять синус вместо косинуса. Зйв Условиям (68.2) можно удовлетворить соответствующим выбором постоянных а и и. Прежде всего, из условия ф(0) = 0 получаем: ф (0) = а зш а = О, откуда следует, что а должна быть равна нулю. Далее, должно выполняться условие: ф (1) = а з)п а1 = О, что возможно лишь в случае, если е1= ~ пп (п=1, 2, 3, ...) (68.4) (а = 0 отпадает, поскольку при этом получается !р =0— частица нигде ие находится).
Из (68.4) вытекает, что решения уравнения (68.3) будут иметь физический смысл не прн всех значениях энергии Е, а лишь при значениях, удовлетворяюших соотношению: аз = — д, Еа = з аз (и = 1, 2, 3, ...). 2т тР Таким образом, не прибегая ни к каким дополнительным предположениям (как это пришлось сделать Бору), мы получили квантование энергии частицы и нашли собственные значения этой энергии: Е„=, пэ (п= 1, 2, 3, ...), (68.5) Схема энергетических уровней изображена на рис. 195,б. Произведем оценку расстояний между соседними уровнями для различных значений массы частицы гп и ширины ямы 1. Разность энергий двух соседних уровней равна яЦ~ зЯ! бЕл Ел+! Ел э и (2п + 1) ~ц~з Если взять !и порядка массы молекулы ( 10-м г), а 1 порядка 1О см (молекулы газа в сосуде), получается 3,!4 ° !,05 ° !о -м ЬЕ„= '„„и = 10 и эра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
