physics_saveliev_3 (535941), страница 53
Текст из файла (страница 53)
!0-23.! 02 Столь густо расположенные энергетические уровни будут практически восприниматься как сплошной спектр. энергии, так что хотя квантование энергии в принципе !!ь ИЗ будет иметь место, но на характере движения молекул сказываться не будет. Аналогичный результат получается, если взять т порядка массы электрона ( - 10-" г) при тех же размерах ямы (свободные электроны в металле). В этом случае ХЕ„=!О и эрг= 10 и эв. Однако совсем иной результат получается для электрона, если область, в пределах которой он движется, будет порядка атомных размеров ( !Π— ' см). В этом случае 3 !4 !,05 !О -!о ЛЕ„= м и и=!О иэрг = 10-и эв.
!О м !О Очевидно, что в этом случае дискретность энергетических уровней будет проявляться весьма заметным образом. Собственными функциями, как следует из условия (68,4), будут ф„(х) = а з!и— ипх Для нахождения коэффициента а воспользуемся условием нормировки (67.1), которое в данном случае запишется следуюшим образом: ! а~ ~ з!пг — г(х == 1, На концах промежутка интегрирования подынтегральная функция обрашается в нуль.
Поэтому значение интеграла можно получить, умножив среднее значение з!п'(ипх!!) (равное, как известно, 112) на длину промежутка 1. В результате получится: а'(1/2)! = 1, откуда а = 'у'2Д, Таким образом, собственные функции имеют вид: ф,(х)=),7 — з!п ' (и=1, 2, 3, ...). (68.6) Графики функций (68.6) изображены на рис. 196,а. На рис. 196,б дана плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы, равная фзр'. Как следует из графиков, частица в состоянии, 324 например, с и = 2 не мохсет быть обнаружена в середине ямы и вместе с тем одинаково часто бывает как в левой, так и в правой половине ямы.
Такое поведение частицы, Р а/ Рис. !96. очевидно, ие совместимо с представлением о траекториях. Отметим, что согласно классическим представлениям все положения частицы в яме равновероятны. Прохождение через барьер, Пусть частица, движущаяся слева направо, падает на потенциальный барьер Д' У а 4 Рис !97.
высоты (7, и ширины ( (рис. !97, а), По классическим представлениям поведение частицы имеет следующий характер. Если энергия частицы больше высоты барьера (Е > Уэ), частица беспрепятственно проходит «над» барьером (па участке 0 (х ( ! лишь уменьшается 325 скорость частицы, но затем при х) 1 снова принимает первоначальное значение). Если же Е меньше (4 (как изображено на рисунке), то частица отражается от барьера и летит в обратную сторону; сквозь барьер частица проникнуть не может.
Совершенно иначе выглядит поведение частицы согласно квантовой механике. Во-первых, даже при Е > У» имеется отличная от нуля вероятность того, что частица отразится от барьера и полетит в обратную сторону. Во-вторых, при Е «, У«имеется отличная от нуля вероятность того; что частица проникнет «сквозь» барьер н окажется в области, где х > й Такое, совершенно невозможное с классической точки зрения, поведение микрочастицы вытекает непосредственно из уравнения Шредингера. Рассмотрим случай Е ( 0«.
В этом случае уравнение Шредингера имеет вид: «Ф~) 2м — + — Егр = О Их~ Ь~ для областей 1 и Н1 и -Д+ — „, (Š— 11«)$=0 для области П, причем Š— О» < О. Легко убедиться (хотя бы подстановкой), что общее решение уравнения Шредингера для каждой из трех областей имеет вид: ф=А,е"'+В,е-'«" для области 1, ~р, = А»еэ«+ В»е-"" для области П, (68.7) ф» — — Аэе""+В»е-'«" для области П1, причем я и р определяются из выражений: а'= —, 2еЕ 2т (Уц — Е) (68.8) Заметим, что решение вида е"* соответствует волне, распространяющейся в направлении оси х, а решение вида е-*'" — волне, распространяющейся в противоположном направлении.
Чтобы это понять, вспомним, что обычная (звуковая, электромагнитная и т. п.) плоская волна, распространяющаяся в направлении оси х, имеет вид соз(Ы вЂ” йл), а волна, распространяющаяся в на- 32З А, +В,= Аз+ Вз, А,ем+ Взе-ж= А,е"' (аАз — (аВз = ))Аз ягВзз РАзеж 8Взе-З' = ваАзе'". (68.9) Разделим все уравнения на А, и введем обозначения: В, . Аз Вз Аз Ь,= А, аз — — А, Ьз- — А, з= А 1 ! 1 ' ! а также В и=— а (68.10) Тогда уравнения (68.9) примут вид: 1+Ь, =а,+Ь„ азев'+ Ь,е М азе'", зЬ 3 гзаз пЬз па,еы- пй,е "'=!азе"'. (68.11) Отношение квадратов модулей амплитуд отраженной и падающей волны Л '~ =(ЬР ! В, )з (Аз Р правлении убывания х, — вид соз(ьз1+ йх) 1см. т.
1, формулы (78.2) и (78.5)). В $ 65 мы установили, что волновая функция свободной частицы, движущейся в направлении осн х, имеет внд (65.5). Если отбросить в этой формуле временнбй множитель, то для ф получится значение енгы>*. Для частицы, движущейся в противоположном направлении, нужно, очевидно, взять е-'(г~зм. В области О! имеется только волна;прошедшая через барьер и распространяющаяся слева направо. Поэтому коэффициент Вз следует положить равным нулю. Для нахождения остальных коэффициентов воспользуемся условиями, которым должна удовлетворять функция зр. ДЛя того чтобы ф была непрерывна во всей области изменений х от — оо до +со, должны выполняться условия» фз(0) = зрз(0) н зрз(1) = фз(1).
Для того чтобы ф была гладкой, т. е. не имела изломов, должны выполняться условия: зР',(0)=зРз'(О) и зР.',(1)=зР'(1). Из этих условий вытекают соотношения: Р = — ',. =! аз|э )Аз Р )А,Р з (68.12) определяет вероятность прохождения частицы через барьер и может быть названо к о э ф ф и ц и е н т о и п р охождения (или коэффициентом прозрачности). Нас будет интересовать только прохождение частиц через барьер, и мы ограничимся нахождением величины Р. Правда, найдя Р, легко найти !х, поскольку эти коэффициенты связаны очевидным соотношением: )с+ Р 1. Умножим первое из уравнений (68.11) на ! и сложим с третьим.
В результате получим: 2! (л+ !) а, — (л — 1) Ьз. (68.13) Теперь умножим второе из уравнений (68.1! ) на 1 и вычтем его из четвертого. Получим: (л — !) в"Яа, — (л + !) е-МЬз = О. (68.! 4) Решая совместно уравнения (68.13) и (68.!4), найдем, что 2з(и+Ое а, (е+!) е " — (и — !) еэ 1 Ьз 2з(е — !) е" (в+О е м — (л — О ем Наконец, подставив найденные нами значения аз и Ьз во второе из уравнений (68.!!), получим выражение для аз. 4л! (а+О е М вЂ” (л — О ем Величина обычно бывает много больше единицы. Поэтому в знаме- нателе выражения для аз слагаемым, содержащим мно- 328 определяет вероятность отражения частицы от потенциального барьера и может быть названо коэффициентом отражения. Отношение квадратов модулей прошедшей и падающей волны житель е-аь, можно пренебречь по сравнению со слагае- мым, содержащим множитель еа' (комплексные числа и+ ! и л — ! имеют одинаковый модуль).
Итак, можно положить 4п!е та! а,= — е а!. (и — 0' Согласно (68.12) квадрат модуля этой величины дает вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер. Учтя, что!и — !'(= ')Уп'+1, получим: Р=)аз!е =, е и", 16ле (л'+!)з где и,-Е (т. и = —.= — = — — 1 а' Е Е (68.!5) Как следует из полученного нами выражения, вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер сильно зависит от ширины барьера ! и от его превышения над Е, т. е. от ()е — Е.
Если при какой-то ширине барьера коэффициент прохождения Р равен, допустим, 0,01, то при увеличении ширины в два раза Р станет равным 0,01' = 0,0001, т.е. уменьшается и 100 раз. Тот же эффект в этом случае вызвало бы возрастание в четыре раза величины (уо — Е. Коэффициент прохождения резко уменьшается при увеличении массы частицы пь.
В случае потенциального барьера произвольной формы (см., например, рнс. 197, б) формула (68.15) должна быть заменена более общей формулой: ь — ~ 1 зм Ш-Е1 Лх ь Р-е й (68.16) где () = ()(х). ') фукцин 16х/(х + 1)' имеет при х = 1 максимум, равный 4. В интервале значений х от 0,07 до 14 значения функции лежат а пределах от 1 до 4. (см. формулу (68.8)). Выражение ! 6лз/(аз + 1) ' имеет величину порядки единицы' ). Поэтому можно считать, что Р е-еа! — е — т Зм !Ш-Е1 ! При преодолении потенциального барьера частица как бы проходит через «туннель» в этом барьере (см.
заштрихованную область на рис. 197, б), в связи с чем рассмотренное нами явление часто называют ту н н е л ьным эффектом, С классической точки зрения туннельный эффект представляется абсурдным, так как частица, «находящаяся в туннеле», должна была бы обладать отрицательной кинетической энергией (в туннеле Е ( У).
Однако туннель — явление специфически квантовое, не имеюшее аналога в классической физике. В квантовой же механике деление полной энергии на кинетическую и потенциальную не имеет смысла, так как противоречит принципу неопределенности. Действительно, тот факт, что частица обладает определенной кинетической энергией Т, был бы равнозначен тому, что частица имеет определенный импульс р. Аналогично тот факт, что частица имеет определенную потенциальную энергию (У, означал бы, что частица находится з точно заданном месте пространства. Поскольку координата и импульс частицы не могут одновременно иметь определенных значений, не могут быть одновременно точно определены Т и О.
Таким образом, хотя полная энергия частицы Е имеет вполне определенное значение, она не может быть представлена в виде суммы точно определенных энергий Т и У. Ясно, что при такой ситуации заключение об отрицательности Т в туннеле становится беспочвенным. 9 69. Атом водорода В атоме водорода или водородоподобном ионе потенциальная энергия электрона равна ке~ У= —— Э г где Ее — заряд ядра, г — расстояние между ядром и электроном. Уравнение Шредингера (65.3) имет в этом случае вид Лф + — ' (Е + — ) 9 = О (69.1) Поскольку поле является центрально-симметричным, удобно воспользоваться сферической системой координат: г, 6, ~р. Подставив в (69.!) выражение оператора 330 Лапласа в сферических кординатах, получим уравнение: Можно показать, что уравнение (69.2) имеет требуе- мые (т.
'е, однозначные, конечные и непрерывные) реше- ния в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях Е; 2) при дискретных отрицательных значе- ниях энергии, равных Саед х Е„= — — ',, —, (а=!, 2, 3, ...). (69.3) Случай Е ) 0 соответствует электрону, пролетавшему вблизи ядра и удаляющемуся вновь на бесконечность. Случай Е < О соответствует электрону, находяшемуся в пределах атома. Сравнение '(69.3) с (63.5) показывает, что квантовая механика приводит к таким же значениям энергии водородного атома, какие получались и в теории Бора. Однако в квантовой механике эти значения полу- ~ чаются логическим путем из основного предположения о том, что движение микрочастиц описывается уравнением Шредингера. Бору же для получения такого результата пришлось вводить специальные дополнительные предпо- ложения. Собственные функции уравнения (69.2) содержат три целочисленных параметра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
