physics_saveliev_3 (535941), страница 19
Текст из файла (страница 19)
60. Колебания, приходящие в точку Р от аналогичных точек двух соседних зон (т. е, от точек, лежащих у внешних краев зон, цли в середине зон и т. д.), будут находиться в противофазе. Поэтому и результирующие Рис. 6Ь колебания, создаваемые каждой из зон в целом, будут для соседних зон отличаться по фазе на и. Для оценки амплитуд колебаний нужно найти площади зон.
Внешняя граница т-й зоны выделяет на волновой поверхности сферический сегмент высоты Ь,и (рис. 61). Обозначим площадь этого сегмента 5 . Тогда пло|цадь и-й зоны можно представить в виде: Ь5 =5 — 5 где 5 1 — площадь сферического сегмента, выделяемого внешней границей (т — 1)-й зоны. Из рис. б1 следует, что Лы г' = аа — (а — Ь )' = ),Ь + т — ) — (Ь + Ь )з (а — радиус волновой поверхности, г — радиус внешней границы т-й зоны). Возведя скобки в квадрат, получим гх 2аЬ Ьа ЬтЛ+ т2 — — 2ЬЬ вЂ” Ь-'„, (22.2) 1Л)з откуда Ьтх+ т' ( 2) 2(а+Ь) (22.3) Ограничиваясь рассмотрением не слишком больших и, можно ввиду малости Л пренебречь слагаемым, содержащим Лз.
В этом приближении 2( +Ь) ' (22.4) Площадь сферического сегмента равна 5 = 2пФг (Р— радиус сферы, Ь вЂ” высота сегмента). Следовательно, 5 = 2паЬ = — тЛ яаь т л а)Ь а площадь т-й зоны Френеля а+ь Полученное нами выражение ие зависит от т. Это означает, что при не слишком больших т площади зон Френеля примерно одинаковы. Произведем оценку радиусов зон.
Согласно (22.2) г' =2аЬ вЂ” Ь'. При не слишком больших т высотасегмента Ь « а, поэтому можно считать, что г' =2аЬ . Подставив сюда значение (22.4) для Ь, найдем радиус внешней границы т-й зоны Френеля: 110 l аь — л, '" $г а+ь (22,5) Если положить а = Ь = 1 м и Х = 0,5 мк, то для радиуса первой (центральной) зоны получается значение: г, = 0,5 мм. Радиусы последующих зон возрастают как )Гт.
Выше мы нашли, что площади зон Френеля примерно одинаковы. Расстояние (> от зоны до точки Р медленно растет с т по линейному закону [см. (22.1)). Угол ~р ме>кду нормалью к элементам зоны и направлением на точку Р также растет с номером зоны т. Все это приводит к тому, что амплитуда А колебания, возбуждаемого т-й зоной в точке Р, монотонно убывает с ростом т [см. (21.1)), Даже прн очень больших т, когда, как можно заключить из (22.3), площадь зоны начинает заметно расти с т, убывание множителя К(ср) перевешивает рост Л5 (напомним, что К(ф стремится к нулю при ~р- я/2), так что А продолжает убывать.
Таким образом, амплитуды колебаний, возбуждаемых в точке Р, зонами Френеля, образуют монотонно убывающую последовательностгп А,>А,>А,» ... А ~>А >А „,> ... Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на и. Поэтому амплитуда А результирую. щего светового колебания в точке Р может быть найдена алгебраически: А=А, — Аз+Аз — Аз+ ... (22.6) В это выражение все амплитуды от нечетных зон входят с одним знаком, а от четных 'зон — с другим.
Запишем (22.6) в виде: 2 +( 2 ~э+ 2 )+[ — А4+ 2 )+... (22,7) Вследствие монотонного убывания А можно приближенно считать, что А„,, + А,„+, 2 При этом условии выражения, заключенные в круглые скобки, будут равны нулю и формула (22.7) упрощается следующим образом: (22.8) 111 Полученный нами результат означает, что амплитуда, создаваемая в некоторой точке Р сферической волновой поверхностью, равна половине амплитуды, создаваемой одной лишь центральной зоной. Иными словами, действие всей волновой поверхности эквивалентно половине действия центральной зоны. По произведенной выше оценке центральная зона имеет размеры порядка долей миллиметра.
Следовательно, свет от точки 5 к точке Р распространяется как бы в пределах очень узкого прямого канала, т. е, практически прямолинейно. Если на пути волны поставить непрозрачный экран с отверстием, оставляющим открытой только центральную зону Френеля, амплитуда в точке Р будет равна Аь т.
е. в два раза превзойдет амплитуду (22.8). Соответственно интенсивность света в точке Р будет в этом слу'чае в четыре раза больше, чем прн отсутствии преград между точками Я н Р. Теперь решим задачу о распространении света от источника 5 к точке Р методом графического сложения амплитуд. Разобьем волновую поверхность на равные по площади кольцевые зоны, аналоРнс Зз гичные зонам Френеля, но гораздо мень- шие по ширине.
Колебание, создаваемое в точке Р каждой такой зоной, можно изобразить в виде вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а угол, образуемый вектором с направлением, принятым за начало отсчета, дает начальную фазу колебания (см. т. Е 5 68). Колебание, создаваемое в Р любой из таких зон, имеет приблизительно такую же амплитуду, как н колебание, создаваемое предшествующей зоной, но будет отставать от него по фазе на практически одинаковую для всех соседних зон величину, Следовательно, векторная диаграмма, получающаяся при сложении колебаний, возбуждаемых отдельными зонами, имеет вид, показанный на рис. 82. Если бы величина амплитуды при переходе от зоны н зоне оставалась строго постоянной, конец последнего из изображенных на рис.
б2 векторов совпал бы с началом первого вектора. В действительности величина амплитуды, хотя и очень слабо, но убывает, вследствие чего векторы образуют не замкнутую фигуру, а ломаную спиралевидную линию. Если ширину кольцевых зон устре- 112 мить к нулю (количество их будет при этом неограниченно возрастать), векторная диаграмма примет вид спирали, закручивающейся к точке С (рис. 63). Фазы колебания в точках О и 1 отличаются на и (бесконечно малые векторы, образующие спираль, направлены в этих точках в противоположные стороны). Следовательно, участок спирали Π— 1 соответствует первой зоне Френеля.
Вектор, проведенный из точки О в точку 1 (рис. 64,а), изображает колебание, воз. ° С буждаемое в точке Р этой зоной. Аналогично, вектор, проведенный из точки 1 в точку 2 (рис. 64, б), изображает колебание, возбуждаемое второй зоной Френеля. В соответствии с тем, что колебания рис. вх от первой и второй зон находятся в противофазе, векторы 01 и 12 направлены в противоположные стороны.
Колебание, возбуждаемое в точке Р всей волновой поверхностью, изобразится вектором ОС (рис. 64,в). Из Рас. еь рис. 64 видно, что амплитуда в этом случае равна половине амплитуды, создаваемой в Р первой зоной. Этот результат мы получили ранее алгебранчески (см. формулу (22.8)). Заметим, что колебание, возбуждаемое внутренней половиной первой зоны Френеля, изобразится вектором ОВ (рис. 64,г). Таким образом, половина действия первой зоны Френеля не эквивалентна действию половины зоны. Вектор ОВ в ~Г2 раз больше вектора ОС. Поэтому, переходя к интенсивностям, можно сказать, что интенсивность света, создаваемая половиной ыз первой зоны Френеля, в два раза превышает интенсивность, создаваемую всей волновой поверхностью. Колебания от четных и нечетных зон Френеля находятся в противофазе и, следовательно, взаимно ослабляют друг друга.
Если поставить на пути световой волны пластинку, которая, перекрывала бы все четные или все нечетные зоны, то амплитуда колебания в точке Р резко возрастает. Такая пластинка называется зо ни ой. На рис. 65 изображена зонная пластинка, перекрывающая четные зоны. Зонная пластинка во много раз увеличивает интенсивность света в точке Р, действуя подобно собирательной линзе. Еше большего эффекта можно достигнуть, не перекрывая четные (илн нечетные) зоны, а изменяя фазу их колебаний на и. Это можно осуществить с помощью прозрачной пластинки, толщина которой в местах, соответствующих четным и нечетным зонам, отличается на надлежащим образом подобранную величину.
Такая пластинка называется фазовой зонной пластинкой. По сравнению с обычной (или амплитудной) зонной пластинкой фазовая дает дополнительное увеличение амплитуды в два раза, а интенсивности све- та — в четыре раза. В 23. Дифракция Френеля от простейших преград Рассмотренные в предыдущем параграфе методы ал~ебраического и графического сложения амплитуд позволяют решить простейшие задачи на дифракцию света.
Дифракция от круглого отверстия. Поставим на пути сферической световой волны непрозрачный экран с вырезанным в нем круглым отверстием радиуса гм Расположим экран так, чтобы перпендикуляр, опущенный из источника света Б, попал в центр отверстия (рис. 66, а). На продолжении этого перпендикуляра возьмем точку Р. При радиусе отверстия' гм значительно меньшем, чем указанные на рис. 66 длины а и Ь, а можно считать равной расстоянию от источника 5 до преграды, а Ь вЂ” расстоянию от преграды до точки Р. Если 1!4 расстояния а и Ь удовлетворяют условию (см.
(22.5)] гв = )/ — пй, (23.1) /Уггг222222 Ятаган Р 4 в~ а2 Ряс. 66. Разрешив (23.1) относительно п2, получим число откры. тых зон Френеля: 2 П2= — ( — + — ). =х(а ь/' (23.2) В соответствии с (22.6) амплитуда колебания в точке Р будет равна: Л=Л,— Л,+Лз — Л,+ ... -ьЛ . (23.3) В этом выражении амплитуда Л берется со знаком плюс, если л2 нечетное, и со знаком минус, если т четное. Формулу (23.3) можно записать следующим образом.
"+'Л ~ — '", ' — Л,+='1+ —,' — Л (т четное). (т нечетное), Как было установлено в предыдущем параграфе, вы- ражения, заключенные в круглые скобки, можно поло- жить равными нулю. Амплитуды от двух соседних зон 116 где т — целое число, то отверстие оставит открытыми ровно п2 первых зон Френеля, построенных для точки Р. мало отличаются по величине. Поэтому А ~!2 — А можно заменить через — А /2.
В результате получится: А = — ь— А~ А„, 2 2 (23.4) где опять-таки знак плюс берется для нечетных гп и минус — для четных. При малых т величина Л мало отличается от Аь Следовательно, при нечетных т амплитуда в точке Р будет приближенно равна Ль при четных гп — нулю. Этот результат легко получить с помощью векторной диаграммы, изображенной на рис. 63. Если убрать преграду, амплитуда в точке Р станет равной А,/2 [см. (22.8)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
