physics_saveliev_3 (535941), страница 22
Текст из файла (страница 22)
130 Условие (24.2) легко получить из следующих соображений. Если разность хода Л от краев щели равна +Ю, открытую часть волновой поверхности можно разбить на 2Й равных по ширине зон, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна ).!2 (см, рис, 83, вы. полненный для й = 2). Колебания, посылаемые в точку наблюдения Р соответственными участками двух со- Я 4 седних зон (например, помеченными крестиками участками зон 1 и 2), находятся в противофазе. Поэтому колебания от каждой пары соседних зон взаимно погашают друг друга и результирующая амплитуда в точ- Рнс зс. ке Р равна нулю.
При А = = -~- (й+'/,)Л число зон будет нечетным, действие од. ной из них окажется не компенсированным, так что будет наблюдаться максимум интенсивности. Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды. Следовательно, мп' ((л1А) ь мп ф] '=' Н.1х)вм ф] (24.3) где 1с — интенсивность света в середине дифракционной картины (против центра линзы), 1„— интенсивность в точке, положение которой определяется данным значением ф.
Из формулы (24.3) вытекает, что 1 ф =1ф. Это означает, что дифракционная картина симметрична относительно центра линзы. Заметим, что при смещении щели параллельно экрану (вдоль оси х на рис. 82) дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против центра линзы). Папротив, смещение линзы при неподвижной щели сопровождается таким же смешением картины на экране.
График функции (24.3) изображен на рис. 84. По оси абсцисс отложены значения з!пф, по оси ординат — интенсивность 1ч. Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели Ь и длины 5~ )3! Прн ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно спадает от середины картины к ее краям. ~я „3 ~7 з з опав У У л ь Рнс 84.
Значения угла ~р, отвечающие краям центрального максимума, удовлетворяют условию !см. (24.2)): Ь з)п ~р= = -~Л, откуда ~р алагез)п (Л/Ь). Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна л б~р = 2 агсзбп —. ь' (24.5) В случае, если Ь з Л, з(п (Л/Ь) можно положить равным Л/Ь. Тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается следующим образом: 2Х бр= —. ь ' (24.6) Решим задачу о дифракцин Фраунгофера от щели методом графического сложения амплитуд. Разобьем открытую часть волновой поверхности на одинаковые по ширине очень узкие зоны. Колебание ЛА от каждой такой зоны имеет одинаковую амплитуду н отстает от предыдущего колебании по фазе на одну н ту же вели- !32 волны Л.
Из условия (24.2) з(пу = -~ЙЛ/Ь. Модуль з(п~р не может превзойти единицу. Поэтому ЬЛ/Ь ~ (, откуда Ь~Л' (24.4) чину б, зависящую от угла чь определяющего направление на точку наблюдения Р. При у = 0 разность фаз Ь равна нулю и векторная диаграмма имеет вид, показанный на рис. 85,а. Амплитуда результирующего колебания Аэ равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.
Если разность фаз колебаний, соответствующих краям щели, равна и (т. е. Л = 4 лА = Ь з! п ~р = Х/2), векторы ЛА располагаются вдоль полуокружпостн (рис. 85, б) длиной Аз. Следовательно, для результирующей амплитуды глт получается значение: А = 4 ,' Л=п~ 4ь = 2Аз/гс В случае, когда Л = Ь з1п ~р = Х, колебания от краев щели отличаются по фазе на 2п.
Соответствующая векторная диа- грамма изображена на рис. 85, в. Векторы ЛА Ф~ располагаются вдоль а' окружности длиной Аз. Результирующая амплн- туда равна нулю — имеет место первый минимум. Первый максимум наблю- зу — А,= ~' дается при Л = Ь 31п ср = =- ЗЦ2. В этом случае колебания от краев щели отличаются по фазе на Зп. Строя последовательно векторы ЛА, мы обойдем полтора раза окружность диаметра А, = 2Ав/Зп (рис. 85, г). Таким образом, амплитуда А, первого максимума составляет 2/Зп от амплитуды Аэ нулевого максимума, а интенсивность /~ = (2/Зп)з/э = 0,045/м Аналогично можно найти и относительную интенсивность остальных максимумов.
В итоге получаются следующие соотношения: /,./,./, /з, ... =1. ( —,);~ —,„) .( —,„).... = = 1: 0,045: 0,016: 0,008: ... (24,7) 133 Таким образом, центральный максимум значительно превосходит по интенсивности остальные максимумы; в нем сосредоточивается основная Ь доля светового потока, прошедшего через щель. Если ширина щели Ь значительно меньше расстояния ( от щели до экрана (рис. 86), днфракция Фраунгофера будет иметь место и в отсутствие линзы между щелью и экраном (падающая на щель волна должна быть плоской). В этом случае лучи, идущие в точку Р ат краев щели, буРис.
86. дут практически параллельны- ми, так что все полученные нами выше результаты остаются справедливыми. В частности, будут справедливыми формулы (24.5) и (24.6) для ширины центрального максимума и соотношение (24.7) между интенсивностями. 5 25. Дифракционная решетка Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга ,о О Рис. 87. на одно и то же расстояние щелей (рис.
87). Расстояние с( между серединами соседних щелей называется постоянной или п е р и о до м решетки. Расположим параллельно решетке собирательную линзу, в фокальной плоскости которой поставим экран. 134 А = ~ ЛА;= л.', ЛАг+ ~~'„, АА;+ ... + ~~~ ЛАпее яо ьп щели по юп пщлп по ьэ щели по всем щелям = А1+ Ав+ ... + А и, где А,— вектор амплитуды колебания, создаваемого в точке Р 1-й щелью. Модули всех этих векторов одинаковы и зависят оп увла ~р (ам.
формулу (24.1)). Каждый следующий вектор повернут очносительно предыдущего на один и тот же угол, равный разности фаз б колебаний, возбуждаемых соседними щелями. Для направлений, удовлетворяющих условию: Ьз(пер= л- И (1=1, 2, 3, ...), (25.1) все А; равны нулю [см, формулу (24.2)). Поэтому и амплитуда результирующего колебания в соответствующей почке экрана будет равна нулю. Таким образом, условие (25.1) минимума для одной щели является также условием минимума для решетки. 1зо Выясним характер днфракционной картины, получающейся на экране при падении на решетку плоской световой волны (для простоты будем считать волновые поверхности параллельными плоскости решетки). Каждая из щелей даст на экране картину, описываемую графиком, изображенным на рис. 84.
Картины от всех щелей придутся на одно и то же место экрана (независимо от пологкення щели, центральный максимум лежит против центра линзы). Если бьг колебания, приходящие в точку Р от различных щелей, были некогерентными, резуль. тирующая картина от Ж щелей отличалась бы от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возросли бы в М раз. Однако колебания от различных щелей являются когерентными; поэтому для нахождения результирующей интенсивности нужно найти фазовые соотношения между этими колебаниями.
Разобьем открываемую щелями часть волновой поверхности на очень узкие параллельные щелям зоны. Вектор амплитуды колебания, создаваемого в точке Р, экрана 1-й зоной', обозгтачим ЬАь Тогда вектор амплитуды результирующего колебания можно представить следующим образом: Из рис. 87 видно, что разность хода лучей от соседних щелей равна й = да)п~у. Следовательно, разность фаз б = 2п — = — д з(п <р, з вп Л Л где Л вЂ” длина волны в данной среде.
Для тех направлений, для которых б = .~2пгп, т. е. дз(п~р= ч- тЛ (т=О, 1, 2, ...), (25.2) колебания от отдельных щелей взаимно усиливают друг друга, вследствие чего амплитуда колебаний в соответствующей точке экрана равна А,„МА, (25.3) где Ач — амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом <р. Формула (25.2) определяет положения максимумов интенсивности, называемых гл а в ными. Число т дает так называемый порядок главного максимума.
Максимум нулевого порядка только один, максимумов первого, второго и т. д. порядков бывает по два. Возведя (25.3) в квадрат, получим, что интенсивность главных максимумов У,„,х пропорциональна интенсивности 7ч, создаваемой в направлении ч~ одной щелью: 7,„= Мз7 . (25.4) Кроме минимумов, определяемых условием (25.1), в промежутках между соседними главными максимумами имеется по (М вЂ” 1)-му дпбавочнору минимуму. Эти минимумы возникают в тех напрайлениях, для которых колебания от отдельных щелей взаимно погашают друг друга.
Направления добавочных минимумов определяются условием: Из)п~р= -~- — Р й' и (25.5) (й'= 1, 2,..., М вЂ” 1, М+1, ..., 2М вЂ” 1, 2М+1,...) (й' принимает все целочисленные значения, кроме О, М, 2М, ..., т. е. кроме тех, при которых условие (25.5) переходит в (25.2)). Докажем справедливость этого условия на примерах М = 5 (М нечетное) и М = б (М четное). Если М = 5, !36 определяемая (25.5) разность фаз для соседних щелей равна б = 8 А' (й' = 1, 2, 3, 4, 6, 7, ,). На рис. 88 показано взаимное расположение векторов амплитуды колебаний от всех пяти щелей, получающееся при различных гг' (начала векторов совмещены Аг А, Аг А, Аг Аг Л '=Руэгг;...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
