physics_saveliev_2 (535939), страница 61
Текст из файла (страница 61)
При указанных на рис. 229, а знаках зарядов и направлении тока ~' вектор )пр направлен слева направо, Вектор 0 также направлен слева направо и растет по величине. Следовательно, приращение вектора О, а значит и вектор Р, имеет то же направление, что и )пр, При направлении тока, укаэанном на рнс. 229, б, вектор 0 убывает по величияе, Следовательно, вектор 1р на.
правлен справа налево, т. е. опять так же, как и вектор 1,р. На этом основании выражение (105.1) можно напйсать в векторном виде (105.2) Зсм = 1-л Форм)глу (105.2), определяющую плотность тока смещения, Максвелл распространил на электрические поля любого вида '), в том числе и на вихревые поля. Из всех физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно — способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле. Согласно Максвеллу при расчетах магнитных полей в формулы нужно подставлять полную плотность тока, слагающуюся из плотности тока проводимости и плотности тока смещения; )палл =1пр +лРсм =лапа + ть (105.3) В частности, циркуляция вектора Н по любому контуру (см. формулу (44.7)) должна быть равна Н, д1 = ~ ()„„„)„с(Я = ~ ()ар+ 0)„с(Я.
(105.4) Уравнение (105.4) представляет собой второе основное уравнение теории Максвелла, Согласно формуле (105.2) ток смешения имеется везде, где есть изменяющееся электрическое поле. Следовательно, он существует и внутри проводника, по которому течет переменный электрический ток, Однако внутри проводов 1с„обычно бывает пренебрежимо мал по сравнению с /пр. д0 ') Под 0 в этом случае следует понимать —, поскольку 0 дс! может зависеть ие только от времени, но и от иоординат. 379 В гауссовоа системе выражение, определяющее ток смешения, имеет внд )см 1 (1 з5.5) лк $106. Электромагнитное поле Согласно идеям Максвелла переменное магнитное поле всегда связано с порождаемым им электрическим полем, в свою очередь переменное электрическое поле всегда связано с порождаемым им магнитным.
Таким образом, электрическое и магнитное поля оказываются неразрывно связанными друг с другом — они образуют единое электромагнитное поле. Анализ результатов фундаментального опыта Майкельсоиа ') и других опытных фактов привел Эйнштейна к заключению, что принцнпотиосительности,установленный Галилеем для механических явлений (см.
т, 1, $17), должен быть распространен н на все другие физические явления. Согласно принципу относител ьности, сформулированному Эйнштейном, законы всех физических явлений, в том числе и электромагнитных, имеют одинаковый вид (т. е, описываются одинаковыми уравнениями) во всех инерциальных системах отсчета. Из принципа относительности вытекает, что раздельное рассмотрение электрического и магнитного полей имеет лишь относительный смысл. Действительно, электростатическое поле создается системой неподвижных зарядов. Однако, если заряды неподвижны относительно некоторой инерциальной системы отсчета, то относительно других инерциальных систем эти заряды движутся и, следовательно, будут порождать пе только электрическое, но и магнитное поле (движущийся заряд эквивалеитет).
току). Неподвижный провод с постоянным током создает в каждой точке пространства постоянное магнитное поле. Однако относительно других инерциальных систем этот провод находится в движении. Поэтому создаваемое им магнитное поле в любой точке с данными координатами х, у, г будет меняться и, следовательно, порождать вихревое электрическое поле. Таким образом, поле, которое относительно некоторой системы ') Этот опыт будет наложен в Оптике. отсчета оказывается «чисто» электрическим или «чисто» магнитным, относительно других систем отсчета будет представлять собой совокупность электрического и маг- йитного полей, ф 107.
Описание свойств векторных полей Поток вектора через некоторую поверхность и циркуляция вектора по заданному контуру позволяют судить о характере векторного поля. Однако эти величины дают среднюю характеристику поля в пределах объема, охватываемого поверхностью, через котору)о определяется поток, или в окрестности контура, по которому берется циркуляция. Уменьшая размеры поверхности или контура (стягивая их в точку), можно прийти к величинам, которые будут характеризовать векторное поле в данной точке. Для того чтобы вве- « ть сти эти величины, нам придется более глубоко вникнуть в смысл понятий потока н циркуляции. ъь Пусть нам дано полевектораскорости несжимаемой неразрывной жидкости.
Поток вектора скорости через некоторую поверхность дает, как мы знаем, объем жидкости, протекающей через эту поверхность в единицу времени. Возьмем в окрестности точки Р воображаемую замкнутую поверхность 5 (рис. 230). Если в объеме У, ограниченном поверхностью, жидкость не возникает н не исчезает, то поток, вытекающий наружу через поверхность, будет, очевидно, равен нулю. Отличие потока от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются источники или стоки жидкости, т, е.
точки, в которых жидкость поступает в объем (источннки), либо удаляется нз объема (стоки). Величина йотока определяет суммарную алгебраическую мощность источников и стоков '). При преобладании источников над стоками величина потока будет положительной, при преобладании сто. ков — отрицательной. ') Под мощностью источника (стока) понимается объем жидкости, выделяемый (поглощаемый) в единицу времени. Сток можно рассматривать как источник с отрицательной мощностью. Частное от деления потока Ф „хя на величину объ. ема, из которого поток вытекает, т.
е. (107. 1) назовем средней удельной мощностью источников, заключенных в объеме $'. Чем меньше объем т', включающий в себя точку Р, тем ближе это среднее к истинной удельной мощности в этой точке, В пределе при стремлении $' к нулю, т. е. при стягивании объема г' к точке Р, выражение (107,1) даст истинную удельную мощность источников в точке Р, которую называют д н в е ргенцией (или расхождением) вектора т (обозначается б!т т). Итак, по определению Фжилк б!ч т = 1пп —. Аналогично определяется дивергенция любого вектора А: А б!ч А = !!ш — '= !пп — ~ А„~(5.
(107.2) ,,г р,.„р 3' Интеграл берется по произвольной замкнутой поверхности 3, ограничивающей объем К Поскольку совершается переход Г- Р, при котором 5 стремится к нулю, от формы поверхности выражение (!07.2) зависеть не может. Легко сообразить, что дивергенция определяется поведением векторной функции А(Р) в окрестности данной точки, т. е. тем, каков характер изменения вектора А (или его компонент А„, А„, А,) при переходе от одной точки пространства к другой. Из определения (107.2) следует, что дивергенция есть скалярная функция координат, определяющих положения точек в пространстве (кратко — функция точки).
Определение (107.2) является самым общим, не зависящим от выбора координатной системы. Найдем выражение для дивергенция в декартовой системе координат. Рассмотрим в окрестности точки Р(х,у,г) малый объем в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными координатным осям (рис. 231) [напомним, что форма поверхности, по которой берется интеграл в выражении (107.2), может быть произволь- 382 ной). Ввиду малости объема [согласно (107.2) мы будем его стремить к нулю] значения А„,А„,А,в пределах каждой из шести граней параллелепипеда можно считать неизменными. Поток через всю замкнутую поверхность образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности.
Найдем поток через пару граней, перпендикулярных к оси х (на рис. 231 эти грани заштрихованы косой штриховкой и помечены цифрами 1 и 2). Внеш- ду и няя нормаль пз к грани2 и, совпадает с направлением оси х. Следовательно, А„з = А,т и поток через грань 2 равен 2 А,тЛуЛг (индекс 2 ука- лг зывает на то, что значеи г ние А„берется в том ме- д сте, где расположена грань 2).
Нормаль и, к грани 1 имеет направление, противоположное Рис. 23!. оси х. Поэтому проекции вектора иа ось х и на и, имеют противоположные знаки. Таким образом, А„! = — А„ь а поток через грань 1 равен — А„,ЛуЛг (индекс 1 указывает на то, что значение А„берется в том месте, где расположена грань 1). Суммарный поток через грани 1 и 2 определяется выражением (А„.з — А„,) Лу Лг. (107.3) Разность А,з — А„! представляет собой приращение А„при сл!ещеиии вдоль осн х на Лх. Ввиду малости Лх дА„ это приращение можно представить в виде —" Лх.
Тог- дх да (107.3) переходит в — ' Лх Лу Лг = —" Л1~. длк дЛ„ дк дх Путем аналогичных рассуждений можно получить для потоков через пары граней, перпендикулярных к осям у и г, выражения дла дл, — Л'т' и — ЛУ. дд де Следовательно, полный поток через всю замкнутую поверхность определяется выражением (дАх длд дАх ~ Е„= ~ — "+ — "+ — ') АР.
л 1 дх ду дх / Разделив это выражение на ЛУ, найдем дивергенцию вектора А в точке Р(х, у, г): дАх дАи дАх б(ч А = — '+ — "+ — * дх ди дх (107. 4) поток = 61ч А М~, Если просуммировать это выражение по всем объемчикам, справа поРис. 232. лучится ) 0(чАЫГ, взятый по всему объему, ограниченному поверхностью 5, а слева, как легко убедиться, получится поток вектора А через поверхность 5. В самом деле, при суммировании каждый из потоков, текущнх через грани, разделяющие два соседних объемчика, войдет дважды с противоположными знаками (значения А„для соседних 'объемчиков одинаковы по абсолютной величине, но отличаются знаком). Поэтому потоки через внутренние перегородки взаимно уничтожаются, некомпенсированными останутся только потоки через внешние грани объемчиков, которые в сумме дадут поток через 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
