physics_saveliev_2 (535939), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Относительное уменьшение энергии за период равно хг(!) — !г(!+г) ! — а и' ж М7 !!7 (О 1 При незначительном затухании (т. е. при условии, что Л « 1) е-" можно приближенно заменить через 1 — 2Л: — — = 1 — (1 — 2Л) = 2Л. зчг чг Заменив в этом выражении Л через добротность контура Я в соответствии с формулой (100.8) и решив полученное уравнение относительно Я, получим Ф' Я =2ив Ьвг ' 363 Итак, при слабом затухании добротность контура оказывается пропорциональной отношению энергии, за- пасенной в контуре, к убыли этой энергии за один пе- риод колебания, дт В заключение отметим, что прн р'- шазм т. е. 4, э 1 ~ —, вместо колебаний происходит апериоднческий разряд конденсатора.
Сопротивление контура, прн кото- ром колебательный процесс переходит в апериодический, называется к р и т и ч е с к и м. Значение критическом' 1 го сопротивления 1с, определяется условием 41.т СС ' откуда (100,11) $101. Вынужденные электрические колебания Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную э. д. с.
или, разорвав контур, подать на образовавшиеся контакты переменное напряжение У. Последний случай рассмотрен подробно в предыдущей главе') 1см. рис. 204,а). Однако для того, чтобы провести до конца аналогию между злектрическими и механическими колебаниями, мы рассмотрим вынужденные электрические колебания еще раз, придав уравнениям несколько иной вид.
Приравняем сумму падений напряжения на элементах контура приложенному напряжению ин . 1 ~ — +Ю+ ~ д=11„созю1. Ф Перейдя от тока 1 к заряду д и использовав обозначения (99.2) и 1100.2), получим уравнение Ч+ 20д+ а д соз ю1 ') В случае з. и.с. уравнения остаются такими же, нужно лишь функцию У 1У„, соз ю1 заменить функцией д' д',„соз юй которое совпадает с дифференциальным уравнением вынужденных механических колебаний (см.
т. 1, формулу (75.2)). Частное решение этого уравнения имеет вид д = г),„соз (ог! — ф), (10! . 1) где ® г1т = '" у'(, о о)о + обо г ' 1а Ф=,'"", ого [см. т. 1, формулы (75.7) и (75.8)). Подстановка в эти выражения значений (99.2) н (100.2) для ого и р дает и г)л~ = -~"'~" - —.'О)' !Игр = (1О!.3) —. — огс Общее решение получится, если к частному решению (10!.1) прибавить общее решение соответствующего однородного уравнения. Это решение было получено в предыдущем параграфе (см. формулу (!00.4)), оно содержит экспоненциальиый множитель е-аг, поэтому по прошествии с начала колебаний достаточного времени становится очень малым и им можно пренебречь.
Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (101.1). Заметим, что в предыдушей главе рассматривались лишь установившиеся токи и напряжения. Разделив заряд г) на емкость С, получим напряжение на конденсаторе сгс= с соз(ог! — чг) = сгст сов(огг — т), где У с (101.4) с~/ д +(ы- — ') Продифференцировав функцию (101.!) по 1, найдем установившийся ток в контуре ~ = — ад„, юп (а! — ф) — У,„соз (а! — ф + — ). (101.5) Амплитуда тока имеет значение совпадающее с выражением (95.2). Введя в (101.5) обозначение ~р = ф — и/2, мы придем к выражению для ~', совпадающему с формулой (95.3). В соответствии с (10!.3) лс ( и) 1 2) !я~~ !д р = !й(ф- — ") = — — = ! еЬ вЂ”вЂ” ~с Таким образом, мы снова пришли к формуле (95.1).
Резонансная частота для заряда д н напряженна на 77 конденсаторе (7с равна [схь т, 1, формулу (75.11)) ю в =а =)7оР— 2(У = д и ) о Г ! г' Рис. 2!9. = ~/ — — — ( а . (101.7) К 2Е~ О' Резонансные кривые для Ус изображены на рнс. 219 (резонансные кривые для д имеют точно такой вид). Они сходны с резонансными кривыми, получающимися для механических колебаний (см, т. 1, рнс.
189). При ы- 0 резонансные кривые стремятся к Ус,„= У напряжению, возникающему на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения величины (7 . Максимум при резонансе получается тем выше и острее, чем меньше (1 = РД(., т. е. чем меньше активное сопротивление и больше индуктивность контура. Резонансные кривые для силы тока изображены на рнс.
220. Они соответствуют резонансным кривым для скорости при механических колебаниях. Амплитуда силы тока (101.6) имеет максимальное значение при сэ(. — 1/срС = О. Следовательно, резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой контура сир.
Отрезок, отсекаемый резонансными кривыми на оси /т, равен нулю — прн постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь ие может. / т ~трез У М тетз 1ли4 Рис, 22!. Рис. 220. При малом затухании фз « сари) резонансную частоту (!01.7) для напряжения можно положить равной сэр. ! 1 срсз = сэр= =е сриь— Ь~ес ~ С Согласно формуле (101.4) отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе Острее к амплитуде внешнего напряжения У будет в этом случае равно гтс трез ! у,с сри где (;! — добротность контура [см. формулу (100.9)).
Добротность контура характеризует также остроту резонансных кривых. Чтобы убедиться в этом, вычислим так называемую ширину резонансной кривой для силы тока по половине мощности. Под этой величиной подразумевают разность частот Лоо, для которых у,о составляет 0,5 от резонансного значения (7 = 0,71 рис, 221). Согласно формуле (101.6) квадрат амплитуды силы тока равен г г !1т 1 1 г' 11'+~ Ь вЂ” — ) г1г При резонансе 7 равно 7' „— ~ Квадрат амплиг г туды 7„составит 0,5 7 „„прн частотах, удовлетворяющих условию (оо1, — — ) = яг. Раскрыв скобки, придем после несложных преобразований к следующему уравнению: оо4 о)' г С оог ,с В соответствии с формулой (100.9) йг с = О,, 1 — = гоог.
ПоэтомУ можно написать 2С= о оо' г 1 т оо' — — (2+ — ~ — + 1 =0. Решим это уравнение относительно гог/гоо! ог 1+ ч- 1+ 1 го~~ 20г 1 20г Г + г г' + 20 Я 40г При больших добротностях величинами, содержащими 9г в знаменателе, можно пренебречь по сравнению с 1, Тогда получится оог ! г 1 1г — =1ч- — ж 1+— гоо 0 20 откуда оо 1 — =1~ —. в 2Е' Таким образом, искомые значения частоты равны "="(1-.0.) " "="(1+4) Взяв разность ьэ — вь найдем ширину кривой Ье.
Ьм Относительная ширина кривой — оказывается обратна ной добротности контура О: йю 1 0>а Напомним, что эта формула верна лишь при больших О, т. е. в случае, когда затухание свободных колебаний в контуре мало. Мы рассмотрели вынужденные колебания, возникающие при включении внешнего напряжения последовательно с элементами колебательного контура (см. рис. 204, а). Очевидно, что вынужденные колебания можно также осуществить, подключив источник напряжения параллельно колебательному контуру (см. рис.
215). Резонансная частота в этом случае определяется формулой (98.4). Явление резонанса используется для выделения из сложного напряжения нужной составляющей. Пусть напряжение, приложенное к контуру, равно У = У„ц сов(е,1+а,)+ У„,~сов(в~1+а,)+ ... Настроив контур на одну нз частот аь еэ и т. д. (т.
е. подобрав соответствующим образом его парамет. ры С и Ь), можно получить на конденсаторе напряжение, в О раз превышающее величину данной составляющей, в то время как напряжение, создаваемое на конденсаторе другими составляющими, будет слабым. Такой процесс осуществляется, например, при настройке радиоприемника на нужную длину волны. $102.
Получение незатухающих колебаний Для возбуждения незатухающих электрических колебаний применяются автоколебательные системы с электронными лампами, называемые ламповыми генераторами. Одна нз простейших схем такого генератора приведена на рнс. 222. Колебательный контур, в котором возбуждаются колебания, включен между катодом н з~ и.
В. сявельев, т. и сеткой триода. В анодную цепь включена катушка Ео, индуктивно связанная с катушкой й контура. Батарея Б, служит для того, чтобы сместить рабочую точку лампы на середину прямолинейного участка характерн. стики (рис. 223). При возникновении колебаний в коп- Рис. 222. Рис. 223. туре напряжение на сетке О, слагается из напряжения батареи Б„ равного Уо, и напряжения на конденсаторе и, = д)с и,=и,+ '1.
(!02.1) На рис, 224 график этого напряжения сопоставлен с графиками для заряда д и силы тока 1 = д в контуре. Если колебания невелики, напряжение У, будет оставаться в пределах прямолинейного участка характеристики. В этом случае между анодным током 1, и сеточным напряжением О, имеет место линейная зависимость: оа = оо + сг ~с1 где 3 — крутизна характеристики на прямолинейномучастке, т.
е. величина постоянная (см, формулу (75.2)). Подставив сюда выражение (102.1) для О„получим 1,=(о+~(~о+~ ~о =)ом. + ~~ Ч. (1022) Таким образом, при синусондальных изменениях заряда д в катушке 1.о кроме постоянной составляющей зго тока (р„, будет течь переменная составляющая )„,р— - —, и, Я изменения которой совершаются в такт с изменениями д (рис. 224,г).
Эта составляющая будет наводить в катушке Б переменную э. д. с. взаимной индукции б'= — Бм — „, =— Жд Л„5 ((02.3) е! зр 24* где Бм — взаимная индуктивность катушек Ь и Ь,. Если переключить концы катушки Б„(что равносильно повороту ее на !80'), направление Ю; изменится на противоположное. На рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
