physics_saveliev_2 (535939), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Таким образом, при соз ф = 0 ни при какой силе тока невозможно получить в цепи среднюю мощность, отличную от нуля, В технике стремятся сделать созф как можно больше. При малом соз ф для выделения в цепи необходимой мощности нужно пропускать ток большей силы. При этом возрастают потери в подводящих проводах и приходится увеличивать нх сечение. А= р'нее+ К ь 1аа = —. л При сложении комплексных чисел складываются отдельно их вещественные и мнимые части: А = ~ А„- ~аз+1~ йа.
Легко видеть, что А соответствует сумме векторов, изображаемых комплексными числами 'А» (рис. 209). Рис. 210. Рис. 209, Из правила перемножения двух комплексных чисел Ае1' Ве1" = АВе~'~а' вытекает, что умножение комплексной величины А = Ануе, изображающей вектор А (рис. 2! 0), на ') В отличие от принятого в математике обозначения й в алек.
тротехнике )à — 1 обозначают буквой й Использование,этого обобначения, а также обозначение углов и фаз буквой Чг не сможет вызвать недоразумений, так как в главах ХЧ н ХЧ1 мы не бу дем прибегать к понятиям плотности тока и потенциала. В электротехнике для обозначения комплексных величин вместо «крышечки» (например, У) применяется точка (Ц, 1Ыы не можем 'воспользоваться таким обозначением, поскольку точка над символом величины в физике всегда означает производную по времени.
ного числа (совпадающий с углом осью х), 1 — мнимая единица '). Между величинами а, 6,А и а соотношения: между вектором и имеются следующие (97.2) комплексное число езч равнозначно повороту вектора А на угол ~р против часовой стрелки. Если у = †, то 2 ' е1т = соз — +1з(п — =/. Таким образом, умножение на 1 2 2 равнозначно повороту вектора на угол и/2 против ча совой стрелки. Аналогично умножение на 1Ц = — 1 равнозначно повороту вектора на угол и/2 по часовой стрелке.
Чтобы продемонстрировать преимущества символического метода, произведем с его помощью вычисление падений напряжения на индуктивности и емкости. Формула (93.2) запишется в символическом виде следующим образом: щ с'с=г щ' Если через индуктивность течет ток 1= г екм и 3 то бг = (.— (1 едм) =. 1ъГ.( епм 1аУл'. (9?.4) Таким образом, для того чтобы получить вектор напряжения Уь, нужно вектор силы тока умножить на аЬ и повернуть против часовой стрелки на угол и/2, Это согласуется с рис.
200, б. Согласно (94.1) Ус = 91С. Заряд на конденсаторе можно записать в виде д= ~ (сИ. Подставив это выражение в формулу для Ус и пе~ рейдя к символической записи, получим 1 Г- ис= — 1 а. с,) Если в цепи течет ток (97.3), (1с Е ~("е~~й1 ' ~ ~"е~ ~ ! ~ ' (9У'б) (постоянная составляющая напряжения предполагается отсутствующей; поэтому постоянная интегрирования при» Таким образом, комплексное сопротивление 2 последовательной цепи равно сумме комплексных сопротивлений отдельных ее участков: 2= Х2». (97.11) При параллельном соединении элементов цепи, каждый из которых характеризуется комплексным сопротивлением 2» (рнс. 212), полный ток равен О ! Е где (/ — приложенное напряжение, Я вЂ” комплексное сопротивление цепи.
Вместе с тем ток ! должен быть 4 4 1 « 1 « — г««« — »«у ««« Рис. 211. Рис. 2!2. равен сумме токов !и текущих по отдельным элементам цепи и определяемых выражением !» б/2», Ц Й» Приравняв оба выражения для 1, получим формулу для вычисления комплексного сопротивления параллельной цепи ! ~!1!~1 1 Г 2» (97,12) тивленнями Х» (рис, 211). Согласно (97.10) падениенв» нряжения на каждом из участков равно и„= !2», Сумма всех У» должна быть равна напряжению О, приложенному к цепи: у= ~',Ы»=! ч".2»=Ы. 5 98.
Резонанс токов Рассмотрим цепь, образованную включенными параллельно индуктивностью и емкостью (рнс. 213), Предпологким, что активное сопротивление обеих ветвей настолько мало, что им люжно пренебречь. В этом случае согласно формулам (97.4) и (97.5) !, = /ыС(/; у . 0 !х= —. = — /— -' —;„ь вь ~ (98.1) ((/с = (/~ = (/). Рас. 2!3.
Из выражений (98.!) следует, что токи 1! и 1! нанодятся в противофазе (ток в индуктнвности отстает от У на и/2, ток в емкости опережает У на и/2). Ток в подводящих проводах !травен сумме токов ц! и !з! ! ! = !', + с, = / ( эС вЂ” — ! (/. При условии, что ! аС вЂ” — =О аь (98.2) ток ! в подводящих проводах будет отсутствовать, хотя токи !! н !! в отдельных цепях могут быть очень велики. Это явление называется резонансом токов. Для резонансной частоты из условия (98.2) получается такое же значение, как и при резонансе напряжений (см, формулу (95.7)]. 23 и. в, савельев т, и Правила Кирхгофа в комплексной форме записываются следующим образом: ~/ь=О, (97. 13) ~2,!, = ~ч",8„! где Юд = Е„деу(е! "ах)есть А-я э.
д. с., действующая в данном контуре. Все полученные в настоящем параграфе формулы остаются справедливыми, если вместо амплитудных взять действующие значения токов, напряжений и э. д. с. При резонансе токи 6 и /з одинаковы по амплитуде и, как уже отмечалось, противоположны по фазе, Следовательно, в контуре, образованном индуктивностью и емкостью, циркулирует ток, непрерывно перезаряжая обкладки конденсатора. Соотношение между токами 7~ и (з можно изобразить наглядно с помощью векторной диаграммы. На диаграмме напряжений (см. рис. 204, б) векторы 0 откладывались относительно оси токов. При построении диаграммы токов векторы ~ нужно откладывать отно. сительно оси напряжений.
Выберем в качестве этой оси и Б Рис. 215. Рис. 2ЬК ось х (рис. 214). Ток в индуктивности отстает от напряжения на тт/2 и потому изображается вектором, повернутым относительно оси напряжений по часовой стрелке на угол и/2, Ток в емкости опережает напряжение на и/2, соответственно он повернут относительно оси напряжений против часовой стрелки на угол л/2. При резонансе длины векторов обоих токов одинаковы, результирующий ток равен нулю. Практически индуктивность (например, катушка) всегда обладает некоторым активным сопротивлением тс') (на рис.
215 это сопротивление и сама индуктивность изображены раздельно). Следовательно, отстава. иие тока от напряжения будет меньше и/2 — оио определяется формулой аб (п ~р = — . ') Это относится также и к конденсатору; однако активное сопротивление в цепи конденсатора может быть сделано значительно меньше, чем в цепи индуктианости.
В этом случае векторы 1! и 12 ие коллинеарны и сумма их не может быть равной нулю (рис. 21б,а). Комп лексные сопротивления обеих ветвей равны (см, рис. 216) 1 Я!= —. Уз=Я+1'вЬ, !аС ' Сопротивление всей цепи будем вычислять по формуле (97.12) 1 . С 1 (1 — Н~ЕС) + )ОЭСР 2 л+ )ес я+ 1ас откуда (! — аЧ.С) +)вС)! ' Умножив числитель и знаменатель на величину, комплексно сопряженную знаменателю, получим Л+1 (еС(1 — 'СС) — всй') (1 — еЧ.С)'+ (вСк)' Модуль Я даст полное сопротивление параллельной цепи, а отношение реактивной и активной составляющих 2 — тангенс угла !р, определяющего сдвиг фаз меж. ду напряжением н током.
А'ь нппрлнгнай Рис 2!6. Можно показать, что максимум полного сопротивления Л (т. е. резонанс токов) достигается при условии, что реактивная составляющая л обращается в нуль и, 23* 355 еледрвательно, полное сопротивление становится чисто активным (рис. 216, б). Резонансную частоту можно найти, приравняв нулю мнимую часть выражения (98.3) в1. (1 — аЧ.С) — аСйз О. Отсюда / ~ у Ю У сс т2 (98.4) При )с = О эта формула переходит в (95.7).
Итак, резонанс токов характерен тем, что полное сопротивление цепи оказывается чисто активным и имеет наибольшую, возможную при данных параметрах цепи величину (в случае резонанса напряжений Я рмеет наименьшую величину). При этом токи й и 1з значительно превышают текущий через источник ток й Развиваемая источником мощность выделяется в а»- тинном сопротивлении цепи Й. Для тока частоты (98.4) контур с малым К имеет очень большое сопротивление, тем большее, чем меньше и (при 1(- О сопротивление контура 2 стремится к бесконечности) . ГЛАВА ХЧ! ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ 9 99. Свободные колебания в контуре без активного сопротивления Электрические колебания могут возникать в цепи, содержащей индуктивность и емкость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
