physics_saveliev_2 (535939), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Такая цепь называется колебательным контуром. На рис. 2! 7, а изображены .последовательные стадии колебательного процесса в идеализированном контуре с активным сопротивлением, равным нулю. йиааии / Я а/ / /с -/4/ / -'/Ф/ — -а' ! / 7/ и/ — — а/ / / / а / и/и/ и// а,ш/ 7 ни/ / Рас 217. Для того чтобы вызвать колебания, можно присоединить отключенный от индуктивности конденсатор к источнику тока, вследствие чего на обкладках возникнут разноименные заряды величины д (стадия !).
Между обкладками возникнет электрическое поле, энергия которого равна †, — д' [см. формулу (29.1)1 т 357 Если затем отключить источник тока и замкнуть конденсатор на индуктивность, емкость начнет разряжаться н в контуре потечет ток. В результате энергия электрического поля будет уменьшаться, но зато возникнет все возрастающая энергия магнитного поля, обусловленного током, текущим через индуктивность, Эта энергии равна — Лг (см. формулу (6!.4)). Так как активное сопротивление цепи равно нулю, полная энергия, слагающаяся из энергии электриче- 1 ! 1 ского поля — — д' и энергии магнитного поля —.Ы, не з с 2 расходуется на нагревание и будет оставаться постоянной.
Поэтому в момент, когда напряжение на конденсаторе, а следовательно, н энергия электрического поля обращаются в нуль, энергия магнитного поля, а значит, н ток достигают наибольшего значения (стадия 2; начиная с этого момента ток течет за счет э. д. с. самоиидукции). В дальнейшем ток уменьшается и, когда заряды на обкладках достигнут первоначальной величины д , сила тока становится равно11 нулю (стадия 3). Загсы те же процессы протекают в обратном порядке (стадии 4 и 5), после чего система приходит в первоначальное состояние (стадня 5) и весь цикл повторяется снова н снова, В ходе описанного процесса периодически изменяются (т.
е. колеблются) заряд г) на обкладках, напряжение 0 на конденсаторе н сила тока 1, текущего через индуктивность. Колебания сопровождаются взаимными превращениями энергий электрического и магнитного полей. На рис. 2)7, б колебаниям в контуре сопоставлены колебания пружинного маятника. Сообщению зарядов обкладкам конденсатора соответствует выведение маятника внешней силой из положения равновесна н сообшение ему первоначального отклонения х„,, Прн этом возникает потенциальная энергия упругой деформации пружины, равная — йх~ (см.
т. 1, формулу (62.3)1. Ста- 1 днн 2 соответствует прохождение маятника через положение равновесия. В этот момент квазиупругая сила равна нулю н маятник продолжает двигаться по инерции. К этому времени энергия маятника полностью перекодит в кинетическую и определяется выражением Ь вЂ” + — = О. Ж Ч ш с д! Разделив это выражение на Ь и заменив — через И! 4((=д), придем к следующему уравнению; 1 1)+ С ~!=О. ЬС (99. 1) Если ввести обозначение 1 ~.С Мьс (99.2) уравнение (99.!) принимает вид 1) + а!э!) = О, (99.3) хорошо знакомый нам из учения о механических колебаниях [см. т. 1, уравнение (62.6)]. Решением этого уравнения, как известно, является функция д = д„, саз (аа1 + а).
(99.4) Таким образом, заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, 1 — гнх~. Сопоставление дальнейших стадий предостав- 2 ляем читателю. Из сопоставления электрических и механическихколебаний следует, что энергия электрического поля — — д аналогична потенциальной энергии упругой де- 1 ! 2 С формации, а энергия магнитного поля — Ьс анало! 2 гична кинетической энергии. Индуктивность Ь играет роль массы и, величина, обратная емкости (1/С),— роль коэффициента жесткости й. Наконец, заряду д соответствует смещение маятника из поломсения равновесия х, а силе тока ! = д — скорость х.
Как мы увидим ниже, аналогия между электрическими и механическими колебаниями распространяется и на описывающие их математические уравнения. Во время колебаний внешнее напряжение к контуру не приложено. Поэтому падения напряжения на емкоьч сти Ус = — и на индуктивности ЬГс=Ь вЂ” „в сумме ш должны дать нуль определяемой выражением (99.2). Эта частота называется собственной частотой контура (она соответствует собственной частоте гармоннческогоосциллятора). Для периода колебаний получается так называемая формула Тол~сола: 7 =2яР'ЬС.
(99.5) Напряжение на конденсаторе отличается от заряда множителем !/С: У= сс соз(ее~+а)=У соа(ечг+а). (99.6) Продифференцировав функцию (99.4) по времени, получим выражение для силы тока ( = — ео7 з|п (еч(+ а) =! соз (еа(+ а+ —" 1, (99.7) 2/' Сопоставляя формулы (99.4) и (99.7), заключаем, что в момент, когда ток достигаст максимального значения, заряд (а также напряжение) обращается в нуль, и наоборот. Это соотношение. между зарядом и током мы уже установили ранее, основываясь на энергетических соображениях.
Из формул (99.6) и (99.7) вытекает, что Фп и„= —, 7 =ео„. Заменяя еч по формуле (99.2), получим и„=~/ — '7 . (99.8) Эту формулу можно получить также, исходя из того, что наибольшее значение энергии электрического поля [ — СУ; см, (29,1)~ должно быть равно ианболыпему 1 2. 2 /1 зч значению энергии магнитного поля ( —,И„). ~2 $100. Свободные затухающие колебания Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением.
Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется в этом сопротивлении иа нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают, Урав- пение колебаний можно получить, исходя из того, что сумма падений напряжения на емкости, инд!ктивиостн и активном сопротивлении должна быть равна нулю: Š— +)1!+ — 4=0. он . 1 е! с Разделив это выражение на Ь и заменив ! через д, а он — через (1 получим и! !)+ 1„9+ ьс Ч=О ! (100.1) ! Учтя, что — равно квадрату собственной частоты Ас контура во (см. формулу (99.2)], н введя обозначение "= в!. ' (100.2) уравнению (100.1) можно придать вид д + 2рд + аоод = О. (100.3) Последнее уравнение совпадает с дифференциальным уравнением затухающих механических колебаний (см. т.
1, фоРмУлУ (73.2)). ПРи Условии, что Во(воз, т. е. Ло —,< —, решение уравнения (100.3) имеет вид 9 =9 „е м сов(ы!+а), (100. 4) где а = ф' со' — б'. Подставляя значение (99.2) для ого и (100.2) для р, находим, что / И Ес 4Е' Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты ыо. При )х = 0 выражение (100.5) переходит в (99.2). Разделив (100.4) на емкость С, получим напряжение на конденсаторе: (! = ~,' е-"'соз(в!+а) = (У„,ое в'соз(а!+а), (100.0) Чтобы найти силу тока, продифференцируем (100.4) по времени: != о) = е ое-з'(- Осоз (а!+а) — озв!п(а!+а)), 1 й ь умножим и разделим это выражение на )тР'+()я )/ ея о о 1= еоамсе-З' ~ — . соз(от!+а) — з)п(е!+а)~.
~/еа .1. РЯ у' е2.1. рв Введя угол ф определяемый условиями соз ~р = — = — —, 81 и ~р = е е') 1,' ет+ рь е ' ~/ет.). рт можно написать ( = вод„ое-З' соз (а! + а + ~р). (100.7) Поскольку созф<0, а з(птр»0, — '<ф<п, Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на л12 (при )т = 0 опережение составляет л/2). График функции (100.4) изображен на рис.
218. Графики для напряжения и снРис. 218, лы тока имеют аналогичный вид. Затухание колебаний принято характеризовать логарифмическим декрементом затухания (см. т. 1, формулу (73.!2)) о ГО Х = 1п (1 + т) — — рт, ') Этим условиям можно также придать вид е 1я~р= — —, сов~) <О. где а(!) — амплитуда соответствующей величины (а, У или 1). Легко проверить, что логарифмический декремент затухания обратен по величине числу колебаний Ж„совершаемых за время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз: 1 Л вЂ”.
)=у Колебательный контур часто характеризуют его добротностью Я, которая определяется как величина, обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания (г = л-="~' (100.8) Из (100.8) следует, что добротность контура тем выше, чем большее число колебаний успевает совершиться прежде, чем амплитуда уменьшится в е раз. Взяв вместо Л его значение рТ, получим Если затухание невелико (р' « ьм), можно поло! жить в = ав — — — . Тогда улс ' а, ! Л ! „Л 23 г'ес' к я с !согласие (100.2) 23 = !с/Ц. Таким образом, в случае несильного затухания (! 00.9) Амплитуда силы тока в контуре убывает по закону е ~'. Энергия %', запасенная в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока (или квадрату амплитуды напряжения на конденсаторе); следовательно, )г убывает по закону е Фа'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
