physics_saveliev_2 (535939), страница 62
Текст из файла (страница 62)
(предельный переход р'-+Р мы предвосхитили, полагая А„, А„и А, в пределах каждой из граней постоянными величинами). Зная дивергенцию вектора А в каждой точке пространства, можно вычислить поток этого вектора через любую поверхность конечных размеров. Для этого разобьем объем, ограниченный поверхностью 5, на большое (в пределе бесконечно большое) чиси ло малых (в пределе бесконечно малых) объемчиков (рис.
232). Согласно формуле (107.2) поток вектора А, вытекающий из любого из этих объем- чиков, может быть записан в виде Таким образом, мы пришли к соотношению ~А„НЗ= ~ д(чАс()г, (107.5) (поскольку канал по предположению имеет постоянное сечение, модуль скорости о = сопя(). В момент затвердевания стенок у каждой из частиц жидкости в канале будет погашена составляющая скорости, перпендикулярная к стенке, и останется лишь составляющая скорости оь касательная к контуру. С этой составляющей связан импульс с(рь модуль которого для частицы жидкости, заключенной в отрезке канала длины с(1, имеет величину рооес(1 (р — плотность жидкости, и — площадь поперечного сечения канала).
Поскольку жидкость идеальна, действие стенок может изменить лишь направление с(рь но не его величину. Взаимодействие ') Идея такого объяснения смысла циркуляции заимствована у Фейнмана (см. Фейимаиовские лекции по физике, вып. 5, стр. !7, «Мир», г966). 25 Н. В, Савельев, т, и которое носит название теоремы Остроградског о - Г а у с с а. Обратимся снова к течению идеальной несжимаемой жидкости. Представим себе замкнутую линию — контур Г. Предположим, что каким-то способом мы заморозим мгновенно жидкость во всем объеме, за исключением очень тонкого замкнутого канала постоянного сечения, вклю- — ~~. » чающего в себя контур Г (рис. 233), В зависимости от характера течения (от характера поля вектора скорости) жидкость в образовавшемся канале окажется либо неподвижной, ли- ~в бо будет двигаться вдоль контура (циркулировать) в одном нз Рис.
233. двух возможных направлений. В качестве меры этого движения возьмем величину, равную произведению скорости жидкости в канале, умноженной на длину контура 1. Эту величину назвали циркуляцией вектора н по контуру Г'). Итак, циркуляция у по Г в) между частицами жидкости вызовет такое перераспределение импульса между ними, которое выровняет скорости всех частиц, При этом алгебраическая сумма импульсов не может измениться: импульс, прнобретае.
мый одной из взаимодействующих частиц, равен импульсу, теряемому второй частицей. Это означает, что рао1 = ~ раз, с)1, где о — скорость циркуляции, п~ — касательная составляющая скорости жидкости в объеме аг)1 в момент времени, предшествовавший затвердеванню стенок канала. Сократив на ра, получим, что циркуляция ч по Г = о! = ~ и, Ж. г Аналогично определяется циркуляция любого вектора А по произвольному контуру Г: циркуляция А по Г= А~1 ~ А,Ж, (107.6) г где А~ — среднее по контуру значение касательной составляющей вектора А. Можно подумать, что для отличия циркуляции от нуля векторные линии должны быть замкнутыми или хотя бы как-то изогнутыми в направлении обхода по контуру. Легко убедиться в ошибочности такого предположения. Рассмотрим ламинарное течение жидкости в реке.
Скорость жидкости непосредственно у дна равна нулю и возрастает при приближении к поверхности воды (рис. 234). Линии тока (линни вектора ч) прямолинейны. Несмотря на это, циркуляция вектора ч по изображенному пунктиром контуру, очевидно, отлична от н ля. иркуляция характеризует свойства поля, усредненные по области с размерами порядка поперечника контура Г. Чтобы получить характеристику свойств поля в точке Р, нужно уменьшать размеры контура Г, стягивая его в точку Р.
Однако сама циркуляция при этом обратится в нуль. Действительно, среднее значение А~— конечная величина, а длина контура 1 в пределе равна нулю. Следовательно, и произведение А~1 обращается в нуль, Поэтому целесообразно в качестве характеристики поля вектора А в точке Р взять предел отношения циркуляции вектора А по плоскому контуру Г, стягивающемуся к точке Р, к величине площади контура 5 '): ~АР (107.7) 3+и 8 Однако при нахождении предела (107.7) обнаруживается следующее осложнение: величина этого предела рис.
234. зависит не только от свойств поля в точке Р, но также и от ориентации контура в пространстве, которая может быть задана направлением положительной нормали и к плоскости контура (положительной считается нормаль, связанная с направлением обхода контура при интегрировании правилом правого винта). Определяя предел (10?.7) в одной и той же точке Р для разных направлений и, мы будем получать различные значения, причем для противоположных направлений эти значения отли.
чаются только знаком (изменение направления и на противоположное эквивалентно изменению направления обхода по контуру во время интегрирования,что вызовет лишь изменение знака у циркуляции), Для какого-то на« правления нормали величина (107.7) в данной точке окажется максимальной. ') В случае дивергеннин берется отношение интеграла но по. верхности к объему, охватмваемому этой иоверхностмо, В данном случае берется отношение интеграла но контуру к иоверх~ости, охватмваемой этим контуром, Таким образом, величина (107.7) ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция.
Максимальное значение величины (107.7) определяет модуль этого вектора, а направление положительной нормали и, при котором достигается максимум, дает направление вектора. Этот вектор называется р о т о р о м (или вихрем) вектора А. Обозначается он символом го1А. Используя это обозначение, можно записать вы. ражение (!07.7) в виде няркуляпия А по Г ( 1А) 3.+Р Под (го1А)„подразумевается проекция вектора го1А на положительную нормаль к площадке о, охватываемой контуром Г.
Выражение (!07.8) может слунгить определением вектора го1А. Из него следует, что ротор есть векторная функция точки Р. Определение (!07.8) является самым общим, не зависящим от выбора системы координат. Для того чтобы найти выражения для проз екций вектора го!А на оси декартовой системы координат, нужно определить Р5тийг! тл зиачениЯ величины (107.8) для таких ориентаций площадки 3, прн которых норду маль и к площадке совпадает с одной из осей х, у, г. Если, например, направить Ж у и по оси х, то (107.8) пре- вратится в (го1 А)„.
Контур Рис. 235. Г расположен в этом слу- чае в плоскости, параллельной координатной плоскости ух. Возьмем этот контур в виде прямоугольника со сторонами Лд и Лг (рис. 238; ось х имеет на этом рисунке направление на нас; указанное на рисунке направление обхода связано с направлением оси х правилом правого винта). Имея в аиду предельный переход 5 - Р, можно считать значения А„ н А, на каждой из четырех сторон контура неизмен.
нйми, Участок / контура противоположен по направле» 388 нию осн г. Поэтому А» на этом участке совпадает с — А,» (индекс 1 указывает на то, что А, берется в том месте, где расположен участок 1). Рассуждая аналогично, найдем, что А» на участках 2, 3 н 4 равна соответствен. но А„ь А,з и — А„».
В итоге получим для циркуляции значейие (А з- А„) Аг — (А„,-А„,)Лу. Разность Ам — А,» представляет собой приращение А, при смещении вдоль оси у на Ьу. Ввиду малости Ау дА» это приращение можно представить в виде — бу. Анаду логично разность А„» — А„» можно представить в виде "Аг.Подставив эти выражения в (!07.9) н вынося обдАу дк щий множитель за скобки, получим ( дА» дА»1 т дА, длу1 циркуляция А = ! — '- —" ! ~»у дг = ~ — * — —" ! ЬЗ, ду дг ду дк где ЬЗ вЂ” площадь контура. Разделив циркуляцию на Ь5, найдем выражение для проекции го(А на ось хс (го! А)к д дА» дАу (107.10) (предельный переход 3- Р мы предвосхитили, предположив, что на каждом из участков контура А„и А, неизменны).
Путем аналогичных рассуждений можно найти, что (го! А) дА» дл» дк дх (го! А), дАу дА» . (107.12) Легко убедиться в том, что любое из выражений (107.10) — (107.12) может быть получено нз предыду. щего [для (107.!О) предыдущим следует считать(107.! 2) ! путем так называемой циклической перестановки координат, т. е, замены координат, осуществляемой по схеме: х У Итак, ротор векторз А определяется в декартовой системе координат следующим выражением: (107.13) Ниже мы укажем более изящный способ записи этого выражения. Зная ротор вектора А в каждой точке некоторой поверхности 5, можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру, ограничивающему 5. Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы Л5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
