physics_saveliev_2 (535939), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Согласно (107.8) циркуляция вектора А по контуру, ограничи- вающему Ь5, может быть представал лена в виде циркуляция А (го1 А)„Л5, где и — положительная нормаль к элементу поверхности Ь5. Просуммировав эти выражения по всей поверхности 5, справа получим рис, 2зц ) (го1А)„Ы5, слева — циркуляцию А по контуру Г.
Действительно, при суммировании слагаемые АД1, отвечающие отрезкам, разделяющим смежные элементы поверхности, взаимно уничтожатся. Например, для Ь5, лежащей слева от ММ (рис. 236), этот участок при определении циркуляции проходится в направлении У-+М, а для Ь5, лежащей справа от МФ, тот же участок проходится в направлении М - й1. Следовательно, отвечающие МЛI слагаемые А~Ы отличаются для смежных площадок лишь знаком и при сложении дают нуль. Некомпенсированиыми останутся только слагаемые А~Ы для внешних (по отношению ко всей поверхности 5) участков отдельных контуров, которые в сумме дадут ~ А~И.
г Таким образом, мы пришли к соотношению А„Ж ~ (го1 А)„д5, (107.14) которое носит название теоремы Стокса. Написание формул векторного анализа значительно упрощается и облегчается, если ввести в рассмотрение векторный дифференциальный оператор, обозначаемый символом Ч (иабла) и носящий название оператора н а б л а или о п е р а т о р а Г а м и л ь т о н а. Под этим оператором подразумевается вектор с составляющими д д д — — и —,.
Следовательно, Ч=1 — +1 — +к —, (107.15) Сам по себе этот вектор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании со скалярной или векторной функцией, на которую он символически умножается. Так, если умножить вектор Ч иа скаляр ф, то получится вектор Ч(р = 1 — +) — + й —, дф дф дф дк ду дг ' (107. 16) который есть ие что иное, как дивергенция вектора А [см.
(107.4Н. Наконец, если умножить Ч на А векторно, получится вектор с составляющими: [ЧА]к=Ч„А,— Ч,А» длк длу — — и т. д. которые совпадают с составляюду дк шими го1А [см. (!07.10) — (!0712)). Следовательно, воспользовавшись записью векторного произведения с помощью определителя, можно написать: 1 ) К д д д (107.18) го1 А = [ЧА] = дк ду дг Ак Ау Лк Пользуясь вектором Ч, нужно помнить, что ои является диффервнциальным оператором, действующим на вв! который, как мы знаем (см.$11),называется градиенте м функции ф.
Если вектор Ч умножить скалярно на вектор А, получится скаляр дА» длу длк ЧА=ЧкА„+Чулу+ЧкА» д + д + дк > (107.17) все функции, стояшие справа от него, Поэтому при преобразовании выражений, в которые входит Ч, нужно учитывать как правила векторной алгебры, так и правила дифференциального исчисления. Так, например, производная произведения функций Ч и ф равна (чф)'- ч'ф+ фф'.
В соответствии с этим пгаб йрф) = Ч (фф) = фЧф+ ВЧф = ф игад ~р+ Ч пгаг( ф. Градиент некоторой функции гр представляет собой векторную функцию. Поэтому к нему могут быть применены операции и дивергенции, и ротора: йч игад ~р =Ч(Чгр) (ЧЧ) ~р =[Ч~+ Ч'„+ Ч,) ~р д~, + д 1+ <~,~ Ь| (107.19) (д — оператор Лапласа), го1 дгаг( у =[Ч, ЧгГ[ =[ЧЧ[ф О, (107.20) так как векторное произведение вектора на самого себя равно нулю. Электростатическое поле Е может быть представлено как градиент потенциала Ч [см.
формулу (11.3)[. Согласно (9.2) циркуляция этого поля для любого контура равна нулю, что согласуется с (107.20). Ротор вектора А является векторной функцией точки. Следовательно, к нему могут быть применены операции дивергенции и ротора; ейт га( А = Ч [ЧА[ = 0 (107.21) (из векторной алгебры известно, что смешанное произведение векторов равно объему параллелепипеда, построенного на перемножаемых векторах; если два нз этих векторов совпадают, то объем параллелепипеда равен нулю), го1 го1 А = [Ч, [ЧА[ [ = Ч (ЧА) — (ЧЧ) А дгаг( п(ч А — ЛА (! 07.22) [мы воспользовались формулой [А, [ВС)) В(АС)— — С(АВ)1 Из формулы (107.21) вытекает, что поле ротора не имеет источников, линии такого поля замкнуты, либо уходят в бесконечность. Подобным свойством обладают линии магнитного поля, Это позволяет представить поле вектора магнитной индукции В как поле ротора некоторой векторной функции А'), которую называют векторным потенциалом В = го1А.
(107.23) Входить в дальнейшие подробности по поводу векторного потенциала мы не имеем возможности. й 108. Уравнения Максвелла Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явле. ний. Эта теория объяснила все известные в то время экспериментальные факты и предсказала ряд новых яв. леняй, существование которых подтвердилось впоследствии. Основным следствием теории Максвелла был вьы вод о существовании электромагнитных волн, распро страняющихся со скоростью света. Теоретическое исследование свойств этих волн привело Максвелла к созданию электромагнитной теории света.
Основу теории образуют уравнения Максвелла. В учении об электромагнетизме эти уравнения играют такую же роль, как законы Ньютона в механике или основные законы (начала) в термодинамике. Первую пару уравнений Максвелла образуют уравнения (103.6) и (44,1). Для удобства изложения напишем их еще раз (108.1) (108.2) Первое из этих уравнений связывает значения Е с временными изменениями вектора В и является по существу выражением закона электромагнитной индукции.
') Во всех предыдущих формулах символом А мы обозиачалн произвольный вектор, Векторный потенциаЛ магнитного поля при иято обозначать этим ые символом А. Применив теорему Стокса к формуле (!08.3) и повторив те же самые рассуждения, найдем, что го1Н =)+ д, . д0' Теперь применим теорему Остроградского — Гаусса (см. (!07.5)) к левой части формулы (108.4). В результате получим уравнение )' йч р П'ч'= ~ рН'. Прн произвольном выборе объема, по которому производится интегрирование, полученное соотношение может выполняться лишь при условии, что подынтегральные выражения в обеих частях имеют в каждой точке пространства одинаковые значения, т. е. Йчр=р. Применение теоремы Остроградского — Гаусса к фор. муле (108.2) дает 61ч В *=О.
Итак, в дифференциальной форме уравнения Максвелла выглядят следующим образом: дн го1Е= —— ас 61чВ=О (108,5) (108.6) (первая пара уравнений), 1Н=)+ —, до йчР=р, (вторая пара уравнений), (108.7) (108,8) 395 возможно лишь в том случае, если подынтегральное выражение в любой точке пространства для произвольно ориентированной площадки с!о будет равно нулю. Таким образом, мы приходим к выводу, что в каждой точке пространства выполняется равенство дв го1 Б дЕ дЕ» дЕв дВ» ду дг дт дЕ„ дЕ, дВ„ дг дх дт (108,12) дЕу дЕ» дВ» дх ду дс дН, дН„ дР» + дР„ -1 +— дР ~/ + —, д! ду дг дН» ВН» (108,!3) дг дНц дх дх дН» Уравнения (108.8) и (108.8) можно написать в скалярном виде, использовав соотношение (107.4) дВ» дВх дВ» — + — + — ° О, дх ду дг дР» дРх дР» — + — + — "р дх ду дг В гауссовоа системе уравнения Максвелла имеют вид (108.14) (108.15) ! дВ го1 Е с дг' 61чВ О, 4и 1 дР го! Н вЂ” 1+ — —, с с дт д!ч Р 4ир, (106.16) (106.17) При решении этих уравнений используется то обстоятельство, что между входящими в них величинами имеются соотношения 0 еовЕ, (108.9) В= Н, (108.10) 1' оЕ.
(108.11) Совокупность семи уравнений (108.5) †(108.11) образует основу электродинамики покоящимся сред. Спроектирован уравнения (108.5) и (108.7) на координатные оси, получим вместо каждого из векторных уравнений три скалярных. Приняв во внимание формулы (107.10) — (107,12), получим ГЛАВА ХЧ!~ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ ф 109. Волновое уравнение В предыдущей главе мы выяснили, что переменное электрическое поле порождает магнитное, которое, вообще говоря, тоже оказывается переменным '). Это переменное магнитное поле порождает электрическое поле и т. д.
Таким образом, если возбудить с помощью заря. дов переменное электрическое или магнитное поле, В окружающем пространстве возникнет последовательность взаимных превращений электрического и магнитного полей, распространяющихся от точки к точке. Этот процесс будет периодическим во времени и в пространстве и, следовательно, представляет собой волну. Вывод о возможности существования электромагнитных волн вытекает, как мы сейчас покажем, из уравнений Максвелла. Напишем уравнения Максвелла для однородной нейтральной (р О) непроводящей () О) среды с постоянными проницаемостями е и р. В этом случае дВ ди дп дп — -рро — — -азов дг д! ' дт дФ ' с(!чВ-ррос((тН и 6(тВ =енес(1чЕ.
') Дли того чтобы возникшее магнитное поле было постони' иым, необходимо соблюдение весьма специального условию В соим. 391 Следовательно, уравнения (!08.5) — (!08.8) дН го1Б= — р!хо д~ ° дНх дГГу дНх б!ч Н вЂ” + — + — О, дх ду дх го1 Н =еее —, дЕ дГ дЕ» дЕу дЕ, б!чЕ = — + — "+ — '=О.
дх ду дх имеют вид (109.1) (109.2) (109.3) (!09.4) Применим к уравнению (!09.!) операцию го1 го1 (го1 Е) = — рре го1 ~ —,~, /дН1 (!09.5) Применив операцию го1 к уравнению (109.3) и произ- ведя аналогичные преобразования, придем к уравнению д'Н го1 (го1 Н) = — еее!хре а, (109.7) В соответствии с (!07.22) го1 го1 Е = йтаб б!ч Š— ЬЕ. При условии, выражаемом уравнением (!09.4), первый член этого равенства обращается в нуль. Следовательно, левая часть формулы (109.6) может быть записана в виде — ЬЕ.
Опустив в получающейся формуле знак ми. нус слева и справа, придем к уравнению д'Е адЕ=ее,рр, ан нли, расписав ЬЕ, д~Е дгЕ д~Е д|Е дх' + ау' + ах~ Ееерр' ам ° (109.8) 398 Символ го1 означает дифференцирование по координатам. Меняя порядок дифференцирования по координа/аи1 д там и времени, можно написать го!! —,1= —, (го1 Н). Произведя в уравнении (109.5) эту замену и подставив в получившееся выражение значение (!09.3) для го1 Н, получим д'Е го1 (го1 Е) — еее!хро — Н ° Сходным образом уравнение (109.7) можно преобра.
зовать к виду а н а'н а'н а'н + 1 ее ~!т —,, (109.9) Заметим, что уравнения (109.8) и (!09.9) неразрывно связаны друг с другом, так как они получены из уравнений (109.1) и (!09.3), каждое из которых содержит и Б и Н. Уравнение вида дт! дт! дт! 1 дт! — + — + — = —— див дув дст о' дм 1 ! (109.10) Учи Фч~ Для вакуума по этой формуле получается о —, 3 ° 10' м/сек =с 1 1 )' вюио 4м ° 10 4л 9 Юо 1см. значения (4.2) и (38.3) для ао и ро).
Таким образом, в вакууме фазовая скорость электро. магнитных волн совпадает со скоростью света. В гвуссовоа системе о о Ггв1т (! 09.11] представляет собой волновое уравнение (см. т. 1, 5 80)). Всякая функция, удовлетворяющая такому уравнению, описывает некоторую волну, причем корень квадратный дт! из величины, обратной коэффициенту при — „, дает фазовую скорость этой волны.
Таким образом, уравнения (109.8) и (109.9) указывают на то, что электромагнитные поля могут существовать в виде электромагнитных волн, фазовая скорость которых равна $110. Плоская алектромагнитная волна Исследуем плоскую электромагнитную волну, распространяющуюся в однородной непроводящей среде (р = О, ) ='О, Р ееОЕ, В = 1»рОН, е и р — постоянные). Направим ось к перпендикулярно к волновым поверхностям. Тогда Е и Н, а значит, и их составляющие не будут зависеть от координат у и г. Поэтому уравнения (108.12)— (108.15) упрощаются следующим образом: — =0 дН„ д~ дЕ» дНц д И Ф дгц дН, д»= — РРОд, > — =О дЕ, л ° дН» дЕц — = — ее,— д» дц дНц дЕ» — ЕЗО— д» дà — 0 дН» д» дЕ, — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
