1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Касательные к лучам в каждойточке совпадают с направлением распространения волны. Как показывает анализ, такой подход допустим, если средний радиус кривизны волновой поверхности велик по сравнению с длиной волны, что длявидимого света с длиной волны λ = 10−5см выполняется.Пусть S — длина дуги луча, отсчитываемая от некоторой точки~ — единичный вектор касательной к лучу, тогдавдоль луча, а Sdn ~= S · grad n.dS~ и используяУмножая обе части этого равенства на вектор S~~dn d(nS)dS~S=−n ,dSdSdSполучаем~ d(nS)~dS~ · grad n)S.~n=− (S(1)dSdS521КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН~~ /ρ,Из дифференциальной геометрии известно, что dS/dS= N~ — единичный вектор главной нормали к лучу, а ρ — радиусгде N~ и,кривизны луча. Умножим векторное равенство (1) скалярно на N~ перпендикулярен S,~ получаемучитывая, что N~nd(nS)~=N.(2)ρdS~Покажем, что d(nS)/dS= grad n. Согласно принципу Ферма,интеграл от показателя преломления вдоль траектории луча междуRдвуBмя точками пространства А и В, называемый оптической длиной, A ndS,минимален.
Тогда вариацияRэтого интеграла равна нулю. ЗаписываяBвариацию интеграла в виде A δndS + nδdS и используя соотноше~ r, где δ~r — смещение траекторииния δn = δ~n grad n, δdS = Sdδ~луча при варьировании, получаем для вариации оптической длины выражениеZZBB~ r.nSdδ~δ~r grad dS +AAПроинтегрируем по частям второе слагаемое с учетом, что в точках Аи В δ~r = 0 и, приравняв вариацию оптической длины нулю, получимZ B~d(nS)(grad n −)δ~r · dS = 0.dSA~Отсюда d(nS)/dS= grad n, а равенство (2) примет видn~ · gradn = dn=NρdNили1 d ln n=.ρdNЛуч изгибается в сторону увеличения показателя преломления.Р.11.
Найти рефракцию α∞ −α0 с учетом кривизны земной поверхности, считая, что разность n − 1 пропорциональна плотности воздуха, и предполагая, что плотность воздуха меняется с высотой согласно1.5Решение типичных задач53барометрической формуле (изометрическая атмосфера); α∞ — угол,образуемый асимптотой к лучу с вертикалью места наблюдения, α0 —видимое зенитное расстояние объекта, n – показатель преломления.Уменьшение плотности атмосферы с высотой приводит к уменьшению с высотой показателя преломления. В результате этого луч, идущий к Земле от какой-либо звезды, проходя через атмосферу, изгибается. Поэтому видимое положение звезды S 0 смещено относительноее истинного положения S (см.
рисунок). Угловое смещение α∞ − α0есть рефракция. Найдем рефракцию для наблюдателя, находящегосяв точке M . Поскольку показатель преломлеZSS′αния атмосферы n зависит только от расстоянияdrαβ + d β r от центра Земли, то световой луч AM будетβNrαMлежать в вертикальной плоскости, проходящейчерез звезду и точку наблюдения. Обозначимγ γdγчерез S длину луча, отсчитываемую от точки0M, а через α – угол между вертикалью M Z икасательной к лучу (зенитное расстояние). Для плоской кривой радиус кривизны траектории ρ связан с изменением зенитного расстоянияформулой1 dα dα==cos β.(1)ρ dSdrС другой стороны, из решения задачи Р. 10 n/ρ = N · ~gradn.
По∞00скольку n зависит только от r, то отсюда1~ e~r ) dr = − sin β dn = − sin β d ln n ,= (Nρndrndrdrгде e~r — единичный вектор вдоль радиус-вектора ~r. Уравнение (1)примет видdα/ tg β = −d ln n.(2)Найдем, как будет меняться угол β между касательной к лучу ирадиусом r с изменением r. Поскольку α = γ + β, то dα = dγ + dβ.541КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНТак как dγ = tg β· drr , то tg β drr +dβ = dα и уравнение (2) запишетсяв виде drr + tgdββ = −d ln n или tgdββ = −d ln(nr). Интегрированиеэтого уравнения дает nr · sin β = const .В точке M β = α0, r = r0, n = n0 и, значит, const = n0r0 sin α0,где r0 — радиус Земли.
Окончательно закон преломления луча в атмосфере примет видnr sin β = n0r0 sin α0.(3)Отсюдаtg β = pn0r0 sin α0n2 r 2−n20r02 sin2 α0.Подставляя tg β в уравнение (2), получаем выражение для рефракцииZ∞α∞ − α0 = −n0r0 sin α0r0d ln ndrp.drn2r2 − n20r02 sin2 α0(4)Упростим подынтегральное выражение. Показатель преломления nатмосферы меняется от n0 = 1, 000293 до 1, поэтому для всех r n −1 1 и ln n = ln(1 − (n − 1)) ≈ n − 1. По условию задачиn − 1 = const ·ρ0e−µg(r−r0 )RT,где µ — молекулярный вес воздуха; R — газовая постоянная; T —абсолютная температура; ρ0 — плотность воздуха на поверхности Земли.
Тогдаµg(r−r )µg(r−r )d ln n d(n − 1)µgµg− RT 0− RT 0=−const ·ρ0e= −(n0−1)ρ0 edrdrRTRTиµg(r−r0 )Z ∞µge− RT · drpα∞ −α0 =n0r0 sin α0·(n0−1). (5)22222RTn r − n0r0 sin α0r01.5Решение типичных задач55Наибольший вклад в интеграл дают области r ≈ r0. Учитывая слабую зависимость интеграла от n, подкоренное выражение можно заменить приближенным выражениемn2r2 − n20r02 sin2 α2 = n20(r − r0 sin α0)(r − r0 sin α0) ≈≈ h20(1 + sin α0)(r − r0 sin α0).p µgВведя новую переменную интегрирования x =RT (r − r0 sin α0 )для рефракции, получим выражениеZ ∞22α∞ − α0 = 2(n0 − 1)x0 tg α0e−(x −x0)dx,x0гдеµgr0(1 − sin α0).RTЕсли не учитывать кривизну земной поверхности, что допустимо,когда звезда находится не слишком близко к горизонту, то можно считать, что показатель преломления зависит от z.
Тогдаx20 =1 dα dα==cos αρ dSdzи~1 N~ e~r ) dn = sin α d ln n .= gradn = (NρnndzdzИсключая ρ, получаем dn/n = −d sin α/ sin α, откуда n sin α =const и, значит,sin α∞ = n0 sin α0, (n∞ = 1).(6)Вычтем из обеих частей последнего соотношения sin α0, получимsin α∞ − sin α0 = (n0 − 1) sin α0.Левую часть можно представить какα∞ + α0α∞ − α02 cos· sin.22(7)561КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНПоскольку n0 мало отличается от единицы, то из уравнения (6) следует, что α∞ мало отличается от α0 и, значит, α∞ − α0 1.
Тогдаsin α∞2−α0 ≈ α∞2−α0 , а cos α∞2+α0 ≈ cos α0, и из формулы (7) найдемα∞ − α0 ≈ (n0 − 1) tg α0.Интересно, что рефракция в этом случае не зависит от закона изменения показателя преломления с высотой, а зависит только от значенияпоказателя преломления на поверхности Земли n0 и видимого зенитного расстояния α0.Р.12. Насколько раньше мы видим восход Солнца из-за рефракции(n0 − 1 = 3 · 10−4, T = 273K, g = 981 см/с2, µ = 29 г/моль,R = 8, 3 · 107 эрг/(моль·K), r0 = 6, 367 · 103км) ?ZdSαdZαNrurezОценим рефракцию Солнца при восходе.
Вэтом случае α0 = 900, и тогда формулу (5)предыдущей задачи можно представить в видеZ∞ − µg (r−r0)e RTµgdrn0r0(n0−1) pα∞−α0 ==RTn2r2 − n20r2r0Z∞ −µg(r−r0)1/2µg(n0 − 1) r0e√=dr.RT2r − r0r0Положимµg(r − r0)]1/2,RTdr1 µg 1/2x=[тогдаdx =2 RT(r − r0)1/2и4α = α∞ − α0 =2µgr0RT1/2Z(n0 − 1)0∞2e−x dx =57= πµgr 1/20(n0 − 1) = 3503000.2RTСолнце взойдет раньше на время ∆t, равное времени, необходимому Земле для прохождения угла, равного углу рефракции, при суточном вращении Земли∆α 35, 50 · 24 · 60 · 60∆t ==c = 142c,ω360 · 60где ω — угловая скорость вращения Земли.2.ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕВ ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИРазложение в интеграл Фурье по плоским монохроматическим волнам:Z1i(~k~r−ωt) 3f (~r, t) =fed k dω,(1)~k,ω2(2π)гдеZ1−i(~k~r−ωt) 3f~k,ω =f(~r,t)ed r dt.2(2π)Разложение по монохроматическим волнам (спектральное разложение):Z1f (ω)e−iωtdω,(2)f (t) = √2πгдеZ1f (t)eiωtdt – спектр волны.f (ω) = √2πРазложение по плоским волнам:Z1~k)ei~k~r d3k.f (~r) =f((3)3/2(2π)582ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИФазовая скорость ~vф = kω2 ~k, групповая скорость ~vгр = dω/d~k.Соотношения неопределенностей:∆ω∆t∆kx∆x∆ky ∆y∆kz ∆z&&&&2π,2π,2π,2π.(4)Условие применимости приближения геометрической оптики:θдифр = λ/d 1.В прямоугольном волноводе со сторонами a и b ≤ a волна распространяется вдоль оси z.
Тогда для E-волны (Hz = 0) компонентаполя Ez удовлетворяет уравнению∆2Ez + κ 2Ez = 0,22(5)2 2 22∂∂2где ∆2 = ∂x= ωv2 − k 2 = ω cε2 µ − k 2. Граничные2 + ∂y 2 , а κусловия Bn| = 0 и Eτ | = 0. Решение уравнения (5) с приведеннымиграничными условиями имеет видπmπnEz = E0 sinx · sin y · ei(kz−ωt), m, n = 1, 2, 3...(6)abωminπc √ 2c= √a + b2 , ω = √ab εµεµrk2+ πm 2a+ πn 2b.Из уравнений Максвелла для E-волны (T H-волны) следуетEx =ik ∂Ezik ∂Ez,E=,yκ 2 ∂xκ 2 ∂y(7)Hx = −где κ 2 = (ω 2/c2) − k 2.iω ∂Eziω ∂Ez,H=−,ycκ 2 ∂ycκ 2 ∂x59Для H-волны (T E-волны) имеем∆2Hz + κ 2Hz = 0.(8)Решение этого уравнения с теми же граничными условиями имеет видHz = H0 cosωminπmπnx · cos y · ei(kz−ωt), m, n = 1, 2, 3...abcπc= √ , ω=√a εµεµrk2 + πm 2a+ πn 2b(9).Для остальных компонент из уравнений Максвелла имеем соотношенияHx =ik ∂Hzik ∂Hz,H=,yκ 2 ∂xκ 2 ∂y(10)Ex =iµω ∂Hziµω ∂Hz,E=−.ycκ 2 ∂ycκ 2 ∂xПоле в резонаторе-параллелепипеде со сторонами a ≥ b ≥ d имеетвидπmπnπlx · sin y · cos z · e−iωt,abdπmπnπlEy = E2 sinx · cos y · sin z · e−iωt,(11)abdπmπnπlx · sin y · sin z · e−iωt,Ez = E3 cosabdq 222ω2mnlгде n, m, l = 0, 1, 2...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
