1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 5
Текст из файла (страница 5)
E1 = E2 p= E, H1 = H2 =p H. С другойстороны, учитывая (8), H1 = ε1/µ1E1, а H2 = ε2/µ1E2, чтопротиворечит равенству H1 = H1.Покажем, что у всех волн — падающей, отраженной и прошедшей — частота ω одинакова и равна частоте падающей волны. Пусть301КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНна плоскую границу раздела z = 0 падает плоская волна~ (`) = E~0(`)e−i(ωt−~k~r),Eа отраженную и прошедшую, или преломленную, волны запишем ввиде~ (r) = Re~ −i(ωr t−k~10 ~r),E~ (d) = De~ −i(ωdt−k~20 ~r).E(9)Граничные условия (5) должны выполняться для всех точек границы раздела.
Любое из условий (5) для произвольной точки поверхности раздела ~r = r~0, можно записать в видеA(~r0)e−iωt + B(~r0)e−iωr t + C(~r0)e−iωdt = 0.(10)Константы A(~r0), B(~r0), C(~r0) отличны от нуля, если отраженная и прошедшая волны действительно существуют. Этому условиюпри всех t можно удовлетворить, если только ω = ωr = ωd.Найдем связь между волновыми векторамиr′rϕ′ϕk1k1падающей k~1, отраженной k~10 и прошедшей k~2X волн. Ось z направим в сторону второй среε ,µε ,µды. Плоскость раздела z = 0 будет плоскоrk2стью XY .
За ось X возьмем линию пересечеψния плоскости раздела сред с плоскостью падения. Напомним, что плоскость падения — это плоскость, в которойлежат волновой вектор падающей волны k~1 и нормаль к плоскостираздела, в нашем случае ось z. В выражениях (9) скалярное произведение вида ~k~r, записанное для плоскости раздела, представлено ввиде ~k~r = kxx + ky y. Тогда любое из условий (5) с учетом равенствачастот при y = y0 запишется в виде11220A(y0)eik1xx + B(y0)eik1xx + C(y0)eik2xx = 0,1.5Решение типичных задач31где A(y0), B(y0), C(y0) — постоянные и притом отличные от нуля, если только отраженная и прошедшая волны действительно существуют. Поскольку это равенство должно выполняться при всех x, тодолжно быть0k1x = k1x= k2x.Мы выбрали расположение осей X, Y такими, что у падающей волны имеется только x-я и z-я компоненты волнового вектора k1x, k1z , а0k1y = 0.
Покажем, что тогда k1y= k2y = 0. Записав условия (5) дляx = x0, получим0A(x0) + B(x0)eik1y y + C(x0)eik2y y = 0;A(x0), B(x0), C(x0) отличны от нуля. Чтобы это равенство выпол0нялось для всех y, нужно положить k1y= k2y = 0. Таким образом,получаем, что волновые векторы отраженной k~10 и прошедшей волн k~2лежат в плоскости падения, а величины их проекций на границу раздела одинаковы и равны соответствующей проекции падающей волны.Найдем связь между углами падения, отражения и преломления. Поскольку величина волнового вектора определяется свойствами средыи частотой, то отсюда следует, что k1 = k10 , так как падающая и отра√женная волны распространяются в одной среде k = k10 = ε1µ1ω/c.0Учитывая, что k1x = k1x, заключаем, что угол отражения ϕ0 (см.
рис.на с. 30) равен углу падения ϕ. Далееqqq2 = ± k2 − k2 , k = − k2 − k2 .k2z = k22 − k2x1z21x11xЗнак «минус» перед корнем для k1z взят потому, что отраженная вол2на распространяется в сторону уменьшения z. Если k22 > k1x, то перед корнем для k2z следует взять знак «плюс», это будет означать, чтоволна преломления распространяется в сторону возрастания z. Если ψ— угол преломления, то, учитывая, чтоω√k1x = k1 sin ϕ = ε1µ1 sin ϕ,c321КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНk2x = k2 sin ψ =√ε 2 µ2ωsin ψ,ck1x = k2x,получаемsin ϕ/ sin ψ =√√ε2µ2/ ε1µ1 = n2/n1,√где ni = εiµi называется показателем преломления i-й среды.2Для случая k22 < k1x, k2z — чисто мнимая величина и зависит от2z |z .
Понятно, чтоz, определяется действительным множителем e±|kp2 − k 2 , иначенужно взять знак «минус», т. е. положить k2z = i k1x2амплитуда прошедшей волны будет неограниченно возрастать по мереудаления от границы раздела, чего не может быть из-за закона сохранения энергии. Волна во второй среде неоднородная:~ (d) = De~ −z|k2z |e−i(ωt−k1xx).EР.2. Найти коэффициенты отражения и прохождения для электромагнитной волны, падающей нормально на плоскую границу междувакуумом и средой с диэлектрической проницаемостью ε и магнитнойпроницаемостью µ.Пусть плоскостью раздела будет плоскость z = 0 с осью Z, направленной вниз, в сторону второй среды.
Тогда по условию задачиволновой вектор падающей волны направлен вдоль положительного~ иH~ пернаправления оси Z. Поскольку в плоской волне векторы Eпендикулярны волновому вектору ~k, то направление оси X можно вы~ Тогда для падающей волны имеембрать по направлению вектора E.Ex` = E0`e−i(ωt−k1z), Ey` = 0, Ez` = 0;rε1 ` −i(ωt−k1z)E0 e, Hx` = 0, Hy` = 0,Hy` =µ11.5Решение типичных задач33ω√ε 1 µ1 .cДля получения величины напряженности магнитного поля в волнеиспользовано соотношение~ = c [~k E].~H(1)µωk1 =Для отраженной волны имеем аналогичноExr = Re−i(ωt+k1z), Eyr = Ezr = 0,rε1 −i(ωt+k1z)Re, Hzr = Hyr = 0.Hyr = −µ1Для преломленной волныExd = De−i(ωt−k2z), Eyd = Ezd = 0rε2 −i(ωt−k2z)Hyd =De, Hzd = Hyd = 0,µ2ω√k2 =ε 2 µ2 .cЗдесь учтено, что частоты падающей, отраженной и преломленнойволн равны друг другу (см. задачу Р.1).
Запишем условия непрерыв~ и H.~ В первой средености тангенциальных составляющих векторов Eесть волна падающая и отраженная, во второй — прошедшая, поэтому, полагая z = 0, получаемE0` + R = D,rε1 `(E − R) =µ1 0ОтсюдаqR= qε1µ1−ε1µ1+qε2µ2q E0`,ε2µ2rε2D.µ2341КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНq2 µε11q E0`.D=qε1ε2µ1 +µ2Коэффициент отражения ρ(r) есть отношение потоков энергии, отраженной и падающей волн, а коэффициент прохождения ρ(d) — отношение потоков энергии прошедшей и падающей волн.
Найдем распределение энергии в падающей волне. Известно, что плотность энергии электромагнитного поля в среде~` · H~ ` ε1(E `)2 µ1(H `)2~ ` · E~ ` BD+=+.W =8π8π8π8πЗдесь E ` и H ` действительные:E ` = E0` cos(ωt − k1z), H ` = H0` cos(ωt − k1z).В силу соотношения (1), энергии магнитного и электрического полей в среде, так же как и в вакууме, равны между собойµ1(H `)2/8π = ε1(E `)2/8π, поэтомуε1(2)W = (E0`)2 cos2(ωt − k1z).4πЕсли зафиксировать время, то формула (2) даст распределение энергии в пространстве. Поскольку волна в среде движется со скоростью√v = c/ ε1µ1, вместе с волной движется и энергия, запасенная в электромагнитном поле. Чтобы найти энергию, проходящую через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны, в единицу времени, усредним энергию W (2) по z, взяв в качестве интервала усреднения характерную для волны величину, например длину волны λ, т.
е. ∆z = λ1 = 2π/k1. Тогда1hW i =λ1zZ0 +λ11W (z)dz =2πz0ε1(E0`)2ωt−kzZ 04πωt−kz0 −2π1 ε1(E0`)2cos ξdξ =.2 4π21.5Решение типичных задач35Средняя по координате плотность энергии не зависит от времени(это будет означать, что и средняя по времени плотность энергии бу` 21 ε1 (E0 )дет равна той же величине W = 2 4π ).Зная среднее значение энергии, находим ее поток. Через единичную площадку, взятую перпендикулярно направлению распространения волны, в единицу времени пройдет энергия Π, запасенная в парал√лепипеде длиной, равной скорости волны v = c/ ε1µ1 и с площадьюоснования, равной единице, т. е.rc1 ε1(E0`)2ε1 ` 2v=(E ) .Π=2 4π8π µ1 0Это и есть средний по времени вектор Пойнтинга S¯` для падающей~ иH~ записаны в комплексном виде, то средний векторволны.
Если EПойнтингаrc ~1ccε 2~ = Re [E~ ×H~ ∗] =S̄ = |[E × H]|E .4π2 4π8π µ 0Аналогично для энергии отраженной и преломленной волн имеемqq 2εε21r−µ2 cε 2 µ1~r × H~ r∗] = cq · |S¯`|,|S¯r | = Re[ER = qε18π8π µ+ ε2µ1µ2q q4 µε11 µε22¯|S¯d| = qq 2 · |S `|.ε1ε2µ1 +µ2Тогдаqρ(r)ε1µ1q 2ε2µ2−S¯r= ¯ = q, ρ(d)q2ε1ε2S`µ1 +µ2q q4 µε11 µε22= qq 2 .ε1ε2µ1 +µ2361КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНЕсли первая среда вакуум, то ε1 = µ1 = 1 и, полагая ε2 = ε, µ2 = µ,получаемpp2(1−4ε/µ)ε/µppρ(r) =, ρ(d) =.22(1 + ε/µ)(1 + ε/µ)Если ε = µ, то отражательная способность среды обращается в нульρ(r) = 0 и вся энергия проходит во вторую среду: ρ(d) = 1.Р.3. На плоскопараллельную стеклянную пластинку с показателемпреломления n падает под углом ϕ к нормали к пластинке плоская линейно поляризованная монохроматическая световая волна. Плоскостьполяризации волны образует угол β с нормалью к плоскости падения.Найти угол между плоскостью поляризации и нормалью к плоскостипадения после прохождения света через пластинку (многократнымиотражениями внутри пластинки пренебречь).Плоскость падения есть плоскость волнового вектора ~k и нормали кгранице раздела, а плоскость поляризации — плоскость, в которой ле~ и волнового вектора ~k.
Плоскостьжат векторы электрического поля Eпадения для всех волн — падающей, отраженной и преломленной —одна и та же, что следует из равенства тангенциальных составляющихэтих волн. Если β — угол между плоскостью поляризации падающейволны и нормалью к плоскости падения, то, учитывая, что вектор E~ `~ на плоскость падеперпендикулярен вектору ~k, проекции вектора Eния и перпендикуляр к ней, обозначаемые соответственно k, ⊥, будутравныEk = E sin β, E⊥ = E cos β.(1)Аналогично для преломленной волны E1d, если вторая среда занимает все полупространство,Ekd = E d sin β1, E⊥d = E d cos β1,(2)1.5Решение типичных задач37где β1 — угол между плоскостью поляризации преломленной волныи нормалью к плоскости падения. Поскольку многократными отражениями можно пренебречь, считаем, что волна (2) является падающейна вторую (нижнюю) плоскость пластинки и связи Ekd с Ek, E⊥d с E⊥определяются формулами Френеля:Ekd2 cos ϕ sin ψE⊥d2 cos ϕ sin ψ=,=,Ek sin(ϕ + ψ) cos(ϕ − ψ) E⊥sin(ϕ + ψ)(3)где ψ — угол преломления.Из формул (1)–(3) следует, чтоtg β1 =EkdE⊥d=Ektg β1=.cos(ϕ − ψ) E⊥ cos(ϕ − ψ)(4)Волна E d на второй границе будет падать под углом ψ, а преломится под углом ϕ.
Поэтомуtg β ∗ =tg β1,cos(ϕ − ψ)(5)где β ∗ — угол между плоскостью поляризации и нормалью к плоскости падения в прошедшей через пластинку волне. Значит,tg β ∗ =tg β.cos2(ϕ − ψ)qНайдем cos(ϕ − ψ). Так как sin ψ = sin ϕ/n, а cos ψ = 1 − ( sinn ϕ )2,тоq1cos(ϕ−ψ) = cos ϕ·cos ψ+sin ϕ·sin ψ = (cos ϕ n2 − sin2 ϕ+sin2 ϕ)nиn2 tg β∗ptg β =.2222(sin ϕ + cos ϕ n − sin ϕ)381КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНР.4. На диэлектрическую пленку по нормали к поверхности падает√монохроматическая волна. Показатель преломления n = ε, толщинапленки d λ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
