1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При каких условиях поляризация будет круговой?При полном внутреннем отражении коэффициенты Френеля комплексны и для R⊥/E⊥ и Rk/Ek имеют видpp222R⊥ cos ϕ + i sin ϕ − n Rk n cos ϕ + i sin2 ϕ − n2pp==,,22222E⊥Ekcos ϕ − i sin ϕ − nn cos ϕ − i sin ϕ − n(1)где n = n2/n1 — относительный показатель преломления, ϕ — уголпадения, причем sin ϕ > n.
Комплексность выражений (1) означает,что при полном отражении фаза каждой из волн испытывает скачок.Действительно, комплексные коэффициенты можно представить какR⊥/E⊥ = Aeiδ⊥/2/Ae−iδ⊥/2 = eiδ⊥ ,Rk/Ek = Beiδk/2/Be−iδk/2 = eiδk ,где A, B, δ⊥, δk — величины вещественные, причемpp22δksin ϕ − nsin2 ϕ − n2δ⊥=, tg = −.tg2cos ϕ2n2 cos ϕ(2)1.5Решение типичных задач45~ r можно записать в видеОтраженную волну E~E~ r = (Rke~ξ + R⊥e~η )ei(k~r−ωt),где e~ξ , e~η — единичные векторы, направленные вдоль составляющих напряженности электрического поля, лежащих соответственно в~k и перпендикулярного к этой плоскости R~⊥, илиплоскости падения R~~E~ r = Ekei(k~r−ωt+δk)e~ξ + E⊥ei(k~r−ωt+δ⊥)e~η .(3)Амплитуды Ek, E⊥ падающей волны вещественные, так как по условию она линейно поляризована.
Таким образом, отраженная волна (3)есть суперпозиция двух линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях и сдвинутых по фазе на величину δ = δk −δ⊥ волн. Для выяснения характера поляризации отраженной волны запишем ее в действительном виде в проекциях на оси ξ, η, выбранныхсоответственно вдоль e~ξ , e~η .Eξr = Ek cos(~k~r − ωt + δk),(4)Eηr = E⊥ cos(~k~r − ωt + δ⊥).Как видим, величины проекций в каждой точке пространства меняются со временем по гармоническому закону.
Чтобы найти, какуютраекторию описывает конец вектора E~ r , исключим в выражениях (4)время t. Для этого представим выражение (4) в видеEξr /Ek = cos(~k~r − ωt) cos δk − sin(~k~r − ωt) sin δk;(5)Eηr /E⊥ = cos(~k~r − ωt) cos δ⊥ − sin(~k~r − ωt) sin δ⊥.(6)Умножив уравнение (5) на cos δ⊥, а уравнение (6) на cos δk, вычтем461КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНодно из другого и получимEξrEηrcos δ⊥ −cos δk = − sin(~k~r − ωt) sin(δk − δ⊥).EkE⊥(7)Аналогично, исключая sin(~k~r − ωt) из уравнений (5) и (6), получаемEξrEηrsin δ⊥ −sin δk = − cos(~k~r − ωt) sin(δk − δ⊥).EkE⊥(8)Возведя в квадрат обе части уравнений (7), (8) и сложив их, получаем r 2 r 2EξEξr EηrEη+−2cos(δk − δ⊥) = sin2(δk − δ⊥).
(9)EkE⊥EkE⊥В общем случае это уравнение эллипса с главными осями, повернутыми относительно осей ξ, η на некоторый угол. Значит, конец вектора, вращаясь, описывает эллипс. Такую волну называют эллиптическиполяризованной.Если сдвиг фаз δ = δk − δ⊥ = π2 и Ek = E⊥ = E, эллипс превращается в окружность r 2 r 2EξEη+=1EEи поляризация будет круговой. Найдем, какой величины должен бытьпоказатель преломления диэлектрической среды, чтобы мог осуществиться сдвиг фаз δ = π2 .С помощью формул (2) найдемpδ cos ϕ sin2 ϕ − n2tg =.(10)2sin2 ϕПри полном отражении угол ϕ меняется от ϕ0, определяемом из уравнения sin ϕ0 = n, до π/2.
При этом из соотношения (10) видно, что1.5Решение типичных задач47на концах этого интервала δ = 0, а внутри – положительная функция. Значит, внутри интервала [ϕ = ϕ0, ϕ = π/2] tg 2δ , а с ним и δдостигает максимума.Максимальный сдвиг δm для конкретного диэлектрика может и неδдостигать значения π/2 ни при каком уг2π/2δmле падения. Тогда на таком диэлектрике нельзя получить круговую поляризацию1для отраженной волны (см. рисунок, кривая 1). В то же время, если δm > π/2, тоφесть два угла падения π/2– ϕ1, ϕ2 – для данного диэлектрика, при которых сдвиг фаз равен π/2 (кривая 2).Найдем из уравнения (10) угол ϕ = ϕm, при котором δ достигаетзначения δm, а затем, подставляя cos ϕm и sin ϕm в это уравнение иприравнивая δm значению π/2, находим условие для n.Чтобы найти угол ϕm, достаточно от правой части уравнения (10)взять производную по ϕ и приравнять ее нулю.
Опустив простые выкладки, напишем результат:1/2δm 1 − n2n21 − n2,tg=,n=,cos ϕm =1 + n222nn1√откуда (1 − n2)/2n = tg(π/4) = 1 и, значит, n = 2 − 1 = 0, 414.Среда 2 оптически менее плотная n2 < n1. В справочниках, как правило, даются показатели преломления n0 веществ относительно вакуума. Считая вторую среду вакуумом, для показателя преломления первой среды n01 получаем условие n01 = 1/n1 > 1/0, 414 = 2, 41.φ0 φ1φm φ2Р.8. Луч света падает на поверхность плоскопараллельной пластинки толщиной d под углом ϕ, большим угла полного внутреннегоотражения. Найти интенсивность света, прошедшего через пластинку.Электрическое поле волны параллельно поверхности пластинки.Поскольку электрическое поле параллельно поверхности пластин-481ϕКИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНϕки, то можно считать, что оно направлено по осиn <nY (см.
рисунок), т. е. существует только однаγсоставляющая поля, перпендикулярная плоскоnβсти падения (z, x). Обозначим диэлектрическиеZпроницаемости среды и пластинки соответственно ε1 и ε2. Магнитные проницаемости положим µ1 = µ2 = 1. Падающую `, отраженную r и прошедшую d через пластинку волны запишемв следующем виде:n1X211E ` = E0`ei(ωt−k1x sin ϕ−k1z cos ϕ), z ≤ 0,E r = Rei(ωt−k1x sin ϕ+k1z cos ϕ), z ≤ 0,E d = Rei(ωt−k1x sin β−k1z cos β), z ≥ 0.Поле внутри пластинки (см. задачи Р.
1, Р. 4)E2 = A1ei(ωt−k2x sin γ−k2z cos γ)+A2ei(ωt−k2x sin γ+k2z cos γ), 0 ≤ z ≤ d.~ k1 — значение волнового вектора~ = c [~k × E],Для всех волн Hωволн в среде, k2 — в слое. Обозначения углов понятны из рисунка.~ H~ на верхней границе пластинки z = 0Из граничных условий для E,следуетE0`ei(ωt−k1x sin ϕ)+Rei(ωt−k1x sin ϕ) = A1ei(ωt−k2x sin γ)+A2ei(ωt−k2x sin γ),или с учетом k1 sin ϕ = k2 sin γE0` + R = A1 + A2;(1)k1 cos ϕ(E0` − R) = k2 cos γ(A1 − A2).(2)При z = d граничные условия даютA1e−ik2d cos γ + A2eik2d cos γ = De−ik1d cos ϕ;(3)k2 cos γ(A1e−ik2d cos γ − A2eik2d cos γ ) = k1D cos ϕe−ik1d cos ϕ.
(4)1.5Решение типичных задач49При написании условий (3), (4) использовано β = ϕ, потому чтоk1 sin ϕ = k2 sin γ = k1 sin β. Из уравнений (1)–(4) после несложных преобразований найдемD2idκeiαd=.E0` (κ 2 − α2) sh κd + 2iακ ch κdЗдесь введены обозначенияα = k1 cos ϕ =ωn1 cos ϕ,cqωκ=n21 sin2 ϕ − n22.cПоскольку n2 < n1, тоs 2qn1ωω2sin ϕ = in21 sin2 ϕ − n22,k2 cos γ = n2 1 −cn2cт. е.
k2 cos γ = iκ. Если пластинка — это вакуумный слой, а у средыдиэлектрическая проницаемость ε, то n21 = ε, n22 = 1 иqωω√κ=ε sin2 ϕ − 1, α =ε cos ϕ.ccИнтенсивность света, прошедшего через слой, найдем (см. задачу Р. 4)изI|D|2|2iακeiαd|2===I0 |E0`|2 |(κ 2 − α2) sh κd + 2iακ ch κd|24κ 2α2=.2222224κ α ch κd + (κ − α ) sh κdОкончательноκ 2 − α2 2 2I = I0/[ch κd + () sh κd].2κα2501КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНР.9. Плоская монохроматическая линейно поляризованная волнападает по нормали на проводящую бесконечно тонкую пластину, для~ где ~j — ток через единицукоторой имеет место закон Ома ~j = σ E,длины, а σ — соответствующая проводимость.
Найти коэффициентпрохождения волны.Пусть проводящая поверхность будет плоскостью (X, Y ). Поскольку волна падает по нормали, то напряженность электрического поля~ лежит в плоскости (X, Y ) и, не умаляя общности, ось X можноE~ Тогда магнитное поле будет направлено по осинаправить вдоль E.Y . Граничные условия в этой ситуации будут следующими: тангенциальная составляющая напряженности электрического поля остаетсянепрерывной, тангенциальная составляющая напряженности магнит~ (что следует из третьего уравнения системы уравненийного поля HМаксвела задачи Р. 1) будет терпеть разрыв H1y |−H2y | = 4πc j, потому что по проводящей поверхности вдоль оси X потекут токи j = σE.Если обозначить значками `, r, d соответственно падающую, отраженную и прошедшую волны, то граничные условия (см.
задачи Р. 2,Р. 4) будут иметь видE ` + E r = E d,4πσ `E` − Er − Ed =(E + E r ),cоткуда|E d|21=.|E `|2 (1 + 2πσ/c)2Р.10. Найти радиус кривизны светового луча при его распространении в прозрачной среде с медленно меняющимся показателем преломления n.Решением волнового уравнения, описывающего распространение электромагнитной волны в среде с показателем преломления n,1.5Решение типичных задач51зависящим от координат, уже не будут плоские волны.
Обязательным свойством плоской волны является наличие факта, что поверхностью постоянной фазы, называемой волновой поверхностью, являетсяплоскость бесконечной протяженности. Скорость движения волновойповерхности и амплитуда такой волны остаются постоянными в пространстве и во времени, а волновой вектор, определяющий направление распространения волны, направлен перпендикулярно волновойповерхности.При распространении волны в среде, коэффициент преломлениякоторой непрерывно меняется от точки к точке, разные части волнового фронта будут распространяться с разными скоростями, что приведет к его деформации. Однако в случае медленно изменяющегося показателя преломления волну можно рассматривать как плоскую в каждом небольшом участке пространства и говорить о направлении распространении волны, нормальном к волновой поверхности. При этомвводится понятие лучей, которые являются линиями, ортогональными к поверхностям одинаковых фаз.