1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Найти коэффициент отражения волны.Направим ось Z перпендикулярно слою вниз, так что верхняя поверхность пленки занимает плоскость z = 0, а нижняя — плоскостьz = d. При падении волны на слой в пространстве возникает волновое поле в зависимости от координат и времени, в общем случаеотличное от поля падающей волны. Для того чтобы найти это поле,нужно решить волновые уравнения, написанные для каждой из областей z ≤ 0, 0 ≤ z ≤ d, z > d, и на плоскостях z = 0 и z = dудовлетворить граничным условиям (см. задачу Р.
1). Частным решением волнового уравнения является плоская волна. Понятно, что дляz < 0 кроме падающей волны~` = E~ 0`e−i(ωt−k1z), z ≤ 0Eможет распространяться и отраженная волна, являющаяся результатом многократных отражений от верхней и нижней границ слоя и ихинтерференции, которую обозначим~ r = Re~ −i(ωt+k1z), z ≤ 0.EВнутри слоя 0 ≤ z ≤ d поле E~2 по тем же причинам, что и для z ≤ 0,будет состоять из полей двух плоских волн, распространяющихся вдвух взаимно противоположных направлениях, которое представимов виде0 −i(ωt+k2 z)~ 20e−i(ωt−k2z) + E~ 20E~2 = Ee, 0 ≤ z ≤ d.За слоем z ≥ d может распространяться только прошедшая черезслой волна.
Запишем ее в виде~ −i(ωt−k1z), z ≥ d.E~ d = DeВ приведенных выше формулах учтено, что волны распространяются вдоль оси Z, поскольку падающая волна не имеет тангенциальной1.5Решение типичных задач39составляющей волнового вектора ~k по условию задачи. В каждой изволн напряженность магнитного поля связана с напряженностью электрического поля соотношением~ = c [~k × E].~H(1)ωµПоскольку ось X лежит в плоскости верхней границы слоя, то, неумаляя общности, при нормальном падении можно считать, что век~ ` направлен по X, тогда векторы напряженностей электричетор Eских полей всех остальных волн направлены по X, а напряженностимагнитных полей по Y . При переходе через границу двух сред остаются непрерывными тангенциальные составляющие (т.
е. проекции награницу раздела) напряженностей электрического и магнитного полей(см. задачу Р. 1).Чтобы записать граничные условия, мы должны в один момент времени зафиксировать поля на границе с обеих сторон границы и приравнять их. Поскольку в нашем случае тангенциальные составляющие напряженностей являются полными напряженностями, то непрерывность электрического поля и непрерывность магнитного поля приz = 0 с учетом уравнения (1) выразятся следующим образом:0E0` + R = E20 + E20;(2)0k1(E0` − R) = k2(E20 − E20).(3)А при z = d будем иметь0 −ik2 dE20eik2d + E20e= Deik1d;(4)0 −ik2 dk2(E20eik2d − E20e) = k1Deik1d.(5)При написании соотношений (2)–(5) учтено, что для всех сред µ = 1.401КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНКоэффициент отражения ρr есть отношение энергии, переносимойотраженной волной через единичную площадку в единицу времени,к энергии, переносимой падающей волной через единичную площадку в единицу времени. Эти энергии равны средним значениям векторов Пойнтинга соответствующих волн (см.
задачу Р.2). Используярезультаты этой задачи, имеем: среднее значение вектора для Пойнтинга падающей волны равноc√S¯` =ε1(E0`)2,8πгде амплитуда падающей волны E0` — действительная величина. Дляотраженной волны амплитуда R может быть комплексной, тогда вектор Пойнтинга выразится следующим образом:√c~ ×H~ ∗]| = ε1c RR∗ = c √ε1|R|2.|S¯r | = |Re[E8π8π8π√Здесь учтено, что H r = −c ε1Re−i(ωt+k1z).Окончательно, коэффициент отражения таков:|S¯r ||R|2rρ = ¯ = ` 2.(6)`|S | (E )0Из уравнений (2)–(5) выразим R через E0`.
Опуская простые арифметические вычисления, приводим окончательное выражение для R:(k22 − k12)[ei2k2d − 1]E0`.R=(k2 + k1)2 − (k2 − k1)2ei2k2dПосколькуω√ωεi = n i ,ccгде εi – диэлектрическая проницаемость, ni – показатель преломления i-й среды, и, вводя относительный показатель преломленияn = n2/n1, получаемki =(n2 − 1)(ei2k2d − 1)E0`;R=(n + 1)2 − (n − 1)2ei2k2d1.5Решение типичных задач41R представляет собой отношение комплексных чисел.
Модуль такоговыражения проще найти как отношение модулей числителя и знаменателя, поскольку|(n2 − 1)(e−i2k2d − 1)|2 = (n2 − 1)24 sin2 k2dи|(n + 1)2 − (n − 1)2e−i2k2d|2 = (4n)2 + 4(n2 − 1)2 sin2 k2d,тогда(n2 − 1)2 sin2 k2d` 2(E).|R| = 2024n + (n2 − 1)2 sin k2dДля коэффициента отражения получим выражение2(n2 − 1)2 sin2 k2d.ρ = 24n + (n2 − 1)2 sin2 k2dПри решении задачи мы нигде не учитывали, что толщина слоямного меньше длины падающей волны λ, поэтому полученный коэффициент отражения справедлив и для толстых слоев. При k2d =mπ или d = (λ2/2)m, где m — целое положительное число, λ2— длина волны в слое, ρ = 0, пленка становится прозрачной.
Если пленка тонкая, так что k2d 1, что соответствует 2πλ n2 d 1, то22sin k2d ≈ (k2d) , а в знаменателе вторым слагаемым можно пренебречь по сравнению с первым, тогдаr2(n2 − 1)2 4π 2n2d22 22dρ =·= π (n − 1) 2 .4n2λ2λrР.5. При каком угле падения волна с произвольной поляризациейпосле отражения от плоской границы диэлектриков становится плоскополяризованной?Для определения амплитуд отраженной и проходящей волн используются граничные условия: непрерывность проекций на плоскость раз~ иH~ возникающего волнового поля.
Придела двух сред векторов E421КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНэтом электрическое поле каждой волны разлагают на две составляющие. Одна из них лежит в плоскости падения, другая перпендикулярнаэтой плоскости. Они обозначаются символами k и ⊥ соответственно.Отношение амплитуд соответствующих проекций отраженной R и падающей E волн, называемые коэффициентами Френеля, равныR⊥ n1 cos ϕ − n2 cos ψ Rk n2 cos ϕ − n1 cos ψ=,=,E⊥n1 cos ϕ + n2 cos ψ Ekn2 cos ϕ + n1 cos ψгде n1, n2 — показатели преломления первой и второй среды соответственно, ϕ, ψ — угол падения и преломления.
Углы отсчитываются от нормали к плоскости раздела, волна падает из первой среды вовторую. Поскольку n1 sin ϕ = n2 sin ψ (см. задачу Р. 1), то коэффициенты Френеля можно представить в видеsin(ϕ − ψ) Rk tg(ϕ − ψ)R⊥=−,=.E⊥sin(ϕ + ψ) Ektg(ϕ + ψ)При ϕ + ψ = π2 знаменатель tg(ϕ + ψ) во второй формуле обращается в бесконечность. В этом случае Rk = 0. Это значит, чтопри некотором угле падения отражение волны исчезает, если электрический вектор падающей волны лежит в плоскости падения. Отношение Rp⊥ /E⊥ никогда не обращается в нуль, за исключением случаяtg ϕ = µ2(E2µ1 − E1µ2)/µ1(E1µ1 − E2µ2), µ 6= 1.Найдем угол ϕB (угол Брюстера), при котором Rk = 0.
Поскольку ϕB + ψB = π2 , то cos ϕB = sin ψB = n1 sin ϕB /n2, откудаtg ϕB = n2/n1. Если волна с произвольной поляризацией падает подуглом ϕB , то составляющая с электрическим вектором Ek отражатьсяне будет. В отраженной волне будет только составляющая R⊥, т. е.волна окажется линейно поляризованной и притом перпендикулярнаплоскости падения.Р.6.
Большое число (N + 1) поляроидов уложено в стопку. Оськаждого последующего поляроида составляет угол α с осью предыдущего, так что ось последнего образует с осью первого угол θ = αN .1.5Решение типичных задач43Найти интенсивность света на выходе из стопки, если на входе падаетлинейно поляризованный свет интенсивности I0 с направлением вектора E~0 вдоль оси первого поляроида. Поляроиды считать идеальными, потерями на отражение света пренебречь. Оценить интенсивностьпри θ = 900 и N = 50.Поляроиды — это искусственно приготовляемые коллоидные пленки, служащие для получения поляризованного света. У поляроидовесть выделенное направление, называемое оптической осью поляроида. Они обладают способностью сильно поглощать световые лучи, укоторых электрический вектор перпендикулярен к оптической оси, и~пропускать без поглощения лучи, у которых электрический вектор Eпараллелен оси.После прохождения первого поляроида интенсивность волны не изменится, поскольку по условию задачи у падающей волны вектор E~0направлен вдоль оптической оси поляроида.
Пусть амплитуда падаюkkщей волны будет E0, тогда E1 = E0, где E1 — амплитуда волны после прохождения первого поляроида. У второго поляроида ось направ~kлена под углом α по отношению к E1 . Представляя волну с вектором~k~E1 в виде суперпозиции двух волн, одна из которых имеет вектор E,~kпараллельный оптической оси E2 , другая — в перпендикулярном направлении E~2⊥, заключаем, что после второго поляроида волна будетиметь амплитудуkkE2 = E2 = E1 cos α = E0 cos α.Ei⊥Ei −1αосьEii = N + 1, EN +1Понятно, что прохождение через каждый последующий поляроид добавляет в качествемножителя к напряженности электрическогополя падающей волны cos α. После прохождения i-го поляроида Ei = E0(cos α)i−1. При= E0(cos α)N .
Так как интенсивность падающей44волны I0 =роидов,1c24π E0 ,КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНто интенсивность света, проходящего стопку поля-c 2EN +1 = I0(cos α)2N .4π0При θ = 90 и N = 50 α = θ/N = 1, 80 ≈ 3 · 10−2 рад. Каквидим, α << 1, тогда для вычисления степени косинуса малого углавоспользуемся его разложением в ряд Тейлора. Поэтому100I51 = I0(cos(3·10−2))100 ≈ I0[1−·(3·10−2)2] = I0(1−0, 05) = 0, 95I0.2IN +1 =Р.7. Показать, что после полного внутреннего отражения от границы диэлектрика линейно поляризованная волна приобретает в общемслучае эллиптическую поляризацию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
