1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Оценить изменение амплитуды электрического поля электромагнитной волны, запущенной вдоль оси линейно расширяющегосяволновода, с частотой много больше критической.а=3см2.41. Оценить скорость расплывания прямоугольного импульсадлительностью τ ∼ 10−9 с, запущенного в пуb=5смстой волновод прямоугольного сечения 3 · 5см2.2.42. СВЧ-сигнал с несущей частотой ω = 1, 2·1011c−1 представляет собой два всплеска (см. рисунок)с τ1 ' 10−9 с и τ2 ' 5 · 10−9 с.
Этот сигналtпередается в виде H10-волны по прямоугольτττному волноводу с сечением a×b = 1см×2см.Оценить, при какой длине волновода еще можно на выходе зарегистрировать этот сигнал?1232.43. Оценить длину затухания E11-волны с частотойω = 1, 4 · 1011 c−1 в медном волноводе квадратного сечения (a = 1 см).Проводимость меди σ = 5 · 1017c−1.2.44.
Определить собственные электромагнитные колебания в полом (ε = µ = 1) резонаторе, имеющем форму параллелепипеда с ребрами a × b × c.2.45. Определить минимальную частоту собственных колебаний662ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИэлектромагнитного поля внутри резонатора из задачи 2.44 с размерами 1 × 10 × 20 см3.2.46. Показать, что для любого собственного электромагнитногоколебания в полом резонаторе средние энергии электрического и магнитного полей равны.2.47.
В резонаторе, имеющем форму куба с ребром a, возбуждена основная мода колебаний, в которой отлична от нуля x-компонентаэлектрического поля. Найти величину и направление сил, действующих на стенки резонатора, если полная энергия электромагнитного поля в резонаторе равна W .2.5.Решение типичных задачР.13.
Найти групповую скорость волнового пакета, состоящего издвух плоских волн с близкими частотами ω0 ± ∆ω, распространяющихся в диспергирующей среде.Пусть в направлении оси Z распространяются две плоские волны содинаковой поляризацией, одинаковой амплитудой E0 и различнымичастотами ω1 = ω0 − ∆ω, ω2 = ω0 + ∆ω. Волновые числа равныk1 и k2 соответственно.
Напряженность результирующего поля равнасумме напряженностей обеих волн в силу принципа суперпозицииE = E0 cos(ω1t + k1z) + E0 cos(ω2t − k2z + α) =ω2 − ω1k2 − k1αω2 + ω1k2 + k1α= 2E0 cost−z+cost−z+.222222(1)Каждая из волн является решением волнового уравнения, для которой k = ωc n, где n — показатель преломления среды.
Если среда обладает дисперсией, тогда показатель преломления n зависит от частоты и естественно предположить, что n1 = n0 − ∆n1, n2 = n0 + ∆n22.5Решение типичных задач67(n0 — показатель преломления при частоте ω0), ∆n1 ≈ ∆n2 = ∆n,∆n << n0, так как ∆ω << ω0.
Тогда, отбрасывая величины второгоω1 +ω2k1 +k2n0 ω01порядка малости, получаем ω2−ω=∆ω,=ω,=02222 =01≈ n0c∆ω + ∆nω= ∆k и выражение (1) примет видk0, k2−k2cα αE = 2E0 cos ∆ωt − ∆kz +· ω0t − k0z +. (2)22Эту результирующую волну можно рассматривать как волну с частотой ω0 и волновым числом k0, но с медленно и притом непериодически меняющейся амплитудой A = 2E0 cos(∆ωt − ∆kz + α2 ).
Волна (2), строго говоря, уже не будет гармонической, но при ∆ω << ω0и ∆k << k0 изменение модулированной амплитуды A в пространстве и во времени происходит за период TA = 2π/∆ω и на длинеλA = 2π/∆k, которые много больше периода T0 = 2π/ω0 и длиныволны λ0 = 2π/k0 соответственно. Для определения скорости перемещения фазы волны (2) выберем какое-нибудь значение фазы, положивαω0t − k0z + = const .(3)2Переписывая выражение (3) в виде2 const +α ω0+ t,z=2k0k0заключаем, что точка, где находится значение выбранной нами фазы,движется со скоростью v = ω0/k0. Чему равна скорость перемещенияданного значения амплитуды? Амплитуда A будет постоянной, еслипостоянен аргумент под косинусом в A, т. е.α∆ω · t − ∆k · z + = const,2или∆ω2 constz=t+α−.∆k2∆kОтсюда видно, что точка, где находится значение выбранной амплитуды, движется со скоростью v = ∆ω/∆k, называемой групповойскоростью.682ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИР.14.
Найти волновой пакет для момента времени t = 0, если егоамплитудная функция имеет гауссовский вид" 2 #k − k0a(k) = a0 exp −.∆kВолновой пакет — это результирующее поле, полученное путемналожения гармонических волн с непрерывно меняющимся волновымвектором ~k. В нашем случае закон изменения k дается в условии задачи выражением a(k), поэтомуZ ∞E(z, t) =a(k)ei(ωt−kz)dk.−∞При t = 0 имеемZ∞a(k)e−ikz dk = a0E(z, 0) =−∞Z∞k−k 2− ∆k0 −ikzedk.(1)−∞Делая в уравнении (1) заменуξ=∆kzk − k0+i,∆k2получаем−ik0 z −z 2 ∆k 2 /4E(z, 0) = a0eZ∞e−ξ 2e√dξ = a0∆k πe−z 2 ∆k 24e−ik0z .−∞Р.15. Определить форму и движение волнового пакета, состоящегоиз плоских волн одинаковой амплитуды a0 и с волновыми векторами,лежащими в области |~k − k~0| ≤ q. Дисперсия среды линейна∂ω ω(~k) = ω0(k~0) +(~k − k~0),∂~k ~k=k~0k~0, q — постоянные.2.5Решение типичных задачВыражение ∂ω∂~k ~k=k~069∂ω — это вектор с компонентами ∂k,x∂ω ∂ky ,∂ω ∂kz .Тогда зависимость частоты ω от ~k будетω(~k) ∼= ω0 + ux(kx − k0x) + uy (ky − k0y ) + uz (kz − k0z ),(1)где ω0 = ω(k0).
Сложная зависимость ω от k возникает в связи стем, что диэлектрическая проницаемость вещества, а с ней и показатель преломления n зависят от частоты волны или от k. Для каждойckплоской волны выполняется соотношение ω = n(k). Видом этой функции определяется закон дисперсии волны. Учтем, что в нашем случаедисперсия среды линейна. Тогда волновой пакет, являющийся суперпозицией плоских волн с одинаковыми амплитудами a0 и различнымичастотами, удовлетворяющими соотношению (1), запишется так:ZZ~~ ~~E(~r, t) = E0 ei(ωt−k~r)d~k = a0 ei{[ω0+~u(k−k0)]t−(k~r)}dkxdky dkz .(2)Интеграл (2) — трехмерный по области |~k − k~0| ≤ q. Учитывая,что (~u~k) = uxkx + uy ky + uz kz и вводя вектор ρ~ = ~r − ~ut, запишемZ~~ ~E(~r, t) = a0ei(ω0t−~rk0) e−i~ρ(k−k0)dkxdky dkz .(3)Перейдем от интегрирования по ~k в декартовой системе координатк интегрированию в сферической системе координат с полярной осьювдоль вектора ρ~ и с началом в точке k~0.
ПолучимZ qZ π0~2e−iρk cos θ 2πk 0 dk 0 sin θdθ,(4)E(~r, t) = a0ei(ω0t−~rk0)00где k~0 = ~k − k~0. Интегрируя правую часть уравнения (4) по θ, получаемZ q1~E(~r, t) = 4πa0ei(ω0t−k0~r) ·sin ρk 0 · k 0dk 0.ρ 0702ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИОкончательно4πa0qE(~r, t) =ρ2sin ρq~− cos ρq ei(ω0t−k0~r).ρq(5)Выражение (5), описывающее результирующее поле, можно представить в виде произведения двух сомножителей:4πa0q sin ρqi(ω0 t−k~0~r)A(~r, t) =иe.ρ2ρqВторой из них представляет бегущую волну, однородную в пространстве со средней частотой ω0 и волновым вектором k~0. Множитель A(~r, t) можно рассматривать как амплитуду результирующей волны, которая заметно отлична от нуля только в пространственной области ρq ≤ 1 и одинакова при равных ρq.
Например, при ρq = 0, т. е.ρ = 0, амплитуда максимальна и равна 2πa0q 3. Но ρ = |~r − ~ut|равно нулю в точке ~r = 0 в момент времени t = 0 и в последующиемоменты времени в точках, определяемых радиусом вектором ~r = ~ut.Таким образом, результирующее поле в действительности представляет волновой пакет, т. е. ограниченное в пространстве возмущение,которое движется как целое без изменения формы с групповой скоро.стью ~u = dωd~kР.16. Исследовать «расплывание» одномерного волнового пакета сгауссовской амплитудной кривой a(k) = a0 exp{−α(k − k0)2}, учитывая квадратичные члены в дисперсии.В задаче (Р. 15) рассмотрено движение волнового пакета, когдаквадратичные члены в дисперсии не учитывались. Получено, что волновой пакет движется, не «расплываясь».
Исследуем этот вопрос вслучае, когда в законе дисперсии присутствует квадратичныйчлен, т. е.dω 1 d2 ω 2ω(k) = ω0 +u(k − k0)+β(k − k0) , где u = dk , β = 2 dk2 .(k=k0 )(k=k0 )2.5Решение типичных задач71Волновой пакет выразится интеграломZ ∞E(~r, t) =a(k)ei(ωt−kz)dk =−∞Z2= a0ei(ω0t0−kz) e−[(k−k0) (α−iβt)+i(k−k0)(z−ωt)]dk.Обозначим γ = α − iβt, ξ = z − ut. Делая замену k1 = k − k0и дополняя до полного квадрата показатель экспоненты, получаемZ ∞√iξ 2ξ2−(k1 γ+ 2√i(ω0 t0 −kz)− 4γγ)edk 0 =E(z, t) = a0ae−∞ξ2− 4γ= a0e√πei(ω0t0−kz) √ .γОкончательноrE(z, t) = a0(z−ut)2π− 4(α−iβt) i(ω0 t0 −kz)e.eα − iβtПоскольку амплитуда волныrE(z, t) = a0(z−ut)2π− 4(α−iβt)eα − iβtкомплексна, то проще исследовать характер зависимости пакета от z иt, образовав квадрат модуля амплитуды, так как именно он определяетинтенсивность волны:22πaα(z−ut)0|E(z, t)|2 = |E0(z, t)|2 = p.
(1)exp −2 + β 2 t2 )2222(αα +β tИз этого выражения видно, что полуширинакривой интенсивноp22 2сти растет со временемp по закону ∆z = 2(α + β t )/α, а высота убывает как 1/ α2 + β 2t2. Волновой пакет расплывается, но длявремени t << α/β пакет мало деформируется, и можно говорить оего распространении со скоростьюdω ,u=dk (k=k0)722ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИназываемой групповой.Р.17. Волновой пакет длиной ` входит в среду с дисперсией ω(k) =u(k − k0) + β(k − k0)2. Оценить его размер после прохождения слоятолщиной d.Используя решение задачи Р. 16 (формула 1), для модуля амплитуды волнового пакета находим√2πa0α(z − ut)|E0(z, t)| = 2exp−.4(α2 + β 2t2)(α + β 2t2)1/4Из этого выражения видно, что полуширина волнового пакета (расстояние, на котором амплитуда уменьшается в e раз) определяетсямножителем в показателе экспоненты, равномp∆z(t) ≈ 4(α2 + β 2t2)/α,а сам пакет движется с групповой скоростью u.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
