1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 12
Текст из файла (страница 12)
е. α0F > λd F . Значит, условие выглядит так:α0 > λ/d.(1)Принимая d ∼ 1см и учитывая α0 = 2RJ/`сред = `JθJ/`сред,получаем λ/d = 5 · 10−5, `JθJ/`сред = 2, 5 · 10−4. Неравенство (1)выполняется. Солнце с орбиты Плутона выглядит как кружок.802ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИР.26. Оценить максимальные длины волн, на которых возможны:а) радиовещание; б) телевидение.а) Частоты слышимых звуковых волн лежат в диапазоне 20÷20 000 Гци относятся к низким частотам. Для передачи речи или музыки требуются частоты от 100 Гц до нескольких тысяч.
Например, частотасамой высокой ноты около 4 000 Гц. Но непосредственная передача низкочастотных сигналов радиоволнами тех же частот невозможнаиз-за трудности их генерации. Дело в том, что для передачи сигналовиспользуют излучающие антенны. Это замкнутые провода или системы проводов, по которым текут переменные токи.
Мощность же излучения пропорциональна четвертой степени частоты ω 4. Поэтому антенны, по которым текут низкочастотные токи, излучают слабо. Кроме того, длина антенны должна быть порядка длины волны, что длячастоты, например, 1 000 Гц составляет ` ∼ λ = c/ν ∼ 300 км.Антенну такой длины весьма трудно построить.
Кроме того, строгомонохроматическая волна, имеющая везде одинаковую амплитуду, негодится для передачи сигналов. Чтобы передать информацию, сигналдолжен иметь некоторые границы во времени. Этого можно добиться, например, с помощью модулирования амплитуды волны. Поэтомув радиовещании передачи осуществляются волнами высокой частотыв диапазоне 105 ÷ 108 Гц модулированными низкочастотными сигналами. При амплитудной модуляции волны имеют видE = E0(1 + A sin(Ωt)) sin(ωt),где несущая частота ω — из диапазона 105 ÷ 108 Гц, а Ω — звуковаячастота.
Эта волна на самом деле состоит из трех монохроматическихволн с частотами ω − Ω, ω, ω + Ω (см. задачу Р. 13).Если звуковая частота Ω ω, что на самом деле имеет место, тодлина волны, соответствующая самой малой частоте ω − Ω, незначительно отличается от длины волны несущей частоты. Максимальная длина волны определяется минимальной несущей частотой 105Гц,2.5Решение типичных задач81λ = (3 · 108м/с)/105 1/c = 3 · 103 м.б) Оценим количество команд, которые нужно передать электронному пучку при его движении по экрану. На экране размером 50 × 50 смна расстоянии 1 мм друг от друга можно разместить 250 000 управляемых точек.
Луч к каждой точке экрана должен возвращаться через1с с командой «загореться» или «потухнуть», потому что изоб∼ 25ражение должно воспроизводиться 25 раз в секунду. Таким образом,сам луч получает в секунду 25 · 250 000 команд и, значит, длительность τ каждой команды (импульса в антенне) не должна превышать10−7с. Чтобы сформировать импульс такой длительности, необходимдиапазон частот ∆ν ∼ τ −1 ≥ 107 Гц, так как ∆ν · τ ≥ 1. Несущаячастота для телевизионного канала лежит в диапазоне 40 ÷ 200 мГц.Отсюда максимальная длина волны3 · 108 м/с= 10 м.λ∼(40 ÷ 30) · 106 ГцР.27. Показать, что в прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками не могут распространяться чисто поперечные волны.Волновод представляет собой полость неограниченной длины.
Распространение электромагнитных волн в волноводе принципиально отличается от распространения неограниченных в пространстве плоскихволн. Пусть длины сторон прямоугольного сечения равны a и b, осьZ направлена вдоль волновода, а среда, заполняющая волновод, характеризуется диэлектрической и магнитной проницаемостями соответственно ε и µ.Граничные условия для векторов поля на поверхности волновода —это граничные условия для идеального проводника. Поскольку внутриидеального проводника отсутствует электрическое и магнитное поле,то на поверхности волновода должны выполняться следующие усло-822ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИвия:Eτ | = 0;(1)Hn| = 0;(2)4πjпов;c(3)En| = 4πσ/ε,(4)Hτ | =где индексы τ и n означают соответственно тангенциальные и нор~ и H,~ jпов и σ — плотности помальные составляющие векторов Eверхностного тока и заряда.Если в начале волновода (при z = 0) попытаться возбудить монохроматическую плоскую волну, то естественно допустить, что в волноводе возникает бегущая вдоль Z волна, для которой зависимость E иH от z дается множителем e−ikz z с постоянным kz , т.
е.~ = E~0ei(ωt−kz z), H~ =H~ 0(x, y)ei(ωt−kz z).E(5)Волновые уравнения для E и H имеют вид~1 ∂ 2E~∆E = 2 2 ;v ∂t(6)~1 ∂ 2H~∆H = 2 2 ,(7)v ∂t√где v = c/ εµ. Подставляя соотношения (5) в уравнения (6), (7),получаем∂ 2E~0 ∂ 2E~02~+=−κE0;(8)∂x2∂y 2~ 0 ∂ 2H~0∂ 2H~ 0,+= −κ 2H22∂x∂y(9)2.5Решение типичных задачгде κ 2 =нениямиω2v283− kz2. Связь между векторами E и H определяется урав-~~ε ∂Eµ ∂H~~, rotH =.(10)rotE = −c ∂tc ∂tЗаписывая эти уравнения по компонентам и подставляя в них решение в виде выражений (5), получаем∂Ez0iµωHx0 = −ikz Ey0 −;c∂y(11)∂Ez0iµωHy0 = ikz Ex0 +;c∂x(12)∂Exo ∂Ey0iµωHz0 =−;c∂y∂x(13)iεω∂Hz0Ex0 = ikz Hy0 +;c∂y(14)iεω∂Hz0Ey0 = −ikz Hx0 −;c∂x(15)iεω∂Hxo ∂Hy0Ez0 =−.(16)c∂y∂xФормулы (11)–(16) позволяют выразить компоненты векторов Ex0,Ey0, Hx0, Hy0 через Ez0 и Hz0:∂Ez0 iωµ ∂Hz01+;(17)Ex0 = − 2 ikzκ∂xc ∂y1∂Ez0 iωµ ∂Hz0Ey0 = − 2 ikz−;(18)κ∂yc ∂x1 iεω ∂Ez0∂Hz0Hx0 = − 2− ikz;(19)κc ∂y∂z842Hy0ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ1=− 2κiεω ∂xEz0∂Hz0−− ikzc ∂y∂y.(20)~ иH~ перпендикулярКак известно, для плоских волн векторы Eны направлению распространения, т.
е. если волна распространяется вдоль оси Z, как в нашем случае, то для такой волны Ez = 0 иHz = 0. Из полученных формул (17)–(20) ясно, что Ez0 и Hz0 одновременно не могут быть равны нулю, поскольку в этом случае все~ иH~ будут равны нулю, если только κ 6= 0.компоненты векторов EЕсли κ = 0, что означает ω 2 = v 2kz2 и имеет место для плоской монохроматической волны в неограниченной среде, то тогда уравнение (9)запишется в виде~0~ 0 ∂ 2H∂ 2H+= 0.∂x2∂y 2Магнитное поле в этом случае удовлетворяет двумерному уравнению Лапласа с таким граничным условием, что на сторонах прямоугольника x = 0, a; y = 0, b поле направлено вдоль границы.
Ре~ = 0. Но есшением такой краевой задачи, как известно, служит Hли отсутствует магнитное поле, то равно нулю и электрическое поле.Таким образом, чисто поперечные электромагнитные волны не могутраспространяться в прямоугольном волноводе с идеально проводящими стенками. Следует заметить, что этот вывод относится к любымволноводам, выполненным в виде простой трубы любого сечения, поскольку в процессе вывода мы нигде не использовали явный вид формы сечения.Р.28.
Найти связь между поперечными компонентами полей и продольной составляющей электрического поля Ez для монохроматической E-волны, распространяющейся вдоль прямоугольного пустоговолновода. Найти уравнение для составляющей поля Ez . То же дляH-волны. Определить типы волн, которые могут распространяться в2.5Решение типичных задач85таком волноводе.Из формул (17)–(20) предыдущей задачи следует, что в волноводе могут распространяться волны типа:1) Ez 6= 0, Hz = 0;2) Ez = 0, Hz 6= 0.В первом случае магнитное поле в волне является чисто поперечным, поскольку Hz = 0, Hz 6= 0, Hy 6= 0. Это E-волна или T M волна. Во втором случае электрическое поле имеет поперечный характер, а магнитное поле имеет продольную и две поперечные компоненты.
Такая волна называется H-волной или T E-волной.Для E-волны в пустом волноводе (ε = µ = 1) формулы (17)–(20)из предыдущей задачи примут видikz ∂Ez0ikz ∂Ez0, Ey0 = − 2,(1)Ex0 = − 2κ ∂xκ ∂yHx0 = −iω ∂Ez0iω ∂Ez0,H=−,y0cκ 2 ∂ycκ 2 ∂x(2)где κ 2 = (ω 2/c) − kz2.~Таким образом, в E-волне все поперечные компоненты векторов E~ могут быть выражены через продольную компоненту электричеиHского поля Ez0, которая определяется путем решения волнового уравнения (см.
уравнение (8) из предыдущей задачи):∂ 2Ez0 ∂ 2Ez02++κEz0 = 0.∂x2∂y 2(3)~ иАналогичным образом в H-волне поперечные составляющие E~ могут быть выражены через продольную компоненту магнитногоHполя Hz0 следующим образом:ikz ∂Hz0ikz ∂Hz0Hx0 = − 2, Hy0 = − 2;(4)κ ∂xκ ∂y862ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИiω ∂Hz0iω ∂Hz0,E=−.y0cκ 2 ∂ycκ 2 ∂xПродольное же поле Hz0 находится из уравненияEx0 = −∂ 2Hz0 ∂ 2Hz0++ κ 2Hz0 = 0.22∂x∂y(5)(6)Для выполнения граничного условия к уравнению (3), заключающегося в обращении в нуль касательных составляющих на стенке волновода (см.
формулу (1) из предыдущей задачи), достаточно потребовать Ez0 = 0 на контуре сечения волновода. Граничное условие уравнения (6), обеспечивающее, согласно формулам (1)–(2) предыдущей~ можно предзадачи, обращение в нуль нормальной компоненты H,z0ставить в виде ∂H∂n = 0 на контуре сечения.Решением уравнения (3) с соответствующим граничным условиембудет функцияEz0 = A sin(kxx) · sin(ky y),где kx = απ m, ky = πb n, a, b — длины сторон прямоугольного сечениявдоль осей X и Y с началом координат в углу волновода соответственно, m и n — целые числа, не равные нулю, причемkx2 + ky2 + kz2 = ω 2/c2.Тогда поле Ez будет иметь видEz = A sin(kxx) · sin(ky y)ei(ωt−kz z).(7)~ и зависит от чисел mВолна имеет продольную компоненту вектора Eи n. Ее называют Emn-волной.
Это — волна, бегущая в положительном направлении оси Z и стоячая в плоскостях z = const. Скоростьраспространения волны вдоль волноводаuz =∂ω= c2kz /ω.∂kz2.5Решение типичных задач87~ и компоненты поля H~ находятся изОстальные компоненты поля Eуравнений (1) и (2). У стенок волновода линии магнитного поля тангенциальны к поверхности и образуют замкнутые кривые, охватывающие продольные линии электрического поля.Аналогичным образом, для H-волны получимHz = B cos(kxx) · cos(ky y)ei(ωt−kz z),(8)где kx = πa m, ky = πb n. Здесь m и n — целые числа, причем каждое из этих чисел, но не оба одновременно, может принимать значение нуль.
Остальные компоненты находятся из уравнений (4), (5).Вид волны зависит от целых чисел m и n, поэтому называется волнойHmn.Р.29. Найти распределение тока в стенках пустого волновода прямоугольного сечения a × b, в котором распространяется H10(E11)волна.Ток, текущий по поверхности волновода, находится из различных~ умноженусловий и равен тангенциальной составляющей вектора H,ный на коэффициент c/4π (см. уравнение (3) задачи Р. 27). Условие(3) написано в скалярной форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
