1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 9
Текст из файла (страница 9)
, c2 = π 2 a2 + b2 + d2 , ωmin = πc a12 + b12 .На стенках возникают конечные токи и конечные плотности зарядов,несмотря на очень большую проводимость.Ex = E1 sin6022.1.ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИФурье-разложение2.1. Найти спектр двух сигналов, состоящих из двух синусоид:1)y1 = sin(ωt) и y2 = 2 sin(3ωt) и 2) y1 = sin(ωt) и y2 = 2 sin(3ωt+ π4 ).2.2.
Найти спектры следующих сигналов:а)f (t) = cos(ω0t)1;б)f (t) = exp(−β 2t2);в) f (t) = 0 при |t| > τ2 и f (t) = 1 при |t| ≤ τ2 ;τ)при|t|≤г) f (t) = 0 при t > τ2 и f (t) = cos( πtτ2;д) f (t) = 0 при |t| > τ2 , 1 + 2 τt при − τ2 ≤ t ≤ 0 и 1 − 2 τtпри t ≤ τ2 .2.3. Записать уравнения Максвелла относительно компонент Фурье полей и потенциалов в однородной изотропной диспергирующейсреде (при разложении на монохроматические, плоские и плоские монохроматические волны).2.4.
Найти связь между компонентами Фурье полей и потенциалов (при разложении на монохроматические, плоские и плоские монохроматические волны).2.5. а) Разложить по плоским волнам кулоновский потенциалнеподвижного точечного заряда; б) то же для векторного потенциалапрямого тока J (плотность тока J = jδ(x)δ(y) ).~ неподвижного то2.6. а) Разложить по плоским волнам поле E~ поля прямого тока J .чечного заряда; б) то же для поля H2.7. Точечный заряд движется в вакууме равномерно и прямолинейно.
Разложить его поля и потенциалы на плоские монохроматические волны.2.8. Доказать равенства Парсеваля для монохроматических иплоских волн соответственно:1Здесь и далее используется следующая форма прямого и обратного преобразования Фурье со+∞+∞RR1ответственно: fω = 2πf (t) eiωt dt, f (t) =fω e−iωt dω.−∞−∞2.2Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости.
Дисперсия+∞R2f (t)dt = 4π−∞2.2.+∞R2|f ω| dω,+∞R~ = (2π)3f 2(~r, t)dr61R−∞0~|f~k |2dk.Волновой пакет. Фазовая и групповая скорости. Дисперсия2.9. Найти групповую скорость волнового пакета, состоящего издвух плоских волн с близкими частотами ω0 ± ∆ω , распространяющихся в диспергирующей среде.2.10. Найти волновой пакет для момента времени t = 0, если егоамплитудная функция имеет гауссовский вид( 2 )k − k0a(k) = a0 exp −.∆k2.11. Определить форму и движение волнового пакета, состоящего из плоских волн одинаковой амплитуды и с волновыми векторами, лежащими в области |k~0 −~k| ≤ q.
Дисперсия среды линейна:~ ~ω(k) = ω(k0) + dωdk k=k · (|k − k0 |).02.12. Построить для момента t = 0 одномерный волновой пакет,амплитудная функция которого имеет вид1 при 0 ≤ θ ≤ θ0,ψ(k) = δ(k − k0) ·0 приθ > θ0для всех α ∈ [0, 2π]2.13. Исследовать «расплывание» одномерного волнового пакета с гауссовской амплитудной кривой a(k) = a0exp{−α(k − k0)2},учитывая и квадратичные члены в дисперсии.2.14. Волновой пакет длиной ∆x0 входит в среду с дисперсиейa2ω(k) = ω0 + υg · (k − k0) + (k − k0)2.2Оценить его размер после прохождения слоя толщиной d.622ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ2− x22.15. Найти закон движения для пакета E(x, 0) = E0el0eikxприl1 при x < 0,l2 при x > 0в среде с дисперсией ω(k) = ω0 + υгр · (k − k0) + a2(k0 − k)2.Рассмотреть случаи l1 < l2 и l1 > l2.l0 =2.16. Указать пример сжимающегося волнового пакета.
Проанализировать стадии его деформации. Существует ли предельный размер сжатия?2.17. Вывести формулу Рэлея для связи групповой и фазовойdvскоростей через dλ, а также через dndλ .2.18. Вычислить групповую скорость для различных законов дисперсии (v√ – фазовая скорость): а) v = const – звук в√воздухе;б) v = a λ – гравитационные√ волны на воде; в) v = a/ λ – капиллярные волны; г) v = c2 + b2λ2 – электромагнитные волны вионосфере (cp– скорость света; λ – длина волны в среде);д) v = cω/ εµω 2 − c2α2 – электромагнитные волны в прямолинейном волноводе, заполненном диспергирующей средой с ε = ε(ω) иµ = µ(ω); c – скорость света в вакууме, α – геометрический факторволновода.2.19.
Найти фазовую и групповую скорости волн в среде, диэлекωp2трическая проницаемость которой имеет вид ε(ω) = 1+ (ω2−ω2 ) где ωp0и ω0 – константы. Ограничиться случаями ω ω0 и ω ω0, (µ = 1).22.20. Рассмотреть диэлектрик, для которого n = 1 + (ω−ωβ )2+γ 2 .01415а) Вычислить фазовую и групповую скорости для ω = 10 , 10 , 1016 Гцпри ω0 = β = 1016, γ = 106 (значение величин в герцах). б) Определить время, необходимое для удвоения ширины минимизирующегопакета с ∆x = 10−12 см, и расстояние, на которое сместится пакет заэто время.2.32.3.Соотношение неопределенностей63Соотношение неопределенностей2.21. Найти величину произведения ∆t · ∆f для сигналов и ихспектров из задачи 2.2.2.22. Пользуясь соотношением неопределенностей, найти минимально возможный размер объекта при наблюдении его в микроскопв отраженном свете с длиной волны λ.2.23.
С какой предельной точностью можно провести радиолокационное определение положения объекта, находящегося на расстоянииl, если используется излучение с длиной волны λ?2.24. Пользуясь соотношением неопределенностей, оценить размер области, в которой применимо понятие луча в оптике.2.25. Оценить диаметр отверстия камеры-обскуры длиной `, прикотором изображение получится самым резким (длина волны λ ).2.26. Плоская волна падает на щель в экране шириной d, образуя угол θ с нормалью к плоскости экрана. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину световой полосы на второмэкране, расположенном на расстоянии ` от первого. Длина волны λ.2.27.
Оценить минимальный размер светового пятна на Луне отлуча лазера, расположенного на Земле (длина волны λ = 5 · 103 Å).2.28. Используя соотношения неопределенностей, оценить размер пятна на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы(фокусное расстояние F ) диаметра d, собравшую параллельный пучок лазерного света с длиной волны λ, падающего на линзу вдоль ееглавной оптической оси.2.29. Используя соотношение неопределенностей и вводя размерсвоего зрачка d, оценить: в виде кружка или яркой звезды Вы увиделибы Солнце с орбиты Плутона (`средн ∼ 6 · 109км). Угловой размерСолнца на Земле θ ' 0, 01, расстояние между Солнцем и Землей` = 1, 5 · 108 км.
Средняя длина световой волны λ = 5 · 10−5см.642ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ2.30. Оценить максимальную длину волн, на которых возможны:а) радиовещание; б) телевидение.2.4.Волноводы и резонаторы22.31. Показать, что в идеальный проводник электромагнитнаяволна не проникает, и вывести граничные условия для векторов поляэлектромагнитной волны на границе с идеальным проводником.2.32.
Найти связь между поперечными компонентами полей ипродольной составляющей электрического поля Ez для монохроматической Е-волны (или TM-волны), распространяющейся вдоль прямоугольного пустого волновода. Найти уравнение для составляющейполя Ez . То же для H-волны (или ТЕ-волны).2.33. Показать, что для Е-волны (Н-волны), распространяющейся вдоль прямоугольного пустого волновода, граничные условия для~ иH~ выполнены, если на стенках волновода Ez = 0 ( ∂Hz = 0).полей E∂n2.34. Определить Е-волны (Н-волны), которые могут распространяться вдоль пустого волновода прямоугольного сечения a × b.Найти критическую (наименьшую) частоту этих волн.2.35. Найти распределение тока в стенках пустого волновода прямоугольного сечения a × b, в котором распространяется E11-волна(H10-волна).2.36.
На какой волне должен работать излучатель, чтобы возбудить один тип волны в прямоугольном волноводе с a = 5 см, b = 3 см?2.37. Определить фазовую и групповую скорости волн в волноводе геометрическим методом (на примере H10-волн в прямоугольномволноводе).2В задачах этого параграфа стенки волноводов и резонаторов (кроме оговоренных случаев) предполагаются идеально проводящими.2.4Волноводы и резонаторы652.38.
Показать, что бесконечно протяженный диэлектрический слой с проницаемостями ε и µ, заполняющий в вакууме область −a ≤ x ≤ a, действует как волновод. Определить типы волн,которые могут распространяться в таком волноводе (ограничиться случаем, когда векторы поля не зависят от координаты y).2.39. На вход в волновод подается сигнал E(t) cos(ω∗t), где частотный спектр функции E(t) – в пределах (0, ω0), а ω∗ – критическая частота волновода. Найти границы спектра на выходе волновода.2.40.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
