1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пусть при t = 0√∆z(0) = 2 α = `/2, тогда через интервал времени ∆t, равный времени прохождения слоя ширины d, ∆t = d/u, размер пакета""2#1/22#1/216βd16βd∆S = `2 +=`· 1+.u`u`2Если второе слагаемое под корнем много больше единицы, размерпакета можно оценить как ∆S ≈ 16βd/(u`).Р.18. Вычислить групповую скорость для различных законов дисперсий (v — фазовая скорость):а) v = const√ — звук в воздухе;λ — гравитационные волны на воде;б)v = a √в) v = √a/ λ — капиллярные волны;г) v = c2 + b2λ2 — электромагнитные волны в ионосфере (c —скорость света, λ — длина волны);2.5Решение типичных задачд) v = √cωεµω 2 −c2 α273— электромагнитные волны в прямолиней-ном волноводе, заполненном диспергирующей средой с ε = ε(ω) иµ = µ(ω); c – скорость света в вакууме, α — геометрический фактор волновода.dа) v = ωk — групповая скорость u = dω=dkdk (vk) = v, посколькуv = const.q√√√√2πб) ω = vk = kaλ = ka k = 2πa k; v = 2πa/ k,√ √dωu = dk = π/pv/2.pp√ 2k =3в) v = a/ λ = a k/2π, ω = a k /2π, u = (3/2)a k/2π =3v/2.q√dωdv2г) ω = vk, u = dk = v +k · dk , v = c2 + b2λ2 = c2 + b2( 2πk ) .21 2πb= c2/v.u=v−vkp√222д) v = cω/ εµω c α , ω = kv = k 2c2 + α2c2/εµ,1 √ 2 2d(ελ)dωkc2dω+ (− ) k c + α2c2=√ √·.dk2(εµ)3/2dω dkεµ k 2c2 + α2c2dω1c2u==.dk εµ [1 + (ω/2εµ) · d(εµ)/dω]vР.19.
Найти фазовую и групповую скорости волн в среде, диэлектрическая проницаемость которой имеет вид ε(ω) = 1+ωp2/(ω02 −ω 2),где ωp и ω0 — константы. Рассмотреть случаи ω ω0 и ω ω0,(µ = 1).Фазовая скорость"v=ωp2ωc= √ =c 1+ 2k(ω0 − ω 2)ε#− 12.(1)742ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИДля нахождения групповой скорости выражение (1) запишем в видеk 2c2 = ω 2(1 + ωp2/(ω02 − ω 2))и обе части продифференцируем по k.После несложных преобразований получим"#−12 22ωp ω0dω kc1+ 2.=dkω(ω0 − ω 2)2(2)Подставляя в уравнение (2) выражение для k через ω из формулы(1), для групповой скорости u = dωdk получаем1/2u = c · 1 + ωp2/(ω02 − ω 2)1 + ωp2ω02/(ω02 − ω 2)2 .
(3)Для нахождения поведения групповой скорости при ω << ω0 выражение (3) запишем в видеhi1/2ωp2 /ω021 + 1−ω2/ω20u=c·2ωp /ω021+2(1−ω2/ω02)и разложим правую часть в ряд Тейлора по малой величине ω 2/ω02.Ограничиваясь первым порядком малости, получаем!2 23 ωp ωcu=√1−, ω << ω0,ε02 ε0ω04где ε0 = ε(ω = 0) = 1 + ωp2/ω02.Поступая аналогичным образом, для фазовой скорости при ω <<ω0 из уравнения (1) получим!2 2c1 ωp ωv=√1−, ω << ω0.ε02 ε0ω042.5Решение типичных задач75Для нахождения групповой скорости при ω >> ω0 выражение (3)запишем в виде[1 +ωp2 ω02 ω02/(ω02 ω 2 ω 21+ωp2 ω02 2 ω02( ) /( ω2ω02 ω 2u=c·− 1)]1/2− 1)2и разложим в ряд Тейлора по малой величине ω02/ω 2. Ограничиваясь,как и прежде, первым порядком малости, получим#"2ωpu=c· 1− 2 .2ωПоступая аналогичным образом для фазовой скорости при ω ω0,находим v = c · (1 + ωp2/2ω 2).Р.20.
Пользуясь соотношением неопределенностей, оценить размер области, в которой применимо понятие луча в оптике.Геометрическая оптика рассматривает распространение волн как распространение лучей (см. задачу Р. 10). В каждой точке волне приписывается вполне определенное направление распространения и значение волнового вектора. Таким свойством обладают плоские волны.Однако в общем случае электромагнитные волны в среде не являютсяплоскими.
Тем не менее волны оптического диапазона рассматриваюткак плоские в каждом небольшом участке пространства. Но, с другой стороны, волна, занимающая конечную область пространства `, неможет иметь вполне определенный волновой вектор ~k, а представляетсобой суперпозицию плоских волн с волновыми векторами, лежащими в некотором интервале ∆k, для которого справедливо соотношениенеопределенностей` · ∆k ≥ 1.(1)Для того, чтобы можно было говорить о волне с волновым вектором762ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ~k, должно выполняться условие∆k k.(2)Поскольку k ∼ 1/λ, а ∆k ∼ 1/` (что следует из уравнения (1)),то выражение (2) равносильно ` λ. Понятие луча применимо, еслидлина волны много меньше характерного размера области распространения волн.Р.21. Оценить диаметр отверстия камеры-обскуры длиной `, прикотором изображение получится самым резким (длина волны λ).Камера-обскура — это ящик с маленькимотверстием на одной из стенок.
ИзображениеAполучается на стенке, расположенной напроC′тив отверстия. Лучи света, испускаемые разA′Cличными точками объекта AC, распространяются во все стороны, но в камеру попадают только те, которые могутпройти через отверстие. Так, точка A дает светлое пятно в точке A0,точка C в C 0 и т. д. Совокупность таких пятен, получающихся от различных мест объекта АС, и есть изображение. Если свет распространяется строго прямолинейно, то светлое пятно от каждой точки имеетразмер не менее диаметра отверстия. Но из соотношения неопределенностей следует, что если пучок света имеет конечную ширину, тонаправление распространения света в таком пучке не может быть везде строго одинаковым. При падении света на отверстие (например,перпендикулярно) оно ограничивает в своей плоскости ширину пучка,и у пучка в плоскости отверстия появляется разброс волновых векторов в соответствии с соотношением неопределенностей: ∆k⊥d ≥ 2π,откуда ∆k⊥ ≥ 2πd .
Принимая ∆k⊥ ∼ 2π/d и учитывая что d >> λ,получаем ∆k⊥ << k и угол θ ' ∆kk ⊥ = λd .Размер пятна в камере определяется двумя факторами: размером2.5Решение типичных задач77отверстия и расширением волны вследствии ограничения пучка, т. е.λD = d + `θ = d + ` ,dгде ` — длина камеры.Если величина d очень малая, то второе слаλгаемое очень большое, а если велико d, товелико первое слагаемое. Взяв производнуюdDdD/dd и приравняв ее к нулю, получим размеротверстия, при котором размер пятна D наименьший.√lНайдем, что в этом случае d ∼ λ`.
Притаком размере отверстия изображение объекта, являющееся наложением пятен от различных точек объекта, будет наиболее резкое, потому что эти пятна будут предельно перекрываться. Кстати, размер√пятна в этом случае будет в 2 раза больше ширины щели D = 2 λ`.Множитель 2 не следует понимать буквально,√ потому что мы оцениваем порядок велины и можно считать D ' λ`.Расстояние до фотографируемого объекта обычно много больше длины камеры `, поэтому мы пренебрегли отклонением угла падения света для различных точек объекта от нормального. Наклонное падениесвета на щель рассмотрено в задаче Р. 22.Р.22. Плоская волна падает на щель в экране шириной d0, образуя угол θ0 с нормалью к плоскости экрана. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину световой полосы на второмθ 0λэкране, расположенном на расстоянии ` от перλdвого.
Длина волны λ.0θθ0lθ0Фронт волны, проходящей через щель шириной d0, имеет протяженность d = d0 cos θ0.Из соотношения неопределенностей (см. задачу Р. 21) у волны появляется разброс волновых782ВОЛНЫ, ОГРАНИЧЕННЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИвекторов ∆k в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, такой что ∆kd ∼ 2π и ∆k ∼ 2π/d. Откуда расхождениеλпучка θ ∼ ∆kk d0 cos θ0 и уширение пятна за счет расходимости пучкаθ`λ`·=.
Окончательноcos θ0 cos θ0d cos3 θ00D = d0 + `λ/(d0 cos3 θ0).Р.23. Оценить минимальный размер светового пятна на Луне отсвета лазера, расположенного на Земле (длина волны λ = 5 · 103 Å).Минимальныйразмер светового пятна на Луне (см. задачу Р. 21)√D ∼ λL, где L ≈ 4 · 105км — расстояние от поверхности Землидо Луны. Подставляя значения λ и L, получим D ∼ 10 м. Вообщеговоря, для того, чтобы получить такой размер пятна, нужно чтобывыходное окно лазера имело размер ∼ 10 м (см. задачу Р. 21). Есливзять для лазера разумный размер отверстия d ∼ 1 см, то размерпятна на Луне будет D ∼ Lλd = 20 км.Р.24. Используя соотношение неопределенностей, оценить размерпятна на экране, расположенном в фокальной плоскости линзы (фокусное расстояние – F , диаметр – d), собравшей параллельный пучок лазерного света с длиной волны λ, падающего на линзу вдоль ееглавной оптической оси.Линза, точнее оправа линзы, ограничиваетFпучок света.
В результате на выходе из линзыу волны появляется разброс волновых векторовdD∆k⊥ ∼ 2πd . Угол отклонения от направлениялуча, принятого в геометрической оптике, соλставит θ ∼ ∆kk ⊥ ∼ λd , что приведет к размытости пятна размером D ∼ F λd с точностью довторого порядка малости (d F ).Итак, пучок света, все лучи которого, согласно геометрической оп-2.5Решение типичных задач79тике, должны были бы пересечься в одной точке, в действительностидает изображение не в виде точки, а в виде некоторого пятна размеромF λ/d.Р.25.
Используя соотношение неопределенностей и вводя размерсвоего зрачка d, оценить: в виде кружка или яркой звезды Вы увиделибы Солнце с орбиты Плутона (` ∼ 6 · 109км). Угловой размер Солнцана Земле θJ ≈ 10−2рад, расстояние между Солнцем и Землей `J ≈1, 5 · 108км. Средняя длина световой волны λ ∼ 5 · 10−5см.Можно считать, что от каждой точки Солнца идет параллельныйпучок света, потому что его расходимость у Земли уже очень мала.Она определяется отношением диаметраαdзрачка к ` : α ∼ d/`. Параллельный2RαLже пучок света, исходящий из какой-тоточки Солнца, изобразится на сетчаткекружком диаметром D ∼ F λd (см. заlдачи Р. 21, Р. 24). Две светящиеся точFки, расположенные на концах диаметраСолнца, будут разнесены на сетчатке глаза на расстояние L ≈ F · α0,где α0 — угол, под которым видно Солнце:00средн2RJα0 =, α0 α.`средЕсли расстояние L будет больше размера кружка, которым изображается каждая точка, то можно считать, что Солнце в целом будет виднокак кружок, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
