1612045810-b1a4a1ae277456cfb661a3eadfde0b6a (533740), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Линии про~ 1, q2, q3) определяются дифференциизвольного векторного поля A(qальными уравнениямиh1dq1 h2dq2 h3dq3==.Aq 1Aq 2Aq 3Градиент скалярной функции~ = 1 ∂ϕ ~e1 + 1 ∂ϕ ~e2 + 1 ∂ϕ ~e3,grad ϕ = ∇ϕh1 ∂q1h2 ∂q2h3 ∂q3где ~e1, ~e2, ~e3 – единичные векторы, касательные к координатным ли~ниям в данной точке (q1, q2, q3). Дивергенция вектора A~~~div A = ∇ · A =∂∂∂1(h2h3Aq1 ) +(h3h1Aq2 ) +(h1h2Aq3 ) .=h1h2h3 ∂q1∂q2∂q3~Ротор вектора Ahi~= ∇~ ×A~ =rot A h ~e 1 1 h2~e2 h3~e3 1 ∂∂∂.=∂q∂q∂q123h1h2h3 h1Aq1 h2Aq2 h3Aq3 Цилиндрические координаты9Оператор Лапласа (лапласиан)~2=4=∇1∂ h2h3 ∂∂ h3h1 ∂∂ h1h2 ∂=++.h1h2h3 ∂q1h1 ∂q1∂q2h2 ∂q2∂q3h3 ∂q3Цилиндрические координатыВ цилиндрических координатах (q1 = R, q2 = α, q3 = z) h1 = 1,h2 = R, h3 = 1, dl2 = dR2 + R2dα2 + dz 2, dV = RdRdαdz.~Дифференциальные уравнения линий векторного поля AdR Rdα dz==.ARAαAzГрадиент скалярной функции ϕ(R, α, z)∂ϕ1 ∂ϕ∂ϕgradR ϕ =; gradα ϕ =; gradz ϕ =.∂RR ∂α∂z~Дивергенция вектора A(R,α, z)~ = 1 ∂ (RAR ) + 1 ∂Aα + ∂Az .div AR ∂RR ∂α∂z~Компоненты ротора вектора A(R,α, z) имеют вид~ = 1 ∂Az − ∂Aα , rotα A~ = ∂AR − ∂Az ,rotR AR ∂α∂z∂z∂R~ = 1 ∂ (RAα ) − 1 ∂AR .rotz AR ∂RR ∂αОператор Лапласа1∂∂1 ∂2∂22~4=∇ =R+ 2 2 + 2.R ∂R∂RR ∂α∂z10Сферические координатыСферические координатыВ сферических координатах (q1 = r, q2 = θ, q3 = α) h1 = 1,h2 = r, h3 = r sin θ, dl2 = dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θdα2,dV = r2dr sin θdθdα = r2drdΩ, где dΩ = sin(θ)dθdα – телесныйугол.~ θ, α)Дифференциальные уравнения линий векторного поля A(r,dr rdθ r sin θdα==.ArAθAα~ θ, α)Дивергенция вектора A(r,~ = 1 ∂ r2Ar + 1 ∂ (sin θAθ ) + 1 ∂Aα .div Ar2 ∂rr sin θ ∂θr sin θ ∂αГрадиент скалярной функции ϕ(r, θ, α)∂ϕ1 ∂ϕ1 ∂ϕgradr ϕ =, gradθ ϕ =, gradα ϕ =.∂rr ∂θr sin θ ∂α~ θ, α) имеют видКомпоненты ротора вектора A(r,1∂Aθ∂(sin θAα ) −,r sin θ ∂θ∂α∂A1∂1r~=(rAα ) ,−rotθ Ar sin θ ∂αr ∂r~=rotr A~ = 1 ∂ (rAθ ) − 1 ∂Ar .rotα Ar ∂rr ∂θОператор Лапласа~2= 1 ∂4=∇r2 ∂r∂r2∂r1∂+ 2r sin θ ∂θ∂sin θ∂θ1∂2+ 2 2.r sin θ ∂α2Полезные формулы11Полезные формулыgrad(ϕψ) = ϕ grad(ψ) + ψ grad(ϕ);~ = ϕ div A~+A~ grad ϕ;div(ϕA)~ = ϕ rot A~ + grad ϕ × A;~rot(ϕA)rot grad ϕ = 0;~ = 0;div rot Ahi~×B~ =B~ rot A~−A~ rot B;~div A~ = grad div A~ − ∇2A;~rot rot Adiv ~r = 3;rot ~r = 0;~rgrad r = ;rgrad(1/r) = −~r/r3.Теорема Остроградского–ГауссаZI~div AdV= AndS,VSгде n – внешняя нормаль к S, охватывающей объем V .Теорема СтоксаIZAl dl =L~rotn AdS,Sгде S – поверхность, натянутая на замкнутый контур S, а n – нормаль к этой поверхности, составляющая правовинтовую систему с направлением обхода контура.12Система уравнений МаксвеллаСистема уравнений МаксвеллаВ основе макроскопической электродинамики лежат уравнения Максвелла, опирающиеся на несколько физических законов.
Закон Фарадея~1 ∂B~rot E = −;c ∂tзакон Био–Савара и наличие тока смещения~4π~ 1 ∂ D~;rot H = j +cc ∂tзакон Кулона, приводящий к теореме Гаусса~ = 4π%,div Dи отсутствие точечных магнитных зарядов~ = 0,div B~ иH~ – напряженности электрического и магнитного полей, D~ игде E~ – векторы индукции полей, определяемые уравнениямиB~ =E~ + 4π P~ = εE,~ B~ =H~ + 4π M~ = µH.~DЗдесь P~ – поляризованность, дипольный электрический момент еди~ – намагниченность, дипольный магнитный моментницы объема, Mединицы объема, % – объемная плотность свободных зарядов, ~j = %~v– плотность электрического тока, ε и µ – диэлектрическая и магнитная проницаемости.Система уравнений Максвелла записана в абсолютной Гауссовойсистеме единиц.
Из линейности уравнений Максвелла следует принцип суперпозиции полей.Из системы уравнений следуют два закона сохранения: закон сохранения заряда∂%= − div ~j,∂tСистема уравнений Максвелла13и закон сохранения энергии"#nco~~~~∂ (E D) (H B)~ + div~ × H]~ = 0,++ (~j E)[E∂t8π8π4πилиZI∂W~~ s),−= (~j E)dV+ (Sd~∂tгде W – энергия поля,Z no1~D~ +H~B~ dV,W =E8π~ – вектор Пойнтинга,Sihc~=~ ×H~ ;SE4πR~импульс поля p~ = c12 SdV.Интегральная форма системы уравнений Максвелла имеет видIZZ1∂El dl = −Bnds,c∂tZZZZI1∂4πjnds +Dnds,Hl dl =c ZZc∂tZ 4π %dV ,ZZ Bnds = 0,откуда следуют граничные условияE1τ | = E2τ |, D1n| − D2n| = 4πσсвоб,4πB1n| = B2n|, H1τ | − H2τ | = Iпов.c~ поПолезным оказывается введение скалярного ϕ и векторного Aтенциалов:~1 ∂A~~ = rot A.~E = − grad ϕ −, Bc ∂t141.1КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНКИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНЭлектромагнитная волна в однородной непроводящей среде удовлетворяет уравнениям, полученным из уравнений Максвела (см. введение):~ r, t) − εµ2 ∂∆E(~c2 E(~~ r,t)∂t2= 0,(1)~ r, t) − εµ2 ∂∆H(~c2 H(~~ r,t)∂t2= 0.~ иB~ на направлениеЭта волна поперечна, проекции векторов Eраспространения этой волны (вектор ~k) равны 0:~ · ~k) = (B~ · ~k) = 0, E⊥~ B;~(Eкроме того,√εE =√(2)~ = µ|H|,~µH, где |B|(3)поэтому все поля по величене и направлению удобно выражать через~вектор напряженности электрического поля E.Вектор Пойтинга в волнеic h~c εE 2~~E×H = √S=.(4)4πεµ 4πФазовая скорость распространения волны ~vфаз =энергии в волне % =dWdV=εE 24π .√~c ,εµплотностьТогда интегралы движения в волне:εE 2dV,энергия W =4πZ ~Z hiS1~ ×H~ dV,Eимпульс P~ =dV =(5)2c4πcZhihhii1~~~~момент импульса M = ~r × P =~r × E × H dV .4πcZ15Модуль волнового вектора |~k| ≡ k связан с другими параметрамиволны соотношениямиωnω √ ω 2π Pk=== εµ == ,(6)vфазccλ~где λ – длина волны, P~ – импульс, ~ = h/2π – постоянная Планка.Плоская монохроматическая волна:~ =E~ 0 exp [i(~k~r − ωt)],E(7)сферическая волна:~0E~E=exp [i(kr − ωt)].rПоляризация волны в общем случае эллиптическая: 2 2ExEy+= 1.E1E2(8)(9)Поляризованная по кругу волна (E1 = E2 = E0):Ez = 0, Ex = E0 cos ωt, Ey = E0 sin ωt.Если Ex = 0 или Ey = 0, то волна плоскополяризованная.
Плос~ и ~k, в общемкость поляризации, которая образована векторами Eслучае вращается по мере распространения волны.При падении плоской монохроматической волны из среды с показателем n1 в среду с показателем n2 при угле падения θ0, угле отраженияθ1 и угле преломления θ2 выполняются законы отражения θ0 = θ1 ипреломления (закон Снелиуса):√ε1 v 2sin θ2 n1== √ = , (µ = 1).(10)sin θ0 n2ε2 v 1~ 0 как сумму двух вектоФормулы Френеля.
Представим вектор E~0 = E~ 0⊥ + E~ q , где E~ q – вектор электрического поля падающейров E00161КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН~ ⊥ – вектор электрическоговолны, лежащий в плоскости падения, а E0поля падающей волны, перпендикулярный плоскости падения. Тогдадля отраженной волны получаетсяE1q = E0 tg (θ0 −θ2) / tg (θ0 +θ2) , E1⊥ = −E0⊥ sin (θ0 −θ2) / sin (θ0 +θ2) ,(11)а для преломленной волны2 cos θ0 sin θ2sin θ0 sin θ2, E2⊥ = E0⊥.
(12)E2q = E0qsin (θ0 + θ2) cos (θ0 − θ2)sin (θ0 + θ2)В случае нормального паденияE1 = E0 (n1 − n2) / (n1 + n2) , E2 = 2E0n1/ (n1 + n2) .(13)Когда θ0 +θ2 = π/2 из уравнения (11) следует, что E1q = 0, т. е. отраженная волна является плоскополяризованной. При этом угол θ0B ,определяемый соотношением tg θ0B = n2/n1, называется углом Брюстера.При падении из оптически более плотной среды в менее плотнуюn2 < n1 угол θ2 > θ0. Возникает понятие критического угла θ0, прикоторомn2θ2 = π/2, sin θ0 = .(14)n1Это полное внутренне отражение, при этом θ1 = θ0, а плоская волна,проникая во второю среду, имеет видss2sin2 θ0x sin θ0ωsinθ0Ex = E0 1 − 2 exp iω t −exp−z1 − 2 ,n12v2n12cn12(15)где n12 = n2/n1.В неоднородной среде наблюдается рефракция, уравнение для которой имеет вид1 d ln n=,(16)ρdN1.1Кинематика волны17где ρ – радиус кривизны луча, n – показатель преломления, а N –главная нормаль к лучу.1.1.Кинематика волны1.1.
1) Доказать поперечностьлюбой электромагнитной волны,√ √√εµ~ =E~0 t − x ·имеющей вид E.Показать,чтоεE=µH.c2) Найти поток энергии, плотность импульса и момента импульса электромагнитной волны. 3) Записать векторы напряженности плоскоймонохроматической волны: а) плоскополяризованной; б) поляризованной по кругу; в) эллиптически поляризованной.1.2. Покоящийся электрон начал двигаться в однородном элек~ = (E, 0, 0).
Подсчитать, насколько он отстаеттрическом поле Eот фронта собственного излучения. Найти закон движения фронта.Электрон все время считать нерелятивистским.1.3. Вычислить напряженности электрического и магнитного полей для солнечного света, если в одну минуту на 1 см2 падает в среднемдве калории солнечной энергии (1кал = 4, 2 · 107эрг).1.4. Показать,что уравнения Максвелла с добавочными малымичленами k02 1 содержащими электромагнитный потенциал(~ div E~ = k 2ϕ,~ = ε ∂ E~ − k 2A;rotH00c∂t~A, ϕ :~~ = − ε ∂ H ; div H~ = 0,rot Ec ∂tимеют решения в виде плоских волн с продольным электрическим полемEz = E0 · ei(kz z−ωt).Убедиться, что при k02 → 0 Ez → 0.1.5.
Используя симметрию и законы сохранения зарядов, написать полную систему уравнений Максвелла при наличии не толькоэлектрических, но и магнитных зарядов (монополей) и токов.181КИНЕМАТИКА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН1.6. Две плоские монохроматические линейно поляризованныеволны одной частоты распространяются вдоль оси Z. Одна с амплитудой a поляризована по оси X, а другая с амплитудой b – по оси Y ,причем опережает первую по фазе на χ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
