1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 82
Текст из файла (страница 82)
7.8), характеризуется радиусом кривизны 17. йя Чтобы одни и те же формулы были справедливы для выпуклой и для вогнутой поверхно. стей, значение 17 считают положительным, если центр кривизны лежит на оси г справа от границы, и отрицательным в противном случае. Для нахождения матрицы преломлении выберем опорные плоскости ОП~ и ОПя по обе стороны в непосредственной близости от 7Н К выводу матрнпы преломления на сфе раевской поверкностн Опорные плоскости можно выбирать в разных местах оптической системы. Для данной пары плоскостей ОП~и ОПя преобразование параметров любого параксиального луча описывается одной и той же матрицей, сопоставляемой промежутку между ОП~ и ОПе. Ее элементы А, 77 В, С и 0 зависят от свойств этого К выволу матрнпы преобрааованяя промежутка, т, е, от того, какие лучей для оптнческого промежутка преломляющие поверхности и какие среды находятся между ОП, и ОПе.
Матрица, описывающая преобразование лучей всей оптической системой, получается перемножением матриц, сопоставляемых отдельным промежуткам. д ля исчерпывающего исследования поведения параксиального луча а центрированной оптической системе достаточно получить матрицы преобразования для трех основных элементов: оптического промежутка (т. е. участка однородной среды), преломляющей и отражающей поверхностей. Оптический промежуток между ОП, и ОП, (рис. 7.7) характеризуется толщиной 1 и показателем преломления и. Преобразование параметра у находится из рис.
7.7: уя= =у1+1!да,. В параксиальном приближении углы наклона лучей считаются малыми. Тогда уе=у,+1а, (при а,~0,1, т. е. а,~б', погрешность не превышает 1~~~). Переходя от а, к У,=ивы можем написать ут = у, +(1/и) иа, =у, + /.У,, где 7=1/и — приведенная толщина оптического промежутка. Наклон луча при переходе от ОП, к ОПл не изменяется, поэтому Уя=У,. Таким образом, преобразование параметров луча оптическим промежутком можно описать с помощью следующей матрицыл: преломляющей поверхности. Расстояние между ними Ю (! — соз ())ж щ 17()т/2 в параксиальном приближении пренебрежимо мало.
Поэтому можно считать, что луч пересекает их иа одном и том же расстоянии от оси, т. е. уежуь Чтобы найти, как преобразуется параметр У = иа, воспользуемся законом преломления и~ в!пО~ = = илып От, что для параксиальных лучей сводится к и,О, =иеОе. По теореме о внешнем угле треугольника можно написать (рис. 7.8) 0~ =а~ + (1, От=не+ (!.
Умножая первое из этих равенств на иь второе на ит и применяя закон преломления и~0~ =итОе, находим иеал=и~а1+ 0(и~ — ит). Подставляя сюда иеат= !/ы п~а~ = Уь Р=у,/)7, получаем закон преобразования параметра У: = У, — у~(ие — и~)/Й или Ул = У~ — Руь где введена величина Р =(иа — и~)/)7, называемая оптической силой преломляющей поверхности. Вместе с ут = у~ это дает закон преобразования Параметров луча при преломлении, описываемый с помощью матрий(ы преломления Я. ф'- )=( )( ), .Я=( ).
(7.!6) В частном случае плоской поверхности 17- оо, Р=О и преломление ;;..бчписывается единичной матрицей, что заранее очевидно, так как цри этом, по закону преломления, итае=и,а,, т. е. Уе†— У, Чтобы включить в рассмотрение отражающие поверхности (плоские и сферические), вводят следующее правило: когда луч Распространяется в отрицательном направлении оси г, показатель 'цтреломления среды, через которую он проходит, считается отрица'.:: тельным ( — и).
Тогда закон отражения Ое= — О, формально мож ио рассматривать как частный случай закона преломления при ие — — — и,. Матрица преобразования параметров луча при отражении от сферической поверхности имеет точно такой же вид (7.!6), как и матрица преломления, если в выражении для оптической силы Р заменить и, на — и,: Р= — 2и,/17. Для выпуклого зеркала 11>0 и оптическая сила отрицательна (Р сО), для вогнутого— . положительна (Р)0). Толщина оптического промежутка !=ге — г, между опорными "-, плоскостями г=г, и г=гл положительна при ге)г, и отрицатель-ч йа при гт(г,, т. е. 1(0 для лучей, распространяющихся влево.
--::;;::Так как для таких лучей и показатель преломления нужно счи- ';;тать отрицательным, приведенная толщина 7.=1/и будет положи;::;, тельной. Поэтому матрица Л (7.!5) для оптического промежутка ие -; Зависит от направления лучей. П араметры луча иа выходе сложной оптической системы могут быть вы- ! Ражены через параметры входного луча путем последовательного , применения преобразований этих параметров ее отдельными зле- ';ментами. Рассмотрим в качестве примера линзу, т. е. однородную ';:среду с показателем преломления и (стекло), ограниченную сфе::;.-'::.Рическими поверхностями с радиусами кривизны 1е, и 1с (рис.
7.9) ";:Расстояние между поверхностями вдоль оптической оси равно 1 эээ (толщина линзы). Обозначим: К~(у», У») — параметры некоторого луча на ОП, (перед входом в линзу), Ке — на ОПе (после преломления на первой поверхности), Ка — на ОПа (после прохождения оптического промежутка приведенной толщины !.=!/и. К»(у».
У») — на ОП» после преломления на задней поверхности. Пусть а — матрица оптического промежутка (7.!5), а Я, и Ят — матрицы преломления (7.16) соответственно для первой и второй поверхностей. В них Р» =(и — 1)/!»», Ре = (1 — и)/7»х (считаем, что линзу окружает среда с показателем преломления по = 1). Очевидно, что 3 ы аа, в ты за 7.9 Таас»ах лииза К»=ЯеКх=Яе(зКа) =Яаз(Я»К,)=Я ХЯК, (7.17) Таким образом, матрица .»к преобразования луча в сложной системе равна произведению матриц для ее отдельных элементов, взятых в обратном порядке: .а=Яхз»с».
Выполняя перемножение, находим 1 0 1!. 1 0 1 — Р»! ( — Ра 1)(0 !) ( — Р, 1) ( — (Р,+Рх — Р»Рх/) 1 — РтЭ ' (7.18) В частном случае тонкой линзы, когда толщину оптического промежутка ! между преломляющими поверхностями можно считать пренебрежимо малой (х.- О!, матрица Х вырождается в единичную и полная матрица Лт имеет такой же вид, как и матрица Я преломления на одной поверхности (7.!6), но с оптической силой Р=Р»+Рт; Р = (и — ! ) ( ! /1»» — 1/!сх). (7.
19) батям способом можно найти полную матрицу .а преобразования параметров параксиального луча для произвольной центрированной оптической системы, если известны кривизна и взаимное расположение ее преломляющих и отражающих поверхностей и значения показателей преломления. Введем обозначения А, В, С и В для ее элементов:. (л в) (7.20) Рассмотрим луч, входящий в оптическую систему параллельно оптической оси на некоторой высоте у» (рис. 7.!0).
Для такого луча а» = 0 и, следовательно, У» = О. На выходе из системы луч имеет параметры ух=Ау, и Ух = Су,. Угол его наклона к оптической оси ах= Ух/пх, поэтому луч (или его продолжение) пересечет оптическую ось в точке Рх, отстоящей от последней преломляюшей поверхности ОПе на расстоянии 1т = — уе/ах = — пхух/Уь Подставляя 7 »О К нахождению иардиаальиых точек оптической системы ;'ьюда ух и Ух, получаем !х= — пхА/С. Расстояние !а не зависит От у», т. е. все лучи, входящие в систему параллельно оптической ...'оси, проходят (в параксиальиом приближении) через одну и ту же ;,точку Рх, называемую задней фокальной точкой или задним глав,,Ным фокусом оптической системы.
Пересечение продолжений входящего параллельно оптической .„.,оси луча и выходящего луча происходит в задней главной алас»!»ости Нх. Определим фокусное расстояние !х как смешение вдоль "оси от Нх до Ре. Тогда !х= — у»/ах= — пху»/Уа (рис. 7.!0). Под,ставляя Ух= Су», получаем !х = — пх/С, т. е. фокусное расстояние опредрляется элементом С матрицы а оптической системы (7.20). Чтобы найти положение передней фокальной точки Р», рассмот-' рим луч, идущий через нее под некоторым углом а». На выходе из системы он должен быть параллелен оптической оси, т.
е. для него Ух = О. Поэтому Ух = Су', + ВУ» = О. Подставив сюда У( = п»а(, найдем у» = — Рп»а!/С. Из рис. 7.10 видно, что !» = — у»/а» = = п»В/С. Мы получили, что расстояние !» не зависит от а», т. е. все лучи из Г» после прохождения через систему будут параллельны оптической оси. Рассматривая продолжения падающего и выходящего лучей, определяем положение передней главной плоскости Н» .!~.„::.. н переднее фокусное расстояние, отсчитываемое от Н» до Р» . !» = В'.:;:, = и»/С (при этом учтено, что для матрицы М, образованной произ- ведением любого числа матриц Я и а, бе!М=А — ВС вЂ” — 1) ,' .".: Когда показатели преломления сред по обе стороны от системы оди- 1;,! иаковы (и» = пх)„ ее переднее и заднее фокусные расстояния равны : "' но модулю, но противоположны по знаку: !х= †!».
Фокусы Р» и Рх и точки пересечения главных плоскостей Н» , и Нт с оптической осью называются кардинальными точками опти; ческой системы. Их положение полностью определяет преобразо, вание любого параксиального луча оптической системой. Если оно известно, можно построить выходящий из системы луч, не рассмат," ривая реального хода лучей в системе. Для удобства нахождения кардинальных точек по известным элементам матрицы .а оптиче- ::: 'ской системы полученные выше результаты сведены в таблицу. ( р:кв" .'1 ~1,»1 и ра Ф1 )г и, и йп оптическая система отображает рп,~ ь ь ь плоскость ОП на ОП» с увеличе! вием у=уз/у~ =1 — Ь/)з=Ь/а.
По- 1 ложенме сопряженных плоскостей 7 связано основным соотношеннем (7.25). Р' Прн перемещении плоскости ОП, на расстояние Ла сопряжен- т.!з ная с ней плоскость ОП» перемеОбрвзоввиие изобрвжеиии в оптиче- щается на некоторое расстояние ЛЬ, которое можно рассматривать как длину изображения отрезка Ла, параллельного оптической осн. Прн малом Ли нз (7.25) получаем следующее соотношение: Ла/а =ЛЬ/Ь . Отсюда продольное увеличение 'р=ЛЬ/Ла=(Ь/а)). Оно всегда положнтельно, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
