1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 81
Текст из файла (страница 81)
7.3,б). Чтобы охватить подобные случаи, принцип Ферма можно сформулировать в более слабой форме, но применимой в более широкой области: реальный луч отличается от остальных кривых, соединяющих две заданные точки, тем, что соответствующая ему оптическая длина имеет стационарное значение, т.
е. малое изменение траектории (например, точки падения на зеркало; рис. 7.3, 6) не приводит в первом порядке к изменению оптической длины. Эта формулировка вполне достаточна для практических приложений, ибо для нахождения луча можно ограничиться сравнением оптических длин для воображаемых путей, которые проходят бесконечно близко от действительного. Проиллюстрируем применение принципа Ферма на примере преломления луча на границе однородных сред. Пусть АОВ— истинный путь света из А в В (рис. 7.4).
Тогда при малом изменении траектории — смещении точки преломления из О в С— оптическая длина в первом приближении должна остаться неизменной. Оптический путь в среде ! увеличивается иа и, )ОС)= =л,)ОС)з)пйо в среде 2 — уменьшается на пз)ОЕ)=пх)ОС)з)пйз. Приравнивая эти величины, опять получаем закон преломления: п,з(пй, = з(пйх. изображение Р' поменять местами, то форма всех лучей останется без изменения и лишь их направление изменится на противоположное (принцип обратимости). Поэтому точки Р и Р' называются сопряженными.
Когда все лучи пересекаются строго в одной точке Р', изображение называется стигмагическим (точечным). Пучок лучей, выходящих из одной точки или сходящихся в одну точку, называется гомоцентрическим. В соответствии с принципом Ферма оптическая длина всех лучей между сопряженными точками одинакова.
В качестве примера рассмотрим зеркало в форме эллипсоида вращения (рис. 7.5). Сумма расстояний )РО~+!ОР'! от его фокусов до точки О имеет одно и то же значение при любом положении точки О на его поверхности. Если в один из фокусов поместить точечный источник, в другом фокусе пучок отраженных от зеркала лучей образует стигматическое изображение источника. Исходящие из фокуса эллипсоида гомоцентрические пучки лучей в результате отражения превращаются снова в гомоцентрические. Совершенно аналогично в фокусе параболического зеркала образуется стигматическое изображение находящегося на оси парабодоида бесконечно удаленного точечного источника (параболоид можно рассматривать как предельный случай эллнпсоида, когда второй его фокус удаляется в бесконечность).
Такие параболические зеркала используются в астрономических телескопах-рефлекторах. Эти примеры преобразования пучков света иллюстрируют скорее исключения, чем общее правило: обычно при отражении или преломлении пучок утрачивает свойство гомоцентричности и не об разует стигматического изображения точечного источника. Например, отраженные параболическим зеркалом лучи от бесконечно удаленного источника, не лежащего на оси зеркала, пересекаются не в одной точке, а в некоторой ее окрестности, что ухудшает качество изображения. Используемые на практике оптические системы состоят из линз и зеркал, преломляющие и отражающие поверхности которых, как правило, сферические нли плоские. Ход приосевых лучей и образование изображений в центрированных оптических системах рассматриваются в $7.2. Искажения изображений, связанные с нарушением гомоцеитричности пучков, называются геометрическими или лучевыми аберрациями оптических систем (см.
$7.4). Зависимость показате -:., ля преломления от длины волны приводит ,':к появлению хроматической аберрации (см. $7 4). Неизбежные в принципе по:;:.' грешности отображения можно умень- ь ) д ,:; шить до разумных пределов, используя ::,' Многолинзовые конструкции. В этом атно';" шенин инструментальная оптика достигла ;. аамечательных результатов. Но даже в тех случаях, когда по '.:законам геометрической оптики пучок Элли ччьькьь зеркало лучей пересекается строго в одной точке, образование точечного изображения светящейся точки невозможно из-за днфракцни света.
Вблизи фокуса пучка лучей кривизна волновых поверхностей становится значительной. Изменение амплитуды волны здесь уже нельзя считать малым на протяжении длины волны, т. е. условия применимости геометрической оптики не выполняются, и распределение интенсивности вблизи фокуса обусловлено волновой природой света. Волновые, илн дифракционные, искажения определяют теоретический предел разрешающей способности оптических инструментов (см.
$7.5). Контрольныс вопросы ,1 В каком предельном случае волновая оптика переходит в геометрическую? Прнасднтс примеры, в которых условин примсннмости геометрической оптики нс выполняются. и Как нз уравнения эйконала лз=т? 5 получить дифференциальное уравнение для лучей? П В какую сторону нскривляютя луч в среде с зависящим от координат показателем преломления? Объясннтс явления миража н астрономической рефракции. П Как нз уравнения эйкпнала получить закон прсломлсиня лучей на границе раздела сред? Сформулируйте принцип Ферма.
Как его доказать с помощью основного уравнения геометрической оптнкн? Приводите прнмсры прнмснсння принципа Ферма. П Что такое сопряженные точкиР П Какую форму должно нмсть зеркало для получения стнгматнчсского изображения светящейся точкнР бесконечно удаленного точсчнпго источннка? Задача Показатель преломления среды нэмснясгся в направлении осн х по линейному закону: п(х)=.лг(1 + ах). Найти форму луча в такой среде х=х(х), если а начале координат вектор з направлен вдаль осн х.
Обозначим х'(х)=!дев = р (см. рнс. 7.1, а). Тогда б!=бхч/1,+ рг/р. з,=1/з/ +рг, з.=р/.1/Т+рт. Рассмотрим проскцню уравнения для лучей (7.8) на ось х: р б ! р ! бл .1/(+~' г!х 11+рт Т+рт л бх Отсюда (р/(1+рт))бр=ба/л. Интегрируя это уравнение с учетом того, что прн х=о луч направлен вдоль х, т. с. р=о, получаем 1 +р'= =чл/лс), илн 1 +х'=(1 +ах)'. Интегрированна этого уравнсння с начальным условием х(О)=О даст х(х) =(сках — 1)/а.
7.2. Цввтрмравамивге большинство используемых на пракаптмчесвне сзктемы д'тнке оптических инструментов от- носится к г(ентрированным системам, у которых центры кривизны всех сферических преломляющих н отражающих поверхностей расположены на одной прямой, называемой главной оптической осью. Теория таких систем становится особенно простой, когда все распространяющиеся в них пучки лучей пириксиальны, т. е.
проходят на небольшом расстоянии от оптической оси системы и образуют с ней малые углы. Гомоцентрнческий пучок параксиальных лучей при прохождении через центрнрованную систему остается почти гомоцентрическнм, поэтому для каждой точки протяженного предмета система формирует стигматическое (резкое) изображение. Образование изображений в параксиальных лучах было систематически исследовано Гауссом в )84! г., поэтому теорию центрированных оптических систем в нараксиальном приближении обычно называют гауссовой оптикой, йй ййреобразование луча в оптической системе удобно описывать с по- мощью специальных матриц.
Достоинство матричного метода в том, ),::; что его можно использовать не только в геометрической оптике параксиальных лучей, но и прн описании распространения ":;.. гауссовых пучков с дифракционной расходимостью (лазерное нзлученне). В оптической системе сферические (и плоские) поверхности служат границами раздела различных однородных сред (матернал :,;.-":, линз и промежутки между ними). Траекторня луча состоит из отрезков прямых линий. Будем рассматривать только мерндиональные лучи, т. е. лучи, лежащие в одной плоскости с главной оптической осью (ось г на рнс. 7.6). Пусть это будет плоскость уг. Выберем некоторую плоскость г=сопз(, перпендикулярную оптической оси, и назовем ее опорной плоскостью (ОП), Любой меридиональный луч можно определить заданием двух параметров: координаты у точки его пересечения с опорной плоскостью н угла и, который он составляет с осью г (рис.
7.6). Однако в дальнейшем для характеристики направления луча удобно вместо и использовать параметр у=ли, т. е. произведение показателя преломления среды на угол а. 'м? Преобразованне параметров у и )г луча при переходе от одной опорной плоскости ОП, к другой ОПз в параксиальном приближения будет линейным, т. е. для любой пары опорных плоскостей оно имеет вид У уз —— Ау!+Вуг, )гт=Су, +())'е у Это преобразование можно записать в матричной форме: При ах~ 1 эта цепная линяя аппрокснмирустся параболой х(х) ы ах'/2. г, (ра) (С В)()/, ) 78 Параметры у, а мери- дианального луча Сферическая преломляющая поверхность, разделяющая две среды с показателями преломления и, и ие (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
