1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Сравнивая (7.4) с (7.1), получаем дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция 5(г): па= '75(г), или Я5)'=не. (7.5) Поверхности равных фаз (волновые поверхности) монохроматической волны (7.2) определяются уравнением Й о 5(г) — ы1 = со п з(. (7.6) Уравнение (7.5) показывает, что лучи, т. е. линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с направлением распространения волны, задаваемым единичным вектором з, ортогональны к волновым поверхностям. В общем случае при показателе преломления л(г), изменяющемся от точки к точке, лучи будут искривлены. Поверхности равных фаз перемещаются в направлении луча з со скоростью о=с/п.
Чтобы выяснить, как искривляются лучи в оптически неоднородной среде, получим из уравнения эйконала (7.5) дифференциальное уравнение для лучей. Радиус-вектор г точки Р, лежащей иа луче, будем рассматривать как функцию длины дуги 1. Тогда бг/!)1= 5 и из (7.5) находим лс)г/с)1= (75. Проднфференцируем это уравнение по 1 и преобразуем правую часть следующим образом: Й/ц(Я5у=с7(а5/б(у='Уп (здесь мы воспользовались тем, что ((5/Ж= !75 з=л|. Таким образом, — (л — „! )='7л. (7 7) В частности, в однородной среде л=сопз1, т7л=О и (7.7) принимает вид !Гг/61~=0.
Его решение г=а1+Ь, где а и Ь вЂ” постоянные векторы. представляет собой прямую линию, направленную по вектору а и проходящую через точку г=Ь. В однородной среде световые лучи прямолинейны. Но волновые поверхности 5(г)=сонэ( при зм) этом могут и не быть плоскими. Например, одно из возможных решений уравнения эйконала (!75)е=ле при п=сопз( имеет внд 5(г)=п)г — го1 (особая точка при г=го). В этом случае 75= =л(г — го)/!г — го1 и лучи света образуют семейство прямых, расходящихся из точки г=го, а волновые поверхности — концентрические сферы.
Для неоднородной среды л=л(г) и уравнение (7.7) преобразуется к виду (дп/Ж)з+л(с(з/с)1)='7л. Так как с)л/(!1='7пз, то — = — ~'Р и — зал з)). йз ! щ а (7.8) Производная единичного вектора з по длине луча 1 характеризует кривизну луча: ()з/б(=М/Я, где М вЂ” единичный вектор главной нормали к лучу, 1г — радиус его кривизны. Умножая обе части (7.8) скалярно на М и учитывая, что Ма=О, получаем следующее выражение для радиуса кривизны луча: 1/17= М((7 л)/и.
(7.9) 'Отсюда, в частности, следует, что М~гл=»О, т. е. угол между М 'н ~л острый — луч изгибается в область с большим показателем преломления и. Для демонстрации искривления световых лучей можно взять ' две смешивающиеся жидкости, например сероуглерод (п=1,63) и бензол (л=!,50), и расположить их слои один над другим. Граница между слоями вскоре пропадает вследствие диффузии, и получается среда с непрерывно изменяющимся показателем преломления. Исходя из уравнения (7.8), можно показать (см. задачу 1), что в среде, показатель преломления которой изменяется в каком-либо одном направлении по линейному закону л(г)= =ло(! +аг), лучи представляют собой цепные линии (рис.
7.1, а). Если начало координат выбрать там, где вектор з направлен горизонтально (вдоль оси х), уравнение луча имеет вид г(х)=(сйах— — 1)/а. В соответствии с (7.9) луч сильнее всего искривлен там, где его направление перпендикулярно градиенту показателя преломле- г гглдгсаах-!)(к а=и,д+ое/ 3 Искривлением лучей света в не- Ф равномерно нагретом воздухе объясняется явление миража, когда в жар- а кой пустыне возникает иллюзия на- а) ходящейся на горизонте водной гла- д=генке ди или вдали на асфальте нагретого солнечными лучами шоссе види!й «лужи», исчезающие при приближении йе= в) .:;-. к ним. Прилегающие к раскаленной 6 земле слои воздуха иагреты сильнее, искри ение чей етн н нео о.
поэтому плотность воздуха и его родной среде (а) н нозннкноеенне ;::: показатель преломления возрастают мнонжн (В) Выберем небольшой прямоугольный контур 1 (рис. 7.2, а), стороны РД, и РЯз которого параллельны поверхности раздела Т двух сред, а Р~Рз и Я~«1з перпендикулярны Т. Пусть Ь вЂ” единичный вектор нормали к плоскости контура. Умножим (7!0) скалярно на Ь и проинтегрируем по площади о, ограниченной контуром 1.
Поток ротора по тебреме Стокса преобразуется в интеграл по контуру 1: и, (р г в г ! 6 г в, В,! 1 .( ц1 ~! 7.2 1 К аманду закона преломления лучей на криаленипй границе раздела Я $ Ьго!(лв ) бп= е = $ лаг!г= О. г Переходя к пределу, когда длины сторон Р~Рз и Я~Яз стремятся к нулю, получим ис с высотой. Лучи света, входящие в такой слой под небольшими углами„искрнвляются и, не достигнув земли, выходят обратно под такими же углами (рис. 7.1, б). Мы настолько привыкли к прямолинейному распространению света, что подсознательно считаем источник расположенным на прямолинейном продолжении попадающих в глаз лучей даже тогда, когда они искривлены; мы видим расположенные иад горизонтом удаленные предметы как бы отраженными горизонтальной зеркальной поверхностью («водной гладьюа). Другой пример искривления лучей дает явление астрономической рефракции, обусловленное тем, что плотность земной атмосферы и.
следовательно, ее показатель преломления убывают с высотой. Наблюдаемая высота небесного светила над горизонтом оказывается больше истинной. Эффект особенно значителен, когда светило наблюдается у горизонта (рефракция при этом достигает 35') и быстро убываег с увеличением высоты. Этим объясняется сплюснутая форма солнечного диска при восходе и закате.
Благодаря рефракции мы видим Солнце в течение нескольких минут после того, как оно уже зашло. В ыше предполагалось, что показатель преломления представляет собой непрерывную функцию координат. Чтобы рассмотреть поведение лучей при переходе через резкую границу раздела сред с различными показателями преломления, можно мысленно заменить граничную поверхность тонким переходным слоем, в котором показатель преломления изменяется непрерывно. Тогда уравнение (7.5) останется в силе. Применяя к обеим его частям операцию го! и учитывая тождество го1 дгаг! 5=0, находим соотношение, которому должен удовлетворять лучевой вектор и: го!(пз) = О. (7.10) ~пЫг= ~ т75бг=5(В) — 5(А) лв лв (7.!2) Этот интеграл равен разности значений эйконала в точках А и В и, следовательно, не зависит от пути интегрирования (интегральный инвариант Лагранжа.
Очевидно, что зс)г= О!сон(э,бг)(б1, поэтому 5(В) — 5(А)= ) пзбг ( з лд1, лв лв (7.! 3) р в) т.з К пбпсипианию принципа Ферма $. Ь(п~зХ(извз — п~з~))=0, или пз(п~гХэз)=п~(п~зХз!). (7.!1) где пгв — единичный вектор нормали к поверхности раздела Т. Из формулы (7.! 1) следует, что преломленный луч зз лежит в плоскости падения (плоскости, образованной падающим лучом ы и нормалью п~е. рис. 7.2, б), а синусы углов падения и преломления связаны соотношением азз1пйз=л~з1пйь Как и следовало ожидать, закон преломления, установленный для плоских волн на плоской границе раздела, в приближении геометрической оптики (да-ч-0) справедлив для преломляющих поверхностей более общей формы. Фактически для этого достаточно, чтобы радиусы кривизны волновой поверхности падающеи волны и поверхности раздела были велики по сравнению с йе.
а а вхождение траекторий лучей света в й й приближении геометрической оптики можно сформулировать как задачу вариационного исчисления, если воспользоваться принципом Ферма, согласно которому свет распространяется между двумя точками по такому пути, который требует для прохождения наименьшего времени. Принцип наикратчайшего оптического пути, сформулированный Пьером Ферма в середине ХЪ'П в., можно получить как следствие основного уравнения геометрической оптики (7.5). Рассмотрим некоторую область с показателем преломления п(г), через каждую точку которой проходит только один луч (например, от точечного источника), т.
е. эти лучи в рассматриваемой области не пересекаются. Пусть точки А и В (рис. 7.3, а) лежат на одном луче. Используя уравнение (7.5) пв= =х75(г). вычислим следующий интеграл вдоль произвольной кривой, соединяющей точки А и В: 74 Применение принципа Ферма к преломлению лучей Если пучок лучей, выходящих из какой- либо точки Р, после отражений, преломлений на границах или искривлений в неоднородной среде сходится в точке Р', то Р' называется действительным фокусом геометрического схождения лучей.
Его можно рассматривать как оптическое иэображение точки Р. Изображение называют мнимым, если в Р' пересекаются не сами лучи, а их продолжения, проведенные в направлении, противоположном распространению света. Если источник Р и его причем знак равенства справедлив только в том случае, когда направления векторов з и дг совпадают в каждой точке рассматриваемой кривой, т.
е. когда она представляет собой реальный луч (АСВ на рис. 7.3. а). Для любой другой кривой, соединяющей точки А и В (например, АОВ на рис. 7.3, а), правая часть (7.13), называемая оптической длиной пути, оказывается больше, чем для реального луча АСВ. Поскольку б(=пг(!=(с/л)г)С оптическая длина равна произведению с на время, которое требуется свету для прохождения вдоль этой кривой. Таким образом, свет между А и В распространяется по тому пути, который требует наименьшего времени.
В приведенном выше доказательстве было использовано предположение о том, что через каждую точку рассматриваемой области проходит только один луч. Это условие во многих практически важных случаях ие выполняется. Например, при отражении от зеркала света, испускаемого точечным источником А, через любую точку В прохбдят два луча (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
