1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 55
Текст из файла (страница 55)
В случае кввзимонохраматического излучения, частотный спектр которого сосредоточен в узком интервале бы вблнзи средней частоты ы, т.е. когда бы~а. амплитуда а(1) и фаза Ч(1) в (523» представляют собой случайные функции, которые изменяются лед«симо по сравнению с функцией ехр ( — нз1). /(ругнми словами, можно считать. что (5.23) описывает «аатическую модуляцию амплитуды и фазы колебания с частотой ы. Следует, однако, заметить, что хотя изменения и(1) и я[1) происходят медленно в масштабе периода колебаний, они происходят чрезвычайноо быстро в масштабе времени, требуемого для наблюдения, Измеряемая нз опыте интенсивность пропорциональна среднему за время наблюдения значению квадрата вещественной амплитуды а(/Р /- (а'(1)) = (Ес(1)Е6(1)).
(5.29) Хаотические изменения а"(1) сглаживаются при усреднении за время наблюдения. В случае стационарных оптических полей интенсивность в (5.29) не зависит ат времени (точнее, ат пахожеиия интервала усреднения ив шкала времени). В иитерфереициоиных экспериментах пучок квазимонохроматического света расщепляется на два, которые затем вновь встречаются в неноторой точке наблюдения Р. Будем для простаты считать, что интенсивности этих пучков одинаковы. Поскольку оптические пути пучков от места разлеления до точки Р различаются на Л, колебания в одном из них происходят с запаздыванием на время т=Л/с Поэтому результирую!цее колебание а Р описывается функцией ЕЯ+ Е(1 — т)=[ЕсЯ+ Ее(» — т)е ') е В соответствии с «5.29) интенсивность этого колебания 1 — ([Еп(1)+ Еп(1 — т)Е ') [Е/Я+ЕЮ (1 — т)с ™)) = (Еч(1)Е/(1)) + -1- (Ез(1 — т)Е1 (1 —.т)) «-2йе(/ЕзЯЕ/(1 — т))е' (5.30) Первые два слагаемых в (5.30) одинаковы и пропорциональны интенсивностям /э интерферирук)гцих пучков.
Выражение (Ез(1)Е«» (1 — т)) называют в теории случайных функций авгокарреллцяанной функцией для комплексной амплитуды Е,Я. Нормированную автокорреляпионную функцию называют комплексной степенью аременндй «а«трен«ности колебаний и обозначают т(т»: т(т) =(ЕгИЕ/(1 — т)) /(ЕО(1)ЕЙ(1)>. (5.3!) Эта функция характеризует корреляцию световых колебаний в моменты времени, разделенные интервалом т*. Используя определение»тт) (5.3!), из (5.30) получаем выражение лля интенсивности в точке наблюдения; / = 2/з [! + Йеу (т) е "л). (5.32) * Тзк как функция у(т) характеризует в то же время корреляцию жшебаннй в один момент времени в двух тачках, находящихся на расстоянии Л = гт вдоль пучка, то аремеянйю когерентиасть иногда называют продольной.
Если комплексную функцию т(т) представить как т(т) = «у(т)«е 'м'), то формуле (5 32) можно придать внд =2/з[! + «у(т)«соз (оп+ 6)> = 2/О[! + «у(т)1 саз (йЛ+ 6)) (5.33) Зто выражение отличается от формулы (5.8) для интенсивности при нитерферен- мн монохраматических волн наличием множителя 1у(т)1 в интерференционнам члене н добавочным слагаемым 6(т) з аргументе косинуса. Зависящий от положения точки наблюдения Р множитель саз (йЛ + 6) в иитерференционном члене описывает быстры осцнлл цни интенсивности в пространстве при переходе ат одной полюсы к другой. и е Изменение плавной функции 1»дт)«при переходе от одной полосы к соседней незначительно. т, е. она имеет приблизительно одно и то же значение для целой обдасти интерференциониога поля, содержащей много полос.
Когда «т(т)1=1, интерференции кзазимонохроматичесного света с хаотически измеюпошнмися амплитудой и фазой асуществлщчся так же, как и в случае регулярных строго манохроматнческнх вали. Поэтому при 1у(т)1= ! говорят о палкой юыерентности иитерферирующих пучков. При у(т)=0 происходит простое сложение интенсивностей пучков: 1=21ь В этом случае интерференции нет и колебания называют неко«грен«ными. Если 0(«у(т)1 ~ 1, та говорят о частичной хогеренгнасти ннтерферирующнх пучков. Л»ожив представить себе частично когерентиый сает как бы состоящим из полностьк! когерентной н некогереитной частей, причем даля когерентиого света в этой смеси равна «у(г)1. В самом деле. формулу (5.33) можно записать в виде 1=2/з«у(т)1[! + соз (йЛ+ 6))+ 2Л (! — «у(т)1). Здесь первое слагаемое описывает интерференцию полностью когереитиых воли с равными интенсивностями /з«у(тй, а второе — наложение некогерентных волн с интенснвностимм /з(! — «у(т)«).
Зтнм объясняется, почему величина «т(т)1 названа степенью кагереити асти. Экспериментальное определение функции «т(т)1 лля исследуемого излучения может быть основано на измерении видиосги»г(Л) интерференционных полос в зависимости от разноски хода Л=ст. Ввиду медленности изменения 1у(т)1 в (5.33) максимумы интенсивности соответствуют значениям соз(йЛ+6)=!, а минимумы — значениям саэ(йЛ+6)= = — !. Поэтому /,.=2/з(!+«у(т)«).
/,„=25(! — «у(т)1). Таким образом, видность интерференциаиных палое (при равных интенсивностях ннтерфернруюших пучков) !'(Л) = !/ .,— / „,)/(/, »-/,.ь)=«у(т)1, (5.34) т. е. равна модулю комплексной степени когерентнгкти. Кривые виднастн К(Л), примеры которых даны на рис, 5.!4, можно рассматривать и как графики функции «т(т)1 для соответствующих излучений, заменив Л иа ст. Значительно труднее определить иа оныте аргумент у(т), т. е. функцию 6(т). Для этого нужно. как видно нз (5.33), при каждом значении разности хода Л сравнить наблюдаемое положение палас от исследуемого источника света с положением псиюс ат монохроматического источника с частотой ы, которое определяется формулой (5.3).
Таким сппсобам в принципе можно экспериментально полностью опрелелить комплексную степень временнбй когереитиостн, характеризующую исследуемое излучение. !!ривлекательная черта теории частичной когерентности состоит в том, что оиа оперирует величинами, которые в принципе можно определить из эксперимента (корреляционные функции и интенсивности). В этом оиз существенно отличается от элементарной оптической волновой теории, где основную величину, т. е.
ЕЯ, из-за большой частоты оптических колебаний невозможно измерить реальными инерционнымн приемниками излучении. омплексиую степень когерентиосги у(т) можно К найти, используя ту или иную статистическую модель рассматриваемого излучения. Например, в простейшем примере, когда квазимонохроматнчесное излучение представляется в виде хаотического наложения оди- (5.35) (5.36) (5.41 ! == ) Е" ~ 5 Е(1)'.ч ) --' — ',„" . (Еч(1]Ей(à — т)) =2 )Е„*:Е, е (ы т — е"". (' ЗУ) т(т)=е' ' Г )РЕм! е ' "йву/Г)!Е.г! Ом'. з о (5.38) 1(ы)=!Е 1~/)!Е„!зйм, ~/(ы)ды=!, а Ю г/Г=лу])ш у(т)=е'"'*Г)((гз") е 'мам'. э 231 пановых волновых цугов длительностью тз, прямой расчет на основе определения у(т) (5.31) ласт 1 — т/тз при т~тз, у(т) = О при т тз.
Степень когерентности линейно убывает от 1 ло О с увеличением т от О до тз. Формула (525) отражает физически очевидный факт колебания в моменты времени г и г+т когерентмы, если промежуток времени т меньше длительности тз отдельного цуга. Другими словамн, в такой модели излучения длительность тз цуга совпадает с временем когерентности колебаний. Найдем связь кпмплексной степени когерентиости т(т) со спектральным распределением интенсивности излучения ((ых Для этого воспользуемся разложением квазимонохроматического колебания Е(1 =Ег/(1)е '"' (5.28) в интеграл Фурье (см, (1.83) и 1.84)): о Е(П= ) Е„е '"', Е = ) Е(1) еыбг. 2я ' Выражая в определении у(т) (см. (5.31)) комплексную амплитуду Ет(1) через Е(1) с помощью (5.28), приводим корреляционную функцию для амплитуд к виду (ЕзЯЕз(1 — т)) = (Е(Г)Е'(1 — т)) е' *= ) Е(1)Е"(à — т)И е'"'.
При усреднении по времени наблюдения, большому по сравнению с характерным времепнйм масштабом изменения Ез(1), пределы интегрирования по 1 можно распро- странить до -~-со. Затем вместо Е*(1 — т) подставляем его разложение в интеграл Фурье согласно 15.361 и изменнем порядок интегрирования по 1 и м': (Е(1)Е*(1 — т)) = ) ЕЯ ~) Етп' и *' 151= бы' 1 1 2я.) Стоящий в скобках интеграл согласно второй из формул (5.36) есть фурье-компонента Е„, функции Е(1). Поэтому Знаменатель в определении у(т) (5.31) получается из (5.37] прн т=б. Поэтому Понимая пад /(ы) нормированную на единицу функцикг спектрального распределения интенсивности для у(т) получаем окончательиое Выражение: П роиллюстрируем применение формулы (5.39) на простых примерах.
Пусть излучение равномерно заполняет узкий спектральный интервал Ьы со средней частотой ы (прямоугольный спектральный контур). Тогла /(м') равно 1/бм в пределах этого интервала (ы — Ьм/2, м+бы/2) и нулю — ане его. При вычислении интеграла в (5.39) удобно перейти к переменной х=м" — ьк 1 „,, шп (тбм/2) бгз з„гт тбш/2 График этой функции дви на рис.
5.15, а. Модуль у(т), равный в соответствии с (5 34] видности интерференционных полос, показан штриховой линией. Сравните этот график с соответствующей кривой видносги на рис. 5.14, а. Для излучения с гауссовым спектральным контуром (доплеровское уширевие] нормированная функция распределения интенсивности имеет внд !(м')=(б/эгп ))( )(ехр ( — (]т(м' — м)т]. Перейдем в (5.39) к переменной х=ы' — ы. Так как /(ы') быстро убывает при удалении от ы', то пределы интегрирования по к можно распространить до ~оа 1(т)=е' — ) е-"" ю'+Я бх=е ил'зэ~ 1/и (вычисление этого интеграла см. в задаче 2). График у(т) также представляет собой гауссову кривую (рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
