1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Обозначив х=ЛТ, при фиксированной температуре для определения положения максимума зависимости (/>(Т) от Л получим уравнение й/>(ЛТ)/бЛ=Тд)>(х)/бх, т. е. Щх)/с)х=о, которое имеет некоторый корень х=х . Это значит, что при любой температуре максимум зависимости (/х(Т) от Л получается при одном и том же значении аргумента х=х, т. е. Л„Т=х„=сонэ(„что и доказывает закон смещения. Из (9.8) следует, что значение спектральной плотности ЩТ) в максимуме, т. е. при Л=Л, пропорционально пятой степени термодинамической температуры. ! ? ? С У й дням э) Испускательная способность черного тела — интегральная светимость пропорциональна Т~, поскольку интеграл по х не зависит от Т.
Измерения распределения по длинам волн интенсивности излучения из отверстия в полости, стенки которой поддерживаются прн постоянной температуре (Люммер и Прингсгейм, 1899 г.), показали, что при некотором значении длины волны Л кривая гх(Т) имеет ярко выраженный максимум (рис. 9.1). С увеличением температуры максимум смешается в область более коротких длин волн, причем так, что произведение температуры на длину волны, отвечаюшую максимуму, остается прежним: Л Т=Ь. (9.7) Значение константы Ь = 0,29 см-К определено из опь)тных данных. Соотношение (9.7) получило название закона смещения. Оно непосредственно следует из термодинамической формулы Вина (9.6). Переходя в ней от частот к длинам волн, получим (см.
задачу 1) (/л(Т) = 1(2яс) /Лэу(2яс/(ЛТ)) = 7в/>(ЛТ), (9.8) При практически достижимых температурах максимум испускательной способности черного тела лежит в инфракрасной области. Так, при Т = 3000 К Л = 0,96 мкм. Только при Т) 6000 К максимум попадает в зеленую область спектра, к которой глаз наиболее чувствителен. Светимость черного тела быстро растет с температурой ( Т') и при высоких температурах достигает очень больших значений. При Т= 6000 К (температура поверхности Солнца) с каждого квадратного сантиметра черного тела излучается поток мошностью 7,4 кВт, но лишь небольшая масть этой мощности приходится на видимую область спектра.
Рассмотренные выше закономерности теплового излучения используются в оптических методах измерения температуры (оптическая пирометрия). Контрольные напреем ' ' При наних условиях тепловое излучение будет термодинамически равновесным? Перечислите основные свойства равновесного излучения. Будет ли равновесным излучение, выходящее из маленького отверстия в полости? > Как испускательная способность тела связана с его энергетической свсгимостью? Докажите с помощью второго закона термодинамики, что отношение испускательиай и поглощательной способностей одинаково для всех тел. П Поиажите, что испускательная способность черного тела с точностью до множителя с/4 совпадает со спектральной плотностью равновесного излучения.
г) Как на опыте можно реализовать черное тело? ш Как энергетическая светимость абсолютно черного тела зависит от температуры? >61 Каким образом по измеренной спектральной зависимости испускательной способности черного тела г,„ при неноторой температуре Т построить график г„ для другой температуры Т>? >~ Как изменяется положение максимума на кривых г„, и г> при изменении температуры черного тела? Задача Выразить спектральную плотность 4/> энергии равновесного излучения в шкапе длин волн череа спектральную платность 0 в шкале частот.
С> Объемная плотность энергии излучения в интервале частот от ы ло и+ ды равна 4/.,ды. Эта же энергия, выраженная через длины волн, равна 4/.дЛ. Подставим в 0 д<» в>=2яс/А и ды= — (2п>/к') дк Знак минус здесь означает тельно то, что с возрастанием длины волны частота убывает, поэтому его можно опустить. Таким образом, 0>=(2пс/Лэ) 4/„.
Если для ?/„воспользоваться законом Вина (9.6), выражающим ее через универсальную фунннию 1, то 4/>(Т)=(2ис)?/Л 1(2ис/(ЛТ]). 0 р.у сиввтрвиьнев и вт пст йдзложенными в $9.1 результатами рвмюввсмшю мзяучвмма я й исчерпывается все то, что может Вмзрмуив Ппамма дать электромагнитная теория и феноменологическая термодинамика в проблеме теплового излучения. Термодинамическая формула Вина (9.6) теоретически обос- иовывает законы смещения (9.7) и Стефана — Больцмана (9.5) „ ио числовые значения входящих в них постоянных Ь и о оставляет неопределенными, так как выражает спектральную плотность равновесного излучения !/ (Т) через некоторую функцию !(ш/ /), вид которой в этих рамках установить невозможно.
Для решения основной задачи теории теплового излучения — нахождения испускательной способности черного тела г (Т) или связаиной с ней соотношением г = с(/„/4 спектральной плотности энергии равновесного излучения (/., — необходимо применение статистических методов с привлечением какой-либо конкретной физической модели. Из термодииамических соображений ясно, что вид искомой функции (/„(Т) не должен зависеть от того, с какими телами излучение находится в тепловом равновесии. Поэтому, следуя Плаику, рассмотрим простейший пример излучающего тела — линейный гармонический осциллятор с собственной частотой ыо, зарядом е и массой гп (электрои, связанный квазиупругой силой).
Пусть осциллятор находится в замкнутой полости, заполненной равновесным излучением с температурой Т. Под действием поля излучения со сплошным спектром' (/„,(Т) ои совершает вынужденные колебания. Благодаря резонансным свой"твам осциллятора эти колебания будут иметь заметно отличную от нуля амплитуду лишь в узкой области частот вблизи собственной частоты осциллятора ыо- При этом поглощаемая осциллятором мощность Р „„может быть выражена через значение спектральной плотности излучения !/„, иа частоте ыо- В динамическом равновесии с излучением поглощаемая мощность Р, в среднем равна испускаемой осциллятором мощности Р „, которая, в свою очередь, может быть выражена через среднюю энергию (6) осциллятора при температуре Т.
Таким путем можно связать !/„„,(Т) со средней энергией (е) теплового возбуждения осциллятора. Последняя вычисляется методами статистической механики. Так как все это справедливо для осциллятора с произвольным значением ы6, то такой путь позволяет рассчитать спектральную плотность равновесного излучения на всех частотах. ыиуждеииое движение осциллятора В под действием гармонической внешней силы Е,(/)=еЕЯ="г(е [еЕо,ехр( — /ы/) [ рассматривалось в $2.3 при изучении теории дисперсии. Установившиеся колебания происходят иа той же частоте ы: х(!) = Ке[хаехр( — йо/)1, где комплексная амплитуда ха в соответствии с (2.32) равна хо =,, Ео,.
е/т ч( — юР— гвтш Здесь постоянная затухания у дается формулой (1.73!. Среднюю поглощаемую осциллятором мощность (т. е. работу, совершаемую иад иим в 1 с внешним подем) Р„,„,=(еЕ,(/)х(/)) проще всего найти, если учесть, что при установившихся колебаниях оиа равна средней мощности силы радиационного трения (/)=2гпухЯ; Р „= (Р (/)х(!)) =2пгу(х (Е)). Так как х(/)= =Ке [ — йохаехр( — йо/)], то (хх(/)) =в~[хо! /2. Поэтому (9.10) Нас интересует случай, когда действующее иа осциллятор поле излучения изотропно и не поляризоваио.
Выразим квадрат его проекции иа ось осциллятора ЕЬ„чезоез объемную плотность энергии (/=еа(Е~(!))=66((Е~(!)) + (Е„(!)) + (Е~(Е))). Так как в' изотропиом поле все направления колебаний вектора Е(/) представлены одинаково, то !/=Зео(Е~(/)) =~/хеэЕ3 и в правую часть (9.10) можно подставить Ео,=~/з(//ао. В немонохроматическом поле такое выражение для поглощаемой мощности справедливо для каждой из его моиохроматических составляющих, ие скоррелированных между собой.
Мощность, поглощаемая осциллятором в спектральном интервале от ы до в+йо, получится из (9.10), если заменить !/ на (/,.Йо. Тогда полная поглощаемая мощность в интервале частот от 0 до са (9.11) Злы !ча — в ] +4т и Для всех частот ым лежащих в оптическом диапазоне, выполняется сильное неравенство у х.ыо. При этом условии первый сомножитель в подынтегральиом выражении в (9.!1) имеет резко выраженный резоиаисный характер: он имеет острый максимум при ы=во и быстро приближается к нулю, как только в отклоняется от аа более чем иа у.
Поэтому заметный вклад в интеграл дает лишь узкая область частот вблизи ы=ыо. Второй сомножитель !/„ — искомое спектральное распределение излучения — представляет собой плавную функцию частоты, так что и пределах этой области его можно считать постоянным и вынести за интеграл, заменив значением при в=шь Кроме того, можно заменить в первом сомножителе ы на ыо, а ыа — в~ иа 2ыа(ыо — ы). При уч.но нижний предел интегрирования можно распространить до — со. Тогда (9.12) 6П!ЕО !О~О ~~) +т еперь нужно рассчитать испускае- Т мую осциллятором мощность Р„,„.
Как следует из (9.9), вынужденные колебании осциллятора под действием излучения с непрерывным спектром !/ имеют заметную амплитуду только в узкой полосе частот вблизи собственной частоты ыа осциллятора. Поэтому при расчете Р„,„можно считать, что осциллятор совершает гармонические колебания с частотой в=ым и воспользоваться результатами $1.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
