1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Нн один нз этих аспектов не дает полного представления об излучении, нбо для полного объяснения наблюдаемых явлений необходимо нх сочетание. Закон излучения Планка (9.23), который содержит в себе предельные случаи, соответствую. шне корпускулярному н волновому аспектам, представляет собой диалектический синтез двух, казалось бы, несовместимых теорий н снимает противоречие между ними. Но вывод закона излучения по методу Планка, приведенный в $ 9.2, в какой-то мере неудовлетворнтелен, поскольку он во многом основан на законах классической фнзнкн н лишь частично использует квантовые представления. В самом деле, формула (9.14), связывающая спектральную плотность энергии равновесного излучения (/.(Т) со средней энергией (е) осцнллятора, получена чисто классическим путем, так как поглощение н нспусканне света осцнллятором рассчитывалось с помощью классической электродинамики, в то время как прн нахождении (е) использована квантовая гипотеза о дискретных энергетических уровнях осцнллятора.
Успех такой эклектической теории связан со спецификой выбранной модели: для осцнллятора, как это уже отмечалось прн обсуждении классической теории дисперсии (см. э 2.3), классическое н квантовомеханическое рассмотрение процессов поглощения н испускания приводит к одинаковым результатам. Д ругая трактовка равновесного нзлучення, восходящая к Рэлею, состоит в том, чтобы само электромагнитное поле в полости рассматривать как набор осцилляторов. Можно говорить о собственных колебаниях этого поля н применить к ннм методы статистической механики, а не вводить вспомогательный планковскнй осцнллятор, взаимодействующий с излучением. Пусть для определенности полость имеет форму куба с ребром Е, а ее стенки — зеркальные.
Собственные нормальные колебания поля в таком объемном резонаторе представляют собой стоячие волны разлнчных частот. Полное поле можно представить как суперпознцню таких стоячих волн, н в энергетическом отношении оно ведет себя как система невзанмодействуюшнх гармонических осцилляторов. Для нахождения спектральной плотности энергии поля нужно подсчитать число независимых стоячих волн в полости с частотами в интервале от го до пь+г)ог. Как н в одномерном случае струны, закрепленной на концах, здесь для любого нормального колебания необходимо, чтобы вдоль каждого ребра укладывалось целое число полуволн.
Пусть направление волны (нормаль к плоскостям равных фаз) образует углы а, 6 н у с ребрами куба. Проекция любого ребра на это направление должна быть равна целому числу полуволн: Е соз и=п!) /2, Е соз б=пз)/2, А соз у=пзЛ/2. Возводя в квадрат н складывая этн равенства, с учетом того, что созе а+созе 11+соя' у=1, получаем Е = (и!+а1-~-ггз) ()г/2) .
Отсюда следует, что частота ог=2це/Е=(гг~!+п$+ггтз)'г пс/й каждого нормального колебания определяется суммой квадратов трех целых чисел л!, лз, лз. Нормальное колебание удобно изобразить точкой в трехмерном пространстве. Совокупность таких точек образует кубическую решетку. Поэтому число бЛ! различных колебаний с частотами в интервале от го до оу+г)го равно числу точек с цело- численными координатами в пределах лежащего в первом октанте шарового слоя (рис. 9.3) радиусом !.го/(пс) и толщиной гл)го/(лс): ~)/ (3 з 1 /(2 зсз) Кроме того, следует учесть, что каждому нормальному колебанию, задаваемому целыми числами пг, пз, пз, соответствуют две независимые стоячие волны с ортоюнальными состояниями поляризации. Применяя гипотезу Планка к от- К подсчету числа яорнааьяых яоае- дельному нормальному колебанию баяна поля с частотой го, будем считать, что его энергия может быть равна целому числу элементарных квантов Ьоп а=пЬго.
Тогда в состоянии теплового равновесия средняя энергия, приходящаяся на одно нормальное колебание, выражается формулой (9.20) с ао=йго: (а) =Ьго/(ехр[Ьы/(ЬТЯ вЂ” 1). Умножая (а) на число независимых колебаний поля аз~ого/(лзсз), приходящихся на 1 и' объема полости, получаем для спектральной плотности равновесного излучения 1/ (Т) формулу Планка (9.23). Этот результат выведен здесь для кубической полости, но он должен быть верен для полости любой формы (если интересоваться волнами, длина волны которых мала по сравнению с ее размерами).
В противном случае, вопреки тому, что нам известно о равновесном излучении, его плотность (/„(Т) зависела бы от формы полости. Если же к осцнлляторам поля применить теорему о равнораспределении энергии в состоянии теплового равновесия, т. е. положить среднюю энергию, приходящуюся на одно нормальное колебание, равной ЬТ, то мы сразу придем к формуле Рэлея — Джинса (9.16). Причина «ультрафиолетовой катастрофы» проявляется здесь со всей отчетливостью: чем выше частота аг, тем большее число осцилляторов полн приходится на единичный интервал частот. Это число го /(пзсз) растет неограниченно при ог- оо. ясно, что Классический закон равнораспределения становится неприменимым для осцилляторов поля с высокими частотами. В приведенном здесь выводе формулы Планка предполагалось, что каждое нормальное колебание (мода) электромагнитного поля в полости может обладать энергией а=лйы. Возникает вопрос, как нужно интерпретировать целое число и в рамках гипотезы световых квантов.
Предположение, что энергия одного кванта света может быть равна лЬго, противоречит опыту (фотоэффект, см. $ 9.5). Поэтому нужно считать п числом тождественных световых квантов (фотонов) в одной моде. Когда л уменьшается или увеличивается на единицу, говорят о поглощении одного фотона или испускании одного фотона в данную моду. В состоянии теплового равновесия среднее число фотонов в моде (л) = (е) /(Ьго)=(ехр (Ьог/(ЬТ)1 — 1) (9.27) Такое распределение характерно для газа невзаимодействуюших тождественных частиц, подчиняющихся статистике Бозе — Эйнштейна. Неклассический характер этой корпускулярной картины проявляется здесь в принципиальной неразличимости световых частиц— фотонов.
отличие от рассмотренной Планком В простейшей модели системы, взаимодействующей с излучением, — гармонического осциллятора— к процессам испуснания и поглощения света реальными атомами классическое описание неприменимо. Исчерпывающее описание этих процессов дается квантовой электродинамикой, но их можно исследовать и на основе простой феноменологической теории, развитой Эйнштейном в 19!6 г.
В этой теории впервые было введено представление о вынужденном излучении, которое впоследствии нашло практическое применение в квантовых генераторах когерентного излучения — мазерах и лазерах. Будем считать, что свободный атом может находиться только в стационарных состояниях с определенной энергией ег, аз,....Переход атома из одного стационарного состояния в другое может происходить скачком в результате поглощения или испускания электромагнитного излучения, причем для такого элементарного процесса выполняется закон сохранения энергии: е — е„=Ьго — энергия поглощаемого или испускаемого фотона равна разности энергий соответствующих стационарных состояний атома.
Эти квантовые представления о строении атома и характере его взаимодействия с излучением„обобщающие гипотезу Планка о гармоническом осцилляторе, были введены Бором в 1913 г. и полностью подтверждаются современной квантовой теорией. Пусть свободный, не подверженный внешним влияниям атом находится в возбужденном состоянии с энергией ез.
С точки зрения классической физики атом начинает излучать сразу же после того, как он попадает в возбужденное состояние, и этот процесс длится в течение некоторого времени т (см. $1.5). По квантовым представлениям, самопроизвольный переход атома при отсутствии внешних воздействий из возбужденного состояния аз в основное ег с испусканием фотона (спонтанное излучение) происходит мгновенно, скачком. В какой именно момент произойдет этот переход, предсказать невозможно. Момент испускания фотона есть случайная величина, суждения о которой могут носить лишь статистический характер.
Обозначим через Азг вероятность спонтанного перехода атома в единицу времени из возбужденного состояния в основное. Рассмотрим совокупность очень большого числа одинаковых атомов, которые образуют настолько разреженный газ, что взаимодействием между атомами можно пренебречь. Пусть в момент времени в первом возбужденном состоянии ез находится Фз атомов. В тече- озт ние промежутка времени от 1 до /+о/ часть нз них спонтанно перейдет в основное состояние.
Невозможно указать, какие именно атомы совершат переход, но, зная вероятность Ам, можно указать среднее число д/)/м таких переходов: дй/м =Ам й/вб/. (9.28) Если при этом никаких процессов возбуждения атомов не происходит, то изменение числа л/в возбужденных атомов за промежуток времени от / до /+сИ, согласно (9.28), равно бй/в= — АвФвдй (9.29) Коэффициент Эйнштейна Ам характеризует рассматриваемый атом и не зависит от времени.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
