1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 105
Текст из файла (страница 105)
задачу 2). Константа о в законе Стефана — Больцмана (9.5) приобретает теперь вполне определенное теоретическое выражение (см. задачу 2): о=я~я~/(60стЬз) . (9.26) Соотношения (9.25) и (9.26) выражают константы Ь и о, непосредственно измеряемые на опыте, через фундаментальные физические постоянные Ь и )г.
Исторически первое определение числового значения Ь, как и наиболее точное для того времени (1900 г.) определение значения постоянной Больцмана )г, было сделано Планком на основе закона Стефана — Больцмана (8.5) и закона смещения (9.7). Полученные Планком значения очень близки к принятым в настоящее время: Ь = 1,05.
1О " Дж с; Ь = 2пЬ = 6 626. 1О зз Дж. с; Ь 138 10 — эз Дж/К. Поучительна кстория открытия закона излучения (9.2З). Подлинная история создания теории далеко не всегда отражает логику ее построения. Формула Ви- иа (9.24), квантовая по своей сути, была установлена раньше, чем классическая формула Рэлея — Джинса (9.16). (Работа Джинса, вызвавшая «ультрафиолетовую натастрофу», датируется !905 г.) Вин исходил иэ аналогии между наблюдаемой на опыте экспоненциальной зависимостью (/,„ от йы/(ЬТ) в области высоких частот и максвелловским распределением молекул газа по «коростам.
В теоретическом выводе формулы (9.24) Вин, развивая иден русскшо физика В. Л. Михельсона, делает ряд произвольных допущений, содержащих в скрытом виде квантовую гипотезу о связи частоты излучения с энергией элементарного процесса испускания света. Но в области низких частот полученная Вином формула не давала хорошего описания экспериментальных данных. К формуле (9.23) Плаик пришел сначала полуэмпирическнм путем, стараясь улучшить согласие с экспериментом в области низних частот, т. е., как это ин парадоксально, именно в той области, где квантовые свойства несущественны. Первое сообщение Планка 19 октября 1900 г тан н называлось: «Об одном улучшении закона излучения Вина».
Полученная им формула была проверена на опыте Рубенсом, а также Луммером и Прингсгеймом. Хорошее согласие с опытом побудило Планка к настойчивым поискам истинного содержания своей формулы. И через два месяца, 14 декабря !900 г., Планн делает доклад. в нотором приводится пгшное решение поставленной задачи.
Эту дату можно считать днем рождения квантовой теории. Планк доказал, что фориулу (9.хз) можно вывести только в том случае, если допустить квантование энергии, противоречащее классическим представлениям. Нелегко было примириться с таким отказом от классических представлений, н Планк, совершив великое открытие, еще в течение нескольких лет пытался понять квантование энергии с позиций классической теории. Безуспешность этих попыток привела его к окончательному выводу, что в рамках классической физики излучение черного тела понять нежжможно.
П остоянная Планка й играет в квантовой физике такую же роль, как скорость света с в релятивистской физике. Эти фундаментальные мировые константы определяют гранины лримеиимости классического описании. В масштабах макромира числовое значение постоянной Планка чрезвычайно мало. Этим объяйняется широная применимость классической физики с лежащей в ее основе концепцией непрерывности и описанию макроскопических ивлений. Решение проблемы теплового излучения исторически было первым шагом на пути к разгадке «тайны потерянной константы». Впослелствии ограниченность представлений классической физики обнаружила себя при исследовании фотоэффента (см.
4 9.5) и прн попытках объяснения устойчивости атомов и закономерностей в спектрах нз излучения. В начале века была создана так называемая «старая квантовая теория», в основе которой лежат гипотеза Планка о диснретном характере испускания и поглощения света осциллятором, введенное Эйнштейном представление а квантах света (фотонах) и уравнение фотоэффекта, построенная Бором теория простейших атомов. Но старая квантовая теория не представляла собой стройной, логически замкнутой науки. Удачно описав некоторые экспериментальные факты, она не могла дать правильного объяснении и количественного описания всего многообразия явлений минромира. С наступлением второй четверти нашего столетия начинается период создания современной квантовой теории с ее надежными логически непротиворечивыми основными положениями и адекватным математическим аппаратом. Фундаментальная константа  — постоянная Планка, играюн(ая выдавшуюся роль в современной физике, — может быть определена экспериментально не только с помошью законов излучения черного тела, но и другими, более прямыми и точными методами.
Некоторые нз них рассмотрены ниже. Значения и, полученные на основе разных физических яалений (тепловое излучение, фотоэффект, коротковолновая граница сплошного рентггеновского спектра, эффект Джозефсона в сверхпроводимости и др.), хорошо согласуются друг с другом. Контрольные вопросы Как связана мощность, поглощаемая одномерным гармоническим осцилляторов в поле равновесного изл>чеиия, со спектральной плотностью энергии поля? Как испускаемая осциллятором мощность выражается через его среднюю энергию? ! ! Получите выражение. связывающее спектральную плотность энергии равновесного излучения со средней энергией асциллятора, находящегося в термодинамическом равновесии с излучением.
!, К каким теоретическим результатам для зависимости (/,. от частоты и для объемной плотности энергии () приводит применение классической статистической механики? П Как найти срелнюю энергию теплового возбуждения осциллятора при температуре Т, если предположить, что его энергия может принимать только дискретные значения а,=пе«? В каком случае результат совпадает с тем, что дает теорема а равнораспределеини? ! Какую зависимость (/„ от частоты дает формула Планка? Рассмотрите также предельные случаи низких н высоких частот. Какую роль в современной физике играет постоянная Планка? Задачи 1 Вычислить константу Ь а законе смещения, основываясь на формуле Планка (9.23).
ф Переходя в формуле Т!ланка от, частот к планам волн (см. задачу 1 в $9.1), получим (/«= (2пс/Дг)()„=(йпйс/Х») /(ехр (йс/(ЗДТ)) — 1). Для нахождения мансимума функции 1/, введем вместо х безразмерную переменную к=йс/(ЗЬТ). Тогда задача сводится к нахождению положения минимума функции Д(х)=х '(е' — 1). Приравнивая к нулю ее первую производную, получаем трансцендентное уравнение х=б(! — е *), корень которого легко найти методом последовательных приближений: х„=5; к,=5(! — е ')=4966; х,=5(1 — е ")=4966. Отсюда Ь=?. Т=- =Иг/(Ьх ) =020(йс/э=290.10' м/К.
Если же рассматривать спектральную плотность О., в шкале частот, то ее максимум соответствует минимуму функции )„(х)=к' »(е' — 1), где х=ды/(ЬТ)=йс/(?дТ) имеет прежний смысл. Положение минимума находится иэ трансцендентного уравнения х=3(1 — е "), которое имеет корень х' =2,821. Отсюда ы /Т= йх' /6=2,621 А/й.
Максимуму функции (?„, соответствует длина волны х~ =2пс/ы =ьс/(дтх ) )А„. таким образом, максимум спеитральиой плотности в шкале частот сдвинут в ллиниоволиовую сторону по отношению к максимуму спектральной плотности в гпкале длин волн: ь~„/)г„= х' /х = 1,760. 2. Пользуясь формулой Плавна, найти значение постоянной о в законе Стефана — Больцмаиа.
<."~ Для нахождения свегимостн )? абсолютно черного тела нужно проинтегрировать испускательную способность г„=с(l„/4 по всем частотам: г '"б» 4» 4птсгз ехрРи»/(ЬТ)) — ! 4ятсй' з е" — 1 Здесь введена безразмерная переменная интегрирования к=ам/(йу). Рассматривая )/(е' — !)=е '*/(! — е *) как сумму геометрической прогрессии е '(! +е ' +е '* + ..]. почленнмм интегрированием получаем таким образом, и = итя'/(ООс'а~) = 5,67 !О ' Вт/(м' ° К'!. в.з. свзггввме вввмтм. ~ нпотеза Планка о квантованнн энерСпвгггвмное " вммтичземнов гнн осцнллятора приводит, как было показано в $9.2, к формуле (9.23), которая прекрасно подтверждается экспериментом. Однако эта гипотеза не сразу встретила признание.
Считалось, что новые идеи представляют собой лишь искусственный математический прием, которому можно найти интерпретацию в рамках классической физики. Но все попытки такого рода оказались неудачными. Революционные идеи Планка были оценены по достоинству н получили дальнейшее развнтне прежде всего в работах Эйнштейна.
Он первый указал на то, что кроме теплового нзлучення существуют н другие явления, которые можно объяснить на основе квантовой гипотезы. В частности, поведение теплоемкостн твердых тел прн низких температурах (отклонення от закона Дюлонга н Птн) получает объяснение, если для средней энергии осцнллятора использовать квантовое выражение (9.20). Основанная на этих идеях количественная теория теплоемкостн твердых тел была развита Дебаем.
В 1905 г. Эйнштейн выдвинул гипотезу световых квантов. Он предположил, что дискретный характер присущ не только процессам испускания н поглощения света, но н самому свету. Гнпотеза о корпускулярных свойствах света позволила объяснить результаты экспериментов по фотоэффекту, совершенно непонятные с позиций классической электромагнитной теории (см. $9.5). Однако представление о свете как потоке классических корпускул несовместнмо с эмпирически совершенно явными волновыми свойствами света. Эйнштейн пришел к заключенню, что «прнрода излучения должна быть не такой, какой мы ее считаем в настоящее время». За этими словами скрывается то, что теперь принято называть двойственной природой света нлн корпускулярно-волновым дуализмом (см. $ 9.6). Корпускулярный аспект излучения проявляется наиболее отчетливо в коротковолновой части спектра, где для спектральной плотности (/ (Т) справедлива формула Вима (9.24), волновой аспект — в длннноволновой, где применима формула Рзлея— Джинса (9.16).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
