1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 104
Текст из файла (страница 104)
Согласно форь!у- лам (1.72) — (1.73), Р...=27~о), где (е> — средняя энергия ос циллятора, а у= [1/(4лео) [ е'ыо/(Залпе ). Таким образом, Р„„= —, (е>. ! Я«2<д' 4лоо зтсз (9.13) Так как в состоянии динамического равновесия с излучением энергия осциллятора в среднем остается неизменной, поглошаемая мощность должна быть равна испускаемой. Приравнивая правые части (9.12) и (9.13), получаем (/ =мо(о>/(и'с'). (9.14) Здесь опушен индекс у ы, так как это условие должно выполняться для осцнллятора с любой собственной частотой. Соотношение (9.!4) связывает спектральную плотность (/,„(Т> равновесного излучения со средней энергией (е> осциллятора прн температуре Т.
Заряд е и масса /и осциллятора, т. е. его частные характеристики, выпали из этой формулы, ибо в тепловом равновесии как (/ (Т), так и (е) определяются только температурой. К лассическая статистическая механика дает для средней энергии линейного осциллятора при температуре Т значение (е) =йТ, где А= =1,38-10 оз Дж/К вЂ” постоянная Больцмана.
Это частным случай закона классической статистики о раенараспределении, согласно которому в тепловом равновесии на каждую степень свободы в среднем приходится '/»НТ кинетической энергии. Для осциллятора, совершающего колебания на собственной частоте, средние значения кинетической и потенциальной энергии одинаковы, так что средняя энергия теплового возбуждения каждой колебательной степени свободы составляет еТ: (е) =(о„) + (е„) =2(о„) =«Т. (9.15) Если подставить классическое значение средней энергии осцнллятора (9.!5) в соотношение (9.14), то для спектральной плотности равновесного излучения (/„(Т) получается выражение, известное под названием формулы Рэлеа — Джинса: 1/„(Т) =,РДТ/(и'с').
(9.16) Это соотношение согласуется, .как и следовало ожидать, с формулой Вина (9.6), которая как непосредственное следствие термодинамики должна выполняться независимо от конкретной модели. В самом деле, (9.16) совпадет с (9.6), если там неопределенную функцию / положить равной !(го/Т/='еТ/(л с и). В длинноволновой области, т. е. прн малых ы, формула Рэлея — Джинса (9.!6) хорошо согласуется н с экспериментальными результатами: в этой области испускательная способность черного тела растет пропорционально квадрату частоты. Но при дальнейшем увеличении частоты обнаруживается резкое расхождение с экспериментом, так как (9.16) предсказывает такой рост спектральной плотности для всех частот, вплоть до бесконечно больших значений при ы- оо.
В соответствии с (9.16) в полости при любой конечной температуре должны преобладать ультрафиолетовые и рентгеновские лучи. Из-за неограниченного роста (/ с частотой получается, что объемная плотность !/ энергии излучения бесконечно велика: интеграл в (9.!) с (/ из (9.16) расходится. Если же считать полную энергию конечной, то по этой теории получается, что при установлении равновесия между телом и излучением вся энергия тела перейдет в энергию высоких частот излучения, т.
е. термодинамнческое равновесие при конечной плотности энергии излучения вообще невозможно. В то же время опыт показывает, что равновесие устанавливается, плотность энергии излучения (/ остается при этом конечной, а ее спектральное распределение (/„ растет с частотой, достигает максимума при некоторой частоте и затем снова падает. Таким образом, безупречный с точки зрения классической ' физики вывод дает очевидно абсурдную формулу (9.!6), находяшуюся в разительном противоречии с опытом. Такое положение П. Эренфест назвал «ультрафиолетовой катастрофой». По выражению Лоренца, уравнения классической физики оказались неспособными объяснить, почему угасшая печь не испускает синих лучей наряду с излучением больших длин волн. ц 1900 г.
Планк получил формулу для спектральной плотности (/ (Т) равновесного излучения, хорошо согласуюшуюся с опытом при всех частотах. Оказалось, что для теоретического вывода этой формулы необходима гипотеза, коренным образом противоречащая представлениям классической физики. Планк предположил, что энергия осцнллятора может принимать не любые, а только вполне определеНные дискретные значения е„отделенные друг от друга конечнымн интервалами. Переход осциллятора из одного состояния в другое сопровождется поглощением нли испусканием конечной порции (кванта) энергии излучения.
В такой системе с дискретным энергетическим спектром среднюю энергию (е) в тепловом равновесии при температуре Т уже нельзя находить по формуле (9.!5). Вероятность р„ тога, что осциллятор находится в состоянии с энергией е„, в соответствии с распределением Больцмана пропорциональна ехр [ — е„/(ЙТ)],но при вычислении средних значений интегралы заменяются суммами; (е) =,'р а„р.=Х о ехр [ — е./(ФТ)]/2, ехр [ — е /(йТ)]. (9.!7) и » » Еше одна гипотеза необходима для установления значений энергии в разрешенных состояний осциллятора.
По предположению Планка, гармонический осциллятор имеет эквидистантный энергетический спектр, так что энергия е, в состоянии с номером и составляет целое кратное наименьшей порции энергии ео..е„ =по«, где п=О, 1, 2, ...*. Тогда стоящая в знаменателе формулы (9.!7) сумма представляет собой просто бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем ехр( — йео), где 6=1/(ЙТ): 5(6) = 2т ехр( — [!пео) = [1 — ехр( — Вес) [ (9.18) ч=п Легко видеть, что сумма, стоящая в числителе (9.17), равна произ- водной с[5(6)/Щ взятой с противоположным знаком: ~, 'лаоехр ( — бпео) = — — „~"„ехр( — [)нео) = д =о бя =о = [1 — ехр( — бео) ] '"зехр( — бее) ео.
(9.19) Подставляя (9.19) и (9.18) в (9.17), находим (е) =ео[ехр(бес) — 11 '=ео/(е"а(зг) — 1). (9. 20) Этот результат совпадает с классическим выражением (9.15) только в предельном случае при ео/(ЬТ)- О. П- одставляя полученное значение средней энергии квантового осцилляторааа (9.20) в (9.!4), получаем для спектральной плотности равновесного излучения вместо формулы Рэлея — Джинса следующее выражение: и.= иэс' ехр [еэ/(йу)! (9.21) Чтобы оно не противоречило термодинамической формуле Вина (9.6), согласно которой температура может входить в [/ только в комбинации от/Т, необходимо принять, что ео=Ьот, (9.22) где Ь вЂ” универсальная постоянная (постоянная Планка), имеющая размерность произведения энергии на время.
В результате для спектральной плотности равновесного излучения получаем формулу Планка: П„(Т)= ""' л"'гг ехр [ды/(йг)1 — ) (9.23) Графим функции Ю (Т) приведен на рис. 9.2. Формула Планка прекрасно согласуется с опытом при всех частотах и температурах. Для малых частот (длинных волн) и высоких температур, когда Ьго/(ЬТ)«1, экспоненту можно разложить в ряд по степеням Ьто/(ЬТ).
Если ограничиться линейным членом этого разложения, * Современная квантовая механика дает для уровней энергии гармонического осциллятора значении е.=(л + /т) ды. чт В оригинальной рабате Планка )900 г. средняя энергия осциллятора находилась путем вычисления средней энтропии на основе соотношения Больцмана л = = й !п В' между энтропией и термодииамической вероятностью (Г. то формула Планка (9.23) перейдет в формулу Рэлея — Джинса (9.16). Но в области высоких частот и низких температур формула Планка предсказывает совершенно иное поведение ~/то(Т)„нежели классическая теория. При Ьто/(АТ)>)1 экспонента в знаменателе гораздо больше единицы.
Поэтому поведение [/ (Т) в области коротких волн приближенно описывается :'ч формулой и„(Т)=ф р ( — — "„", ), ц„(г! о гР йп (У Юоэ)РР 92 График функции О (ПЬ построенный по формуле Планка (9.9)) (9.24) которая была предложена Вином в 1896 г. для описания экспериментальных результатов в этой области спектра. Экспоненциальное убывание спектральной плотности с ростом частоты устраняет .
«ультрафиолетовую катастрофув классической теории. Между предельными случаями, соответствующими применимости формул Рэлея — Джинса (9.16) и Вина (9.24), лежит обширная область, в которой и находится максимум кривой спектрального распределения. При повышении температуры этот максимум в согласии с законом смещения (9.7) сдвигается в сторону коротких волн, причем значение постоянной Ь в (9.7) может быть теперь найдено из решения трансцендентного уравнения (см. задачу !): (9.25) Ь=[,265Ьс//г. Объемная плотность П энергии равновесного излучения (9.1) при интегрировании по всем частотам с (т'„из формулы Планка (9.23) получается конечной (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
