1612045808-897604033167dc1177d2605a042c8fec (533738), страница 107

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 107)

Поэтому решение уравнения (9.29) имеет внд НвЯ='л/~юехр( — Ав11)=Хво ехр( — 1/т), (9.30) где Л/во — число возбужденных атомов при 1=0. 1'аким образом, при отсутствии внешних воздействий в результате спонтанного излучения число возбужденных атомов убывает со временем по экспоненциальному закону. Промежуток времени т= 1/Ам, в течение которого Фв уменьшается в е раз, равен среднему времени жизни атома в возбужденном состоянии.

По такому же экспоненциальному закону (9.30) должно убывать со временем свечение газа возбужденных атомов. Напомним, что радиационное затухание колебаний классического осциллятора формально описывается точно таким же законом (см. $1.5). Однако физический смысл времени жизни т в этих случаях совершенно различен. Согласно классической электродинамике, все излучающие осцилляторы одновременно совершают затухающие колебания и время т одинаково для всех.

По квантовым представлениям, спонтанное излучение— это совокупность независимых переходов: один из возбужденных атомов может вернуться в основное состояние через короткий промежуток времени, другой может прожить в возбужденном состоянии значительно дольше, но среднее для большой совокупности атомов время жизни т имеет вполне определенную величину*. Радиационное затухание собственных колебаний классического возбужденного осциллятора приводит к тому, что излучаемый при этом свет характеризуется не одной частотой, а узким спектральным распределением, заполняющим интервал частот Лч 1/т. Контур такой спектральной линии имеет лоренцевскую форму (см.

$1.7). На квантовом языке это означает, что спонтанному излучению атома при переходе нз возбужденного состояния в основное соответствует узкий, но конечный интервал частот. Так как частота излучения определяется условием Бора йт=ев — еь то * /1ля высоколежашега возаужлеввою состояния отомо с энергией вв обрвтиое время жизни равно сумме вероятвоствй перехода в ! с в основное состояние н всв нвжвлежвшив возбужденные состоввив с энергией и( вя. .'/тв = ХАв лза разброс частот свидетельствует о конечной ширине Ле энергетического уровня возбужденного состояния ав. Это заключение находится в полном соответствии с соотношением неопределенностей Гейзенберга между энергией и временем Лет~ Ь, связывающим неопределенность в изменении энергии системы с неопределенностью момента времени, когда это изменение происходит.

Экспериментальная проверка закона распада (9.30) и определение среднего времени жизни т возбужденного состояния наиболее непосредственно были произведены в опытах Вина (см. $ 1.5) со свечением каналовых лучей. Этим методом для красной линии водорода (1.=656,2 нм) было получено т= 1,5 1О в с, для резонансной линии ртути (/ =253,7 нм) т=9,8 10 в с. Статистический, случайный характер процессов спонтанного излучения приводит к тому.

что фазы, направления распространения и состояния поляризации световых волн„ испускаемых отдельными атомами, не согласованы друг с другом. Это значит, что спонтанное излучение некогеренгно. ~электромагнитном поле кроме спонтанного испускания будут происходить н процессы возбуждения атомов, т. е. переходы из основного состояния в возбужденное с поглощением фотонов с энергией йв=вв — еь Вероятность такого перехода в единицу времени пропорциональна плотности энергии электромагнитного поля 1/ на частоте перехода в и некоторому коэффициенту В~в, характеризующему вероятность возбуждения атома.

Среднее число дЛ/м переходов из основного состояния в возбужденное за промежуток времени от М до 1+0/ пропорционально также числу Л/~ атомов в основном состоянии: б/)/ = й/ В (/„а. (9.31) Коэффициент Эйнштейна Вж зависит от выбранных состояний е| и ет атома и может быть рассчитан методами квантовой механики. Здесь его можно рассматривать как феноменологическую постоянную. Заметим, что Вм определен так, что он не зависит от спектральной плотности энергии (/„ поля. Пропорциональность числа дЛ/м актов поглощения (9.31) величине 1/ соблюдается тогда, когда спектральная плотность (/ плавно зависит от частоты ь вблизи частоты перехода.

Допустим теперь, что атомы находятся в термодинамическом равновесии с полем излучения. Тогда на основании принципа детального равновесия число переходов с испусканием фотонов и с поглощением должно быть одинаково. Основываясь на этом, можно, приравнивая правые части (9.28) и (9.31), найти вид функции (/„, т. е. спектральную плотность энергии равновесного излучения.

Однако при этом для (/ получается не формула Планка (9.23), а ее предельный случай прн йао/(йТ)»1, т. е. формула Вина (9.24). Чтобы таким способом получить согласующуюся с опытом формулу Планка, необходимо предположить, как впервые показал Эйнштейн, что электромагнитное поле вызывает не только переходы из основного состояния в возбужденное, но и обратные переходы из возбужденного состояния в основное. сопровождающиеся испусканием фотонов. Такие переходы под действием внешнего поля в отличие от спонтанных получили название индуцированного или вынужденного (стимулированного) излучения.

Индуцированное излучение, как и спонтанное, имеет классический аналог. Осциллятор в поле световой волны будет совершать вынужденные колебания. В неустановившемся режиме вблизи резонанса в зависимости от соотношения фаз между колебаниями осциллятора и внешнего поля энергия может переходить как от поля к осциллятору (поглощение), так и от осциллятора к полю (вынужденное испускание). Число вынужденных переходов пЛ/м за промежуток времени от 1 до 1+А пропорционально спектральной плотности энергии (/„, поля на частоте перехода, числу Л/х атомов в возбужденном состоянии ех и некоторому коэффициенту Вм, характеризующему вероятность такого перехода в атоме. С учетом спонтанного излучения полное число переходов за б/ из возбужденного состояния в основное равно бЛ/ю=Л/х(Ам+Вы(/ )б/ (9.32) В состоянии термодинамического равновесия следует приравнять правые части выражений (9.31) и (9.32) и учесть, что населенно- сти уровней е| и ез связаны соотношением Больцмана: Л/х/Л/~ = ехр ( — (ег — е1)/(й Т)1 = ехр ( — Ьы/(й Т)1.

(9.33) о =~~" чхр [лн/(гтц 1 (9.34) Легко убедиться в том, что для данной пары уровней коэффициенты Эйнштейна Вы и Вм равны друг другу. В самом деле, при очень высокой температуре плотность энергии (/ становится настолько большой, что в формуле (9.32) можно пренебречь первым слагаемым по сравнению со вторым. Это значит, что в равновесии при высокой температуре вынужденное непускание преобладает над спонтанным.

Приравнивая для этих условий правые части (9.31) и (9.32), имеем Л/~Вм=Л/зВгь Но в равновесии при ЬТ/(Ьы)-+-оо населенности уровней, как видно из (9.33), выравниваются: Л/~=Л/м Поэтому Вы=Вы. Коэффициенты Вм и Вю зависят только от свойств атома и не зависят от внешних условий, в которых происходят переходы.

Поэтому равенство Вы=Вы, полученное для предельного случая Т-, справедливо всегда, в том числе и в отсутствие теплового равновесия. При произвольной температуре из равенства правых частей (9.31) и (9.32) с учетом (9.33) и Вы=Вы для спектральной плотности равновесного излучения получаем Это выражение совпадает с формулой Планка (9.23) при Аю/Вю = Ьы~/(я~с ). Таким образом, все три коэффициента Эйнштейна связаны между собой. Наиболее важный результат, который следует из вывода формулы Планка по Эйнштейну,— это заключение о существовании вынужденного излучения.

Только в этом случае теория Эйнштейна не противоречит законам теплового излучения. При Ьи/(ЬТ)»1 в (9.34) можно пренебречь единицей по сравнению с ехр (Ьы/(ЬТ)] и (9.34) перейдет в формулу Вина. К такой формуле для 1/„мы бы пришли сразу, если бы не приняли во внимание вынужденное непускание. Физически это означаег, что при Ьы»ЙТ для поддержания термодинамического равновесия практически достаточно спонтанного испускания. Вынужденное испускание в таких условиях заметно меньше поглощения, так как при ЬТ«Ьы термически возбужденных атомов мало.

Напротив, при низких частотах и высоких температурах, когда Ьы/(ЬТ)«1, в тепловом равновесии переходы с вынужденным испусканием происходят почти так же часто, как и переходы с поглощением. Вынужденное излучение обладает замечательными свойствами, на что впервые обратил внимание П.

Дирак в 1927 г., применив квантовую механику к полю излучения В каждом акте вынужденного испускания происходит увеличение на единицу числа фотонов в той моде излучения, под действием которой произошел переход. Все фотоны одной моды тождественны, Это значит, что новый фотон неотличим от фотонов, вызывающих его испускание. Частота, фаза, направление распространения и поляризация волн, испущенных при вынужденных переходах, точно такие же, как у излучении, вызвавшего переходы. С классической точки зрения пояснить когерентный характер вынужденного излучения можно следующим образом. Процесс вынужденного испускания обратен по отношению к поглощению (иногда его называют отрицательным поглощением).

При распространении светового пучка в поглощающей среде происходит уменьшение интенсивности, но полностью сохраняются свойства когерентности. Это следует хотя бы из того, что в любых интерференционных опытах прохождение исходного пучка света через серый фильтр, уменьшающий интенсивность без изменения спектрального состава, не разрушает интерференционной картины. Поэтому можно ожидать„что при прохождении света через среду, содержащую возбужденные атомы, в результате вынужденного испускания будет происходить усиление распространяющейся волны при сохранении ее когерентности.

Коэффициенты Эйнштейна Вы и Вм характеризуют переходы между уровнями энергии г~ и ез рассматриваемого атома под действием падающего излучения„спектральная плотность которого (/ практически постоянна в пределах контура спектральной линии, соответствующей данному переходу. Обладающее сплошным спек- тром равновесное излучение удовлетворяет этому требованию.

Чтобы получить выражения для числа переходов аМп и йМм под действием монохроматического излучения с объемной плотностью (/, нужно в формулах (9.31) и (9.32) заменить (/„, на (/Г(ы), где Г(ы) есть нормированная на единицу функция формы спектральной линии рассматриваемого перехода (т. е.

Характеристики

Список файлов книги