1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 9
Текст из файла (страница 9)
- Л,), 1> У. Он никогда не обращается в нуль при различных Л. Таким образом, допушение о том, что матрица Я вырожденная, неверно, поэтому ее можно привести к диагональной форме во всех тех случаях, когда характеристические значения матрицы А раз л ичны. Если корни уравнения !А — Л7~ = О не различны, приведение А к диагональной форме преобразованием 5 гА5 может оказаться невозможным. В этом случае можно прибегнуть к иным каноническим представлениям, с которыми можно познакомиться в руководствах по высшей алгебре'). В некоторых ') Са!. Р в ! ее 1, 3., 6 гч1 1! Л !Т., Е!епгеп!в о1 !Шеаг а!веьга, бипп С' Воа!оп !961. !) Ся. Мпгпвяьап Р. !Т., Аррпеа пга!Ьепга!!са, %г!!еу, Ыечч уог! 1948; В ! г1! Ьо11 С~., Ма сЬ ап е 6., А апгчеу о1 пгог!егп а1яеьга, Маса!!!!ап, Ыечг Уог)г !94!.
вещественные симмвтэнчныв мхтеицы 47 специальных случаях, однако, приведение матрицы А кдиагональ- ному виду удается даже и в том случае, когда характеристиче- ское уравнение (А — Ц (= О имеет кратные корни. Мы вернемся к исследованию этих случаев в нижеследующих параграфах. $13. Вещественные симметричные матрицы и квадратичные формы Допустим, что матрица А = (ап) в линейном преобразо- вании х» = з»ьэ» х=5$, (13.4) или х,' = а, х (1, ! = 1, 2, ..., и) (13.1) вещественна и симметрична, так что ам = а!» (или А' = А) для всех значений !' и !.
Покажем, что матрицу А можно привести к диагональному виду преобразованием 5-'А5. Кроме того, 5 может быть ортогональной матрицей. С линейными преобразованиями вещественных симметричных матриц приходится обычно иметь дело в исследовании деформаций, которым подвергаются упругие среды. Кроме того, вещественные симметричные матрицы играют значительную роль в изучении вещественных квадратичных форм Я(х„хм ..., х„) — а»»х»х» (», !'=1,..., н), (13.2) возникающих во многих задачах динамики и геометрии. Не 'утрачивая ничего в общности, мы можем принять, что коэффициенты в (13.2) симметричны, поскольку (!3.2) всегда можно записать в виде а»»+а»» Я(х„х„..., х„)~ х,хб где коэффициенты, очевидно, симметричны.
Имея дело с квадратичными формами, мы всегда будем предполагать, что они уже симметризованы. Из выкладок этого параграфа выяснится, что задачи приведения систем линейных форм (13.1) к форме э! — ~!Р! эт ~"тьэ ' ' '' э!! ~"Ла и квадратичной формы (13.2) к форме () 7 ~2 ! й ~2 (13.3) математически тождественны. Обратим сначала внимание на некоторые свойства квадратичных форм (13.2). Подвергнув форму Я в (13.2) линейному преобразованию 48 ЛИНЬЯНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ !ГЛ.
! получим Я = а и (я,ДА) (я~До = аняц я~йЯ,. Обозначим коэффициенты при ~Д~ через сы, и тогда чг = сАДА5и где сы = а„ямян. (13.5) Так как а;; = ан, а 1 и / в (!3.5) — индексы суммирования, то обмен местами между и и ! не изменяет значения (13.5). Таким образом, см = см, и отсюда матрица С = (сц) симметрична. Мы пришли таким путем к результату, что симметрия квадратичной формы (!3,2) не нарушается тем, что мы подвергаем переменные х-; линейному преобразованию, Перепишем (13.5) в форме сь~ = я,ь (аиян) и заметим, что оияи представляет собой элемент матрицы А5~ В, занимающий в ней место на строке й в столбце 1.
Таким же образом сы зыби (13.6) можно рассматривать как элемент строки я столбца ! в матрице 5'В и С = 5'А5. (13.7) На этом основании мы формулируем теорему. Теорема. Если переменные х; в квадратичной форме Я апх;х; с матрицей А подвергнуть линейному преобразованию х; = я;Д; с матрицей 5, то получающаяся квадратичная форма имеет матрииу 5'А5. В качестве следствия из этой теоремы мы отмечаем, что детерминант результирующей квадратичной формы получает значение !А~ !5!г. Если преобразование (13А) ортогонально, то 5' = 5 ', и мы вправе представить (13.7) в виде С= 5 'А5.
Отсюда следует, что определение ортогонального преобразования, приводящего форму (13.2) к сумме квадратов (13.3), сводится к решению матричного уравнения 5 А5=Л. (13ь8) Э ы! ВЕЩЕСТВЕННЫЕ СИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ Именно с этой задачей мы встретились в $ 12. Там мы пришли к выводу, что система однородных уравнений аця;д = я,дед (без суммирования по й)„(13,9) полученная из А5 5Л (см. уравнения (12.3)), будет иметь нетривиальное решение для векторов Фдц (яцьязд, ..., я„д) в том и только в том случае, если А в (13.9) удовлетворяют уравнению ~1ам — бпХ! = О, илн 1А — АТ'! = О.
(13.10) Если матрица А произвольна, характеристическое уравнение (13.10) имеет, вообще, комплексные корни; а если эти корни различны, то изложенные в $12 методы позволяют вычислить совокупность н линейно независимых векторов Фд~, составляющих матрицу 5. Мы рассматриваем, однако, случай, когда матрица 5 должна быть ортогональной и вещественной. Если корни характеристического уравнения (13.10) вещественны, то из уравнения (!3.9) сразу же следует, что решения я~д): (я,д, яем ..., я„д) могут быть приняты вещественными, поскольку а;,.
вещественна. Докажем теорему. Т е о р е м а. Если матрица А вещественна и симметрична, то все корни характеристического уравнения )А — М~ вещественны. Систему уравнений (13.9) можно записать в компактной форме Ая'д' = я(д'Ад (без суммирования по й). (13.11) Мы можем рассматривать Аяйе как вектор с компонентами аие,д+амзтд+ ... +а,„е„д (1 1, 2, ..., п). Пусть Хд — корень уравнения (13.10) — вещественный или комплексный, а я!д> — вектор, вещественный или комплексный, удовлетворяющий системе (13.11). Умножив (13.11) скалярно на я®, получим вм' Авен=)я!д>)дауд. (13.12) Левая часть в этом уравнении [вспомним определение (б.1)) я(м Азсм = апя, я, (без суммирования по Й) вещественна, если ам — — а;;.
Для того чтобы это доказать, заметим, что величина, сопряженная с апямясь равна первоначальному выражению апя,дя!д = а!Еямя;, = апямя 50 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ !ГЛ. 1 Так как левая часть в (13.12) вещественна, так же как и(в!А>!з, то веществен также и Лд. Этим завершается доказательство теоремы. Докажем далее, что если Л! и Л; — два различных корня уравнения (13.10), то векторы в!'! и вы>, соответствуюшие этим корням, ортогональны. Так как в!!! и в<п удовлетворяют (13.11)„ имеем тождества Ав!О=ви!Л! (без суммирования), Аги'-вп!Л! (без суммирования), где все участвующие векторы вещественны.
Если мы умножим первый из них скалярно на в!и справа, а второй на в! ! слева и вычтем, то получим Аз<о ° в'л — в<о ° Аг<!! = (Л; — Л!) в!о ° в!Л' тогда левая часть обратится в нуль, поскольку ви!.Аа!и = Авп! Еел в силу симметрии А. Этим устанавливается ортогональность вп! и А'!1, если только корни Л! и Л; не одинаковы. Так как уравнение (13.!1) однородно, мы вправе умножить его на подобранную надлежащим образом константу, так чтобы длина в'А! приняла значение, равное единице. Мы будем предполагать, что это условие выполнено.
Вспомним, что совокупность ортогональных векторов должна быть линейно независимой. На этом основании, если все корни уравнения !А — Л!'! = 0 различны, векторы в(А! будут ортонормальны и в соответствии с этим матрица Я, выполняющая преобразование 5-!АЯ = Л, будет ортогональной. Остается рассмотреть случай приведения вещественных квадратичных форм (!3.2) к диагональному виду (13.3), когда уравнение ! А — Л!'1= 0 (13. 10) имеет кратные корни. Доказательство возможности приведения в этом случае опирается на одно важное свойство подобных матриц, а именно на то, что характеристические корни всех подобных матриц тождественно равны. Доказать это легко, 3аме няем А в левом множителе (!3.!О) какой-либо подобной матрицей 5 !АЯ и получаем полипом от Л ~ 3 'АЯ вЂ” Л! !!=) Я '(А — Л7) 51=|3 '! ! А — ЛТ! 13)=)А — ЛТ!.
Отсюда следует, что характеристические уравнения„ассоциированные с Я-!АЗ и А, тождественны, откуда следует, что корни их равны. Предположим теперь, что (13.10) имеет кратные корни. Пусть Л = Л! представляет собой один из корней этого уравнения. Определим решение системы (1311): вп': (зи, эзь, ва!), ВЕЩЕСТВЕННЫЕ СИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ соответствующее Л Л<, при котором а«> з<'> = 1. Это возможно независимо от того, является ли Л, кратным корнем или нет.
<4ы можем присоединить к вектору з<'> совокупность а — 1 ортонормальных векторов, образующих полную систему векторов в нашем и-мерном пространстве. Этими векторами можно воспользоваться как базисом нашего пространства вместо начальной системы ортоиормальных базисных векторов а«>, ..., а<о>, причем мы можем перейти от системы отсчета, определенной векторами а<о, к новой системе путем ортогонального преобразования. В соответствии с этим матрица квадратичной формы (13.2), будучи отнесенной к новой системе, примет вид А, = 5< 'А5<, где 5< ортогональна. Кроме того, уравнение ! А, — Л1 ! = 0 (!3.!3) имеет те же характеристические корни, что и (!3.10).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
